湖南省株洲二中高二数学下学期入学试卷 理（含解析）.doc

湖南省株洲二中2014-2015学年高二下学期入学数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共计50分，每小题只有一个正确答案请将答案填入答题卷中的相应位置）1（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限2（5分）命题“若xa2+b2，则x2ab”的逆命题是（）a若xa2+b2，则x2abb若xa2+b2，则x2abc若x2ab，则xa2+b2d若x2ab，则xa2+b23（5分）已知集合a=x|x2x20，b=x|y=ln（1x），则ab=（）a（1，2）b（1，2c1，1）d（1，1）4（5分）已知角的终边与单位圆x2+y2=1交于p（，y0），则cos2=（）ab1cd5（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=x2y的最大值为（）a3b0c1d36（5分）将4名同学录取到3所大学，每所大学至少要录取一名，则不同的录取方法共有（）a12b24c36d727（5分）若=（0k10，kz），则sin+cos1的概率为（）abcd8（5分）在二项式（x）n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是（）a56b35c35d569（5分）已知abc的重心为g，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若2a=0，则sina：sinb：sinc=（）a1：1：1b3：2：2c：2：1d：1：210（5分）对于一个有限数列p=（p1，p2，pn），p的蔡查罗和（蔡查罗是一位数学家）定义为，其中sk=p1+p2+pk（1kn，kn）若一个99项的数列（p1，p2，p99）的蔡查罗和为1000，那么100项数列（9，p1，p2，p99）的蔡查罗和为（）a991b992c993d999二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共计25分，请将答案填入答题卷中的相应位置）11（5分）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为12（5分）已知函数f（x）=，则ff（2）=13（5分）已知双曲线（a0，b0）的左、右焦点分别为f1，f2，点p在双曲线的右支上，且|pf1|=4|pf2|，则此双曲线的离心率e的最大值为14（5分）已知f（x）为定义在（0，+）上的可导函数，且f（x）xf（x）恒成立，则不等式x2f（）f（x）0的解集为15（5分）椭圆（ab0）且满足a，若离心率为e，则e2+的最小值为三、解答题（本大题共6个小题，共计75分，答题应写出详细的文字说明，证明过程或演算步骤）16（12分）口袋中装有除颜色，编号不同外，其余完全相同的2个红球，4个黑球现从中同时取出3个球（）求恰有一个黑球的概率；（）记取出红球的个数为随机变量x，求x的分布列和数学期望e（x）17（12分）已知函数f（x）=2sinxcosxcos2x，xr（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在abc中，内角a、b、c所对边的长分别是a、b、c，若f（a）=2，c=，c=2，求abc的面积sabc的值18（12分）如图1，在rtabc中，c=90，bc=2，ac=4debc，将ade沿de折起到a1de的位置，使a1dcd，如图2（）求证：bc平面a1dc；（）若cd=2，求平面a1be与平面a1bc所成二面角的大小19（13分）数列an的前n项和为sn，且sn=2an1，设bn=2（log2an+1），nn*（1）求数列an的通项公式；（2）求数列bnan的前n项和tn；（3）证明：对于任意nn+，不等式恒成立20（13分）已知椭圆c过点a（1，），两焦点为f1（，0）、f2（，0），o是坐标原点，不经过原点的直线l：y=kx+m与椭圆交于两不同点p、q（1）求椭圆c的方程； （2）当k=1时，求opq面积的最大值；（3）若直线op、pq、oq的斜率依次成等比数列，求直线l的斜率k21（13分）已知函数f（x）=lnxax在x=2处的切线l与直线x+2y3=0平行（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程f（x）+m=2xx2在上恰有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；（3）记函数g（x）=f（x）+bx，设x1，x2（x1x2）是函数g（x）的两个极值点，若b，且g（x1）g（x2）k恒成立，求实数k的最大值湖南省株洲二中2014-2015学年高二下学期入学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共计50分，每小题只有一个正确答案请将答案填入答题卷中的相应位置）1（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义 专题：计算题分析：先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限解答：解：复数 =，复数对应的点的坐标是（ ，）复数 