辽宁省丹东市振安区高级中学高中数学 1.2.2空间中的垂直关系（2）学案 北师大版必修2.doc

辽宁省丹东市振安区高级中学高中数学 1.2.2空间中的垂直关系（2）学案 北师大版必修2自主学习 学习目标1掌握两个平面互相垂直的概念，并能利用判定定理，判定两个平面互相垂直2掌握两个平面垂直的性质定理，并能利用该定理作平面的垂线3理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系 自学导引1如果两个相交平面的交线与第三个平面_，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相_，就称这两个平面互相垂直2如果一个平面过另一个平面的_，则两个平面互相垂直3如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们_的直线垂直于另一个平面对点讲练知识点一面面垂直的证明例1如图所示，四边形abcd是平行四边形，直线sc平面abcd，e是sa的中点求证：平面edb平面abcd.点评将面面垂直转化为线面垂直是证明此类题的关键，另外利用面面垂直的定义求二面角的平面角是90(如例1)变式训练1如图所示，在空间四边形abcd中，abbc，cdda，e、f、g分别为cd、da和对角线ac的中点求证：平面bef平面bgd.知识点二面面垂直的性质定理的应用例2如图所示，p是四边形abcd所在平面外的一点，abcd是dab60且边长为a的菱形侧面pad为正三角形，其所在平面垂直于底面abcd.(1)若g为ad边的中点，求证：bg平面pad；(2)求证：adpb.点评证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，再一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线变式训练2如图所示，四棱锥pabcd的底面是边长为a的菱形，bcd120，平面pcd平面abcd，pca，pda，e为pa的中点求证：平面edb平面abcd.知识点三线线、线面、面面垂直的综合应用例3如图所示，平面pab平面abc，平面pac平面abc，ae平面pbc，e为垂足(1)求证：pa平面abc；(2)当e为pbc的垂心时，求证：abc是直角三角形点评证明线面垂直、面面垂直、线线垂直不要局限于一个方面，有时需考虑多种情况的综合在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直变式训练3在直三棱柱abca1b1c1的底面abc中，abbc.能否在侧棱bb1上找到一点e，使得截面a1ec侧面aa1c1c？若能找到，指出点e的位置；若不能找到，说明理由1面面垂直的证法(1)定义法；(2)判定定理法2面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理至此判定线面垂直的方法主要有以下五种：(1)线面垂直的定义；(2)线面垂直的判定定理；(3)面面垂直的性质定理；(4)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面，b.(5)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面，a. 课时作业一、选择题1平面平面，直线a，则()aa baca与相交 d以上都有可能2若平面与平面不垂直，那么平面内能与平面垂直的直线有()a0条 b1条 c2条 d无数条3已知m、n为不重合的直线，、为不重合的平面，则下列命题中正确的是()am，n，mnb，c，m，nmnd，m，nmn4.如图所示，abcd为正方形，pa平面abcd，则在平面pab、平面pad、平面pcd、平面pbc及平面abcd中，互相垂直的有()a3对 b4对c5对 d6对5.如图所示，在立体图形dabc中，若abcb，adcd，e是ac的中点，则下列命题中正确的是()a平面abc平面abdb平面abd平面bdcc平面abc平面bde，且平面adc平面bded平面abc平面adc，且平面adc平面bde题号12345答案二、填空题6已知m、l是直线，、是平面，给出下列命题：若l垂直于内两条相交直线，则l；m，l，且lm，则；若l，且l，则；若m，l，且，则lm.其中正确的命题的序号是_7空间四边形vabc的各边及对角线均为1，m是vb的中点，则平面acm与平面vab的位置关系是_8.如图所示，已知，pa垂直于圆o所在平面ab是圆o的直径，c是圆周上一点则图中面面垂直的共有_对三、解答题9在三棱锥pabc中，pa平面abc，平面pab平面pbc.求证：bcab.10.如图所示，abc为正三角形，ec平面abc，bdce，且ceca2bd，m是ea的中点求证：(1)deda；(2)平面bdm平面eca；(3)平面dea平面eca.【答案解析】自学导引1垂直垂直2一条垂线3交线对点讲练例1证明连接ac，设ac、bd交点为f，连接ef，ef是sac的中位线，efsc.sc平面abcd，ef平面abcd.又ef平面edb，平面edb平面abcd.变式训练1证明abbc，cdad，g是ac的中点，bgac，dgac，ac平面bgd.又efac，ef平面bgd.ef平面bef，平面bdg平面bef.例2证明(1)连接pg，由题意知pad为正三角形，g是ad的中点，pgad.又平面pad平面abcd，平面pad平面abcdad，pg平面abcd，pgbg.又四边形abcd是菱形且dab60，abd是正三角形，bgad.又adpgg，bg平面pad.(2)由(1)可知bgad，pgad.所以ad平面pbg，所以adpb.变式训练2证明设acbdo，连接eo，则eopc.pccda，pda，pc2cd2pd2，pccd.平面pcd平面abcd，cd为交线，pc平面abcd，eo平面abcd.又eo平面edb，平面edb平面abcd.例3证明(1)在平面abc内取一点d，作dfac于f.平面pac平面abc，且交线为ac，df平面pac，pa平面pac，dfap.作dgab于g.同理可证dgap.dg、df都在平面abc内，且dgdfd，pa平面abc.(2)连接be并延长交pc于h.e是pbc的垂心，pcbe.又已知ae是平面pbc的垂线，pcae.pc面abe.pcab.又pa平面abc，paab.又pcpap，ab平面pac.abac，即abc是直角三角形变式训练3解假设能够找到符合题意的点e.如图所示，作ema1c于点m.因为截面a1ec侧面aa1c1c，所以em侧面aa1c1c.取ac的中点n，连接mn，bn，因为abbc，所以bnac.又因为aa1bn，所以bn侧面aa1c1c，所以bnem.因为平面bemn平面aa1c1cmn，be平面aa1c1c，所以bemna1a.因为annc，所以a1mmc.因为四边形bemn为矩形，所以bemna1a.所以当e为bb1的中点时，平面a1ec侧面aa1c1c.课时作业1d2a若存在1条，则，与已知矛盾3c4c面pab面ac，面pab面pbc，面pad面ac，面pad面pcd，面pab面pad.5cabcb，且e是ac的中点，beac.同理有deac.ac平面bde.ac平面abc，平面abc平面bde.又ac平面acd，平面acd平面bde.67.垂直8.39.证明在平面pab内，作adpb于d.平面pab平面pbc，且平面pab平面pbcpb.ad平面pbc.又bc平面pbc，adbc.又pa平面abc，bc平面abc，pabc，bc平面pab.又ab平面pab，bcab.10证明(1)如图所示，取ec的中点f，连接df.ecbc，dfbc，dfec.在rtefd和rtdba中，efecbd，fdbcab，rt