在复平面内对应的点位于第一象限，故选a点评：本题考查复数的实部和虚部的符号，是一个概念题，在解题时用到复数的加减乘除运算，是一个比较好的选择或填空题，可能出现在2015届高考题的前几个题目中2（5分）命题“若xa2+b2，则x2ab”的逆命题是（）a若xa2+b2，则x2abb若xa2+b2，则x2abc若x2ab，则xa2+b2d若x2ab，则xa2+b2考点：四种命题 专题：简易逻辑分析：交换原命题的条件和结论可得命题的逆命题解答：解：命题“若xa2+b2，则x2ab”的逆命题是“若x2ab，则xa2+b2”，故选：d点评：本题考查四种命题，注意相应的定义3（5分）已知集合a=x|x2x20，b=x|y=ln（1x），则ab=（）a（1，2）b（1，2c1，1）d（1，1）考点：对数函数的定义域；交集及其运算 专题：函数的性质及应用分析：求解一元二次不等式化简集合a，求解对数函数的定义域化简集合b，然后直接利用交集运算求解解答：解：a=x|x2x20=x|1x2，b=x|y=ln（1x）=x|1x0=x|x1，则ab=x|1x1=1，1）故选：c点评：本题考查了对数函数定义域的求法，考查了交集及其运算，是基础题4（5分）已知角的终边与单位圆x2+y2=1交于p（，y0），则cos2=（）ab1cd考点：任意角的三角函数的定义 专题：计算题；三角函数的求值分析：利用角的终边与单位圆x2+y2=1交于p（，y0），求出y0=，可得cos=，sin=，从而可求cos2解答：解：角的终边与单位圆x2+y2=1交于p（，y0），y0=，cos=，sin=，cos2=cos2sin2=，故选：a点评：本题考查任意角的三角函数的定义，考查二倍角公式，考查学生的计算能力，属于基础题5（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=x2y的最大值为（）a3b0c1d3考点：简单线性规划 专题：计算题；不等式的解法及应用分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的abc及其内部，再将目标函数z=x2y对应的直线进行平移，可得当x=1，y=0时，z取得最大值1解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的abc及其内部，其中a（1，1），b（2，1），c（1，0）设z=f（x，y）=x2y，将直线l：z=x2y进行平移，当l经过点c时，目标函数z达到最大值z最大值=f（1，0）=1故选：c点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题6（5分）将4名同学录取到3所大学，每所大学至少要录取一名，则不同的录取方法共有（）a12b24c36d72考点：计数原理的应用 专题：应用题；排列组合分析：先从4名学生中任意选2个人作为一组，方法有=6种；再把这一组和其它2个人分配到3所大学，方法有种，再根据分步计数原理求得结果解答：解：先从4名学生中任意选2个人作为一组，方法有=6种；再把这一组和其它2个人分配到3所大学，方法有=6种再根据分步计数原理可得不同的录取方法为 66=36种，故选c点评：本题主要考查排列组合、两个基本原理的实际应用，属于中档题7（5分）若=（0k10，kz），则sin+cos1的概率为（）abcd考点：几何概型 专题：计算题；概率与统计分析：求得=（0k10，kz），有11个，再求出满足sin+cos1，基本事件的个数，即可得出结论解答：解：=（0k10，kz），有11个sin+cos=sin（+）1，+2n+2n，nz，2n+2n，nz，n=0，1，2，8，9，10时满足题意，所求概率为故选：d点评：本题考查概率的计算，确定基本事件的个数是关键8（5分）在二项式（x）n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是（）a56b35c35d56考点：二项式系数的性质 专题：计算题；二项式定理分析：先求出n，在展开式的通项公式，令x的指数为2，即可得出结论解答：解：在二项式（x）n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，n=8，展开式的通项公式为tr+1=（1）rx82r，令82r=2，则r=3，展开式中含x2项的系数是=56故选：a点评：本题考查二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，属于基础题9（5分）已知abc的重心为g，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若2a=0，则sina：sinb：sinc=（）a1：1：1b3：2：2c：2：1d：1：2考点：正弦定理；平面向量的基本定理及其意义 专题：计算题；平面向量及应用分析：利用正弦定理化简已知表达式，通过，不共线，求出a、b、c的关系，利用正弦定理求解即可解答：解：设a，b，c为角a，b，c所对的边，若2a=0，则2a+=3c=3c（），即（2a3c）+（b3c）=，又因，不共线，则2a3c=0，b3c=0，即2a=b=3c，由正弦定理可知：sina：sinb：sinc=a：b：c=3：2：2，故选：b点评：本题考查平面向量在几何中的应用，余弦定理以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题10（5分）对于一个有限数列p=（p1，p2，pn），p的蔡查罗和（蔡查罗是一位数学家）定义为，其中sk=p1+p2+pk（1kn，kn）若一个99项的数列（p1，p2，p99）的蔡查罗和为1000，那么100项数列（9，p1，p2，p99）的蔡查罗和为（）a991b992c993d999考点：数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：首先利用定义求出前99项的和，进一步求出结果解答：解：由“蔡查罗和”定义，p1，p2，p99的“蔡查罗和”为：s1+s2+s99=99000，则100项的数列9，p1，p2，p99“蔡查罗和”为：=999故选：d点评：本题考查的知识要点：利用信息求出结果，主要考查对知识的应用能力属于基础题型二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共计25分，请将答案填入答题卷中的相应位置）11（5分）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为8考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件n10，确定输出s的值解答：解：由程序框图知：第一次循环s=1，n=2；第二次循环s=1+2=3，n=22+1=5；第三次循环s=3+5=8n=52+1=26满足条件n10，跳出循环体，输出s=8故答案为：8点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法12（5分）已知函数f（x）=，则ff（2）=8考点：函数的值 专题：函数的性质及应用分析：根据自变量的大小确定该选用哪一段的函数解析式求解，从内向外逐一去括号即可求出所求解答：解：20，f（2）=（2）2=4，即ff（2）=f（4），40，f（4）=24=8，即ff（2）=f（4）=8，故答案为：8点评：本题考查了函数的求值问题涉及了分段函数的求值，对于分段函数，一般选用分类讨论和数形结合的思想方法进行求解，解题中要注意判断变量的取值范围，以确定该选用哪一段的函数解析式求解属于基础题13（5分）已知双曲线（a0，b0）的左、右焦点分别为f1，f2，点p在双曲线的右支上，且|pf1|=4|pf2|，则此双曲线的离心率e的最大值为考点：双曲线的简单性质 专题：计算题分析：先设p点坐标，进而根据双曲线的定义可知丨pf1丨=ex+a，丨pf2丨=exa，根据|pf1|=4|pf2|求得e和a，x的关系式，进而根据x的范围确定e的范围，求得e的最小值解答：解：设p（x，y），由焦半径得丨pf1丨=ex+a，丨pf2丨=exa，ex+a=4（exa），化简得e=，p在双曲线的右支上，xa，所以e，即e的最大值是故答案为：点评：本题主要考查了双曲线的简单性质解题的关键是利用了双曲线的定义，灵活利用了焦半径与离心率之间的关系14（5分）已知f（x）为定义在（0，+）上的可导函数，且f（x）xf（x）恒成立，则不等式x2f（）f（x）0的解集为x|x1考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算 专题：导数的综合应用分析：令辅助函数f（x）=，求其导函数，据导函数的符号与函数单调性的关系判断出f（x）的单调性，利用单调性判断出由不等式的关系，利用不等式的性质得到结论解答：解：令f（x）=，则f（x）=，f（x）xf（x），f（x）0，f（x）=为定义域上的减函数，由不等式x2f（）f（x）0，得：，x，x1，故答案为：x|x1点评：本题考查了导数的运算，考查了利用导数研究函数单调性，函数的导函数符号确定函数的单调性：当导函数大于0时，函数单调递增；导函数小于0时，函数单调递减此题为中档题15（5分）椭圆（ab0）且满足a，若离心率为e，则e2+的最小值为考点：椭圆的简单性质；基本不等式 专题：计算题分析：先根据e=，c=对e2+进行整理得2+，再根据a进而求得e2+的范围，求得最小值解答：解：a，e2+=+=+=2+a，a23b2，且=e2+故答案为：点评：本题主要考查了椭圆的简单性质属基础题三、解答题（本大题共6个小题，共计75分，答题应写出详细的文字说明，证明过程或演算步骤）16（12分）口袋中装有除颜色，编号不同外，其余完全相同的2个红球，4个黑球现从中同时取出3个球（）求恰有一个黑球的概率；（）记取出红球的个数为随机变量x，求x的分布列和数学期望e（x）考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列 专题：计算题；概率与统计分析：（）记“恰有一个黑球”为事件a，则p（a）=（）x的可能取值为0，1，2，则p（x=0）=，p（x=1）=，p（x=2）=p（a）=，从而列分布列并求数学期望解答：解：（）记“恰有一个黑球”为事件a，则p（a）=（）x的可能取值为0，1，2，则p（x=0）=，p（x=1）=，p（x=2）=p（a）=；则x的分布列为x012px的数学期望ex=0+1+2=1点评：本题考查了概率的求法及分布列与数学期望的求法，属于基础题17（12分）已知函数f（x）=2sinxcosxcos2x，xr（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在abc中，内角a、b、c所对边的长分别是a、b、c，若f（a）=2，c=，c=2，求abc的面积sabc的值考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦定理 专题：三角函数的图像与性质；解三角形分析：（1）由二倍角公式化简可得f（x）=2sin（2x），令2k2x2k，kz可解得函数f（x）的单调递增区间（2）由f（a）=2sin（2a）=2，可得a的值，由正弦定理可解得a=，从而可求sabc的值解答：解：（1）f（x）=2sinxcosxcos2x=sin2xcos2x=2sin（2x），令2k2x2k，kz可解得kxk，kz，即有函数f（x）的单调递增区间为：k，k，kz，（2）f（a）=2sin（2a）=2，2a=2k，kz，即有a=k，kz，角a为abc中的内角，有0a，k=0时，a=，b=ac=，故由正弦定理可得：，解得a=，sabc=acsinb=sin=点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦定理的应用，属于基本知识的考查18（12分）如图1，在rtabc中，c=90，bc=2，ac=4debc，将ade沿de折起到a1de的位置，使a1dcd，如图2（）求证：bc平面a1dc；（）若cd=2，求平面a1be与平面a1bc所成二面角的大小考点：二面角的平面角及求法；用空间向量求平面间的夹角 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（）由已知得ad=de，a1dde，从而a1d面bcde，从而a1dbc，bccd，由此能证明bc面a1dc（）以d为坐标原点，建立空间直角坐标系axyz，利用向量法能求出平面a1be与平面a1bc所成二面角的大小为90解答：（）证明：在abc中，c=90，debc，ad=de，a1dde又a1dcd，cdde=d，a1d面bcde由bc面bcde，得a1dbc，bccd，cdbc=c，bc面a1dc5分（）解：如图，以d为坐标原点，建立空间直角坐标系axyz取a1c的中点f，连df，则d（0，0，0），c（0，2，0），b（2，2，0），a1（0，0，2），f（0，1，1），ad=dc=2，dfa1c，由（1）可知，dfbc，从而df平面a1bc，为平面a1bc的法向量，=（0，1，1），又=（2，2，2），=（1，2，0），设平面a1be的法向量为=（x，y，z），由，取z=1，得=（2，1，1），=0，平面a1be与平面a1bc所成二面角的大小为9012分点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用19（13分）数列an的前n项和为sn，且sn=2an1，设bn=2（log2an+1），nn*（1）求数列an的通项公式；（2）求数列bnan的前n项和tn；（3）证明：对于任意nn+，不等式恒成立考点：数列的求和；数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由已知得s1=a1=2a11，当n2时，sn=2an1，sn1=2an11，从而an是首项为1，公比为2的等比数列，由此能求出（2）由bn=2（log2an+1）=2（log22n1+1）=2n得bnan=2n2n1=n2n，由此利用错位相减法能求出tn=（n1）2n+1+2（3）由=，利用用数学归纳法证明不等式成立，即可证明对于任意nn+，不等式恒成立解答：（1）解：数列an的前n项和为sn，且sn=2an1，s1=a1=2a11，解得a1=1，当n2时，sn=2an1，sn1=2an11，两式相减，得an=2an2an1，an=2an1，an是首项为1，公比为2的等比数列，（2）解：bn=2（log2an+1）=2（log22n1+1）=2nbnan=2n2n1=n2n，tn=12+222+323+n2n，得：tn=2+22+23+2nn2n+1=n2n+1=（1n）2n+12tn=（n1）2n+1+2（3）证明：bn=2n，=，=，下面用数学归纳法证明不等式成立当n=1时，左边=，右边=，不等式成立假设当n=k时不等式成立，即成立则当n=k+1时，左边=，当n=k+1时，不等式也成立由、可得不等式恒成立对于任意nn+，不等式恒成立点评：本题主要考查数列的通项公式、前n项和公式的求法，考查不等式的证明，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，解题时要注意错位相减法和数学归纳法的合理运用20（13分）已知椭圆c过点a（1，），两焦点为f1（，0）、f2（，0），o是坐标原点，不经过原点的直线l：y=kx+m与椭圆交于两不同点p、q（1）求椭圆c的方程； （2）当k=1时，求opq面积的最大值；（3）若直线op、pq、oq的斜率依次成等比数列，求直线l的斜率k考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）由题意设椭圆方程为，且，由此能求出椭圆c的方程（2）由，得：5x2+8mx+4（m21）=0，由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式能求出opq面积的最大值（3）由，得：（1+4k2）x2+8kmx+4（m21）=0，由此利用根的判别式、韦达定理、等比数列，能求出直线l的斜率k的值解答：解：（1）由题意得，设椭圆方程为（2分）则，解得b2=1，所以椭圆c的方程为（4分）（2）由，消去y得：5x2+8mx+4（m21）=0，则=16（5m2）0，0m25（6分），设d为点o到直线l的距离，则（8分）=当且仅当时，等号成立，所以opq面积的最大值为1（10分）（3）由，消去y得：（1+4k2）x2+8kmx+4（m21）=0（12分）则=