湖南省株洲县渌口镇中学八年级数学下册 2.7 正方形（第3课时）教案 （新版）湘教版.doc

2.7正方形(三) 情感态度与价值观： 培养合情推理能力和探究习惯，体会平面几何的内在价值 重难点、关键 重点：探索正方形的性质与判定 难点：掌握正方形的性质、判定的应用方法 关键：把握正方形既是矩形又是菱形这一特性来学习本节课内容 教学准备 教师准备：投影仪，制作投影片，补充本节课内容，矩形纸片，活动的菱形框架 学生准备：复习平行四边形、矩形、菱形性质、判定，预习本节课内容 学法解析 1认知起点：已积累了几何中平行四边形、矩形、菱形等知识，在取得一定的经验的基础上，认知正方形 3学习方式：采用自导自主学习的方法解决重点，突破难点 教学过程 一、合作探究，导入新课 【显示投影片】 显示内容：展示生活中有关正方形的图片，幻灯片（多幅） 【活动方略】 教师活动：操作投影仪，边展示图片，边提出下面的问题： 1同学们观察显示的图片后，有什么联想？正方形四条边有什么关系？四个角呢？ 2正方形是矩形吗？是菱形吗？为什么？ 3正方形具有哪些性质呢？ 学生活动：观察屏幕上所展示的生活中的正方形图片进行联想易知：1正方形四条边都相等（小学已学过）；正方形四个角都是直角（小学学过）实验活动：教师拿出矩形按下图左图折叠然后展开，让学生发现：只要矩形一组邻边相等，这样的特殊矩形是正方形；同样，教师拿出活动菱形框架，运动中让学生发现：只要菱形有一个内角为90，这样的特殊矩形是正方形教师活动：组织学生联想正方形还具有哪些性质，板书画出一个正方形，如下图： 学生活动：观察、联想到它是矩形，所以具有矩形的所有性质，它又是菱形，所以它又具有菱形的一切性质，归纳如下： 正方形定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形 正方形性质： （1）边的性质：对边平行，四条边都相等 （2）角的性质：四个角都是直角 （3）对角线的性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角 （4）对称性：是轴对称图形，有四条对称轴 【设计意图】采用合作交流、发现、归纳的方式来解决重点问题，突破难点 二、实践应用，探究新知 【课堂演练】（投影显示） 演练题1：如图，已知四边形abcd是正方形，对角线ac与bd相交于o，mnab，且分别与oa、ob相交于m、n求证：（1）bm=cn，（2）bmcn 思路点拨：本题是证明bm=cn，根据正方形性质，可以证明bm、cn所在bom与con是否全等（2）在（1）的基础上完成，欲证bmcn只需证5+cmg=90，就可以了 【活动方略】 教师活动：操作投影仪组织学生演练，巡视，关注“学困生”；等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题证：（1）四边形abcd是正方形，cob=bom=90，oc=ob，mnab，1=2，abo=3，又1=abo=45，2=3，om=on，conbom，bm=cn（2）由（1）知bomcon，4=5，4+bmo=90，5+bmc=90，cgm=90，bmcn演练题2：已知：如图，正方形abcd中，点e在ad边上，且ae=ad，f为ab的中点，求证：cef是直角三角形 思路点拨：本题要证efc=90，从已知条件分析可以得到只要利用勾股逆定理，就可以解决问题这里应用到正方形性质 【活动方略】 教师活动：用投影仪显示演练题2，组织学生应用正方形和勾股逆定理分析解析并请同学上讲台分析思路，板演 学生活动：先独立分析，找到证明思路是利用勾股定理的逆定理解决问题证明：设ab=4a，在正方形abcd中，dc=bc=4a，af=fb=2a，ae=a，de=3ab=a=d=90，由勾股定理得：ef2+cf2=（ae2+af2）+（cb2+bf2）=（a2+4a2）+（16a2+4a2）=25a2，ce2=cd2+de2=（4a）2+（3a）2=25a2，ef2+cf2=ce2由勾股定理的逆定理可知cef是直角三角形 【设计意图】补充两道关于正方形性质应用的演练题，提高学生的应用能力 三、继续探究，学习新知 【问题牵引】 教师提问：怎样判定一个四边形是正方形呢？把你所想的判定方法写出来，并和同学们进行交流、证明 学生活动：分四人小组进行合作讨论，归纳总结出判定正方形的方法如下： 判定方法： 1是矩形，并且有一组邻边相等 2是菱形，并且有一个角是直角 【投影显示】 例4 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形 思路点拨：这是一道文字题，首先应该根据题意画出几何图形，然后依据图形写出已知求证，最后证明，本题可利用正方形性质：对角线互相垂直平分且相等，证出问题 【活动方略】 教师活动：操作投影仪，画出图形，讲请怎样写出已知、求证 已知：如图，四边形abcd是正方形，对角线ac、bd相交于点o 求证：abo、bco、cdo、dao是全等的等腰直角三角形 【评析】这里教师可以让学生上台书写已知、求证然后再纠正写法上的不足 学生活动：分析文字题后，举手上讲台“板演”上述证明思路：因为四边形abcd是正方形，所以ac=bd，acbd，ao=bo=co=doabo、bco、cdo、dao都是等腰直角三角形且abobcocdodao 四、随堂练习，巩固深化 1基训习题 2【探研时空】 如图，把边长为2cm的正方形剪成四个全等的直角三角形请拼成尽可能多的四边形要求：每次拼四边形全部用上这四个直角三角形，但这些三角形互不重叠且不留空隙 思路点拨：思路1：特殊四边形，包括（1）菱形，除正方形之外只有一个，其边长为，对角线为2和4图形略（2）矩形，除正方形之外只有一个，其长为4，宽为1图形略（3）梯形，两个，一个是上底为1，下底为3，高为2的等腰梯形；另一个是上底为2，下底为6，高为1的等腰梯形，图形略（4）一般的平行四边形，共4个，其一，两组对边分别为2和，高为2和；其二，两组对边分别为1和2，高为4和；其三，两组对边分别为2和2，高为2和；其四，两组对边分别为4和，高为1和，图形略思路2：一般凸四边形共两个，一个的四条边长分别为、2、2；另一个的四条边长分别为1、3、，图形略 【评析】这是一道江苏省徐州市2001年中考题，是很好的分类讨论题 五、课堂总结，发展潜能 【问题提出】 正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？与同学们讨论、交流，并用列表和框图表示出来 1平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质（投影显示）边角对角线平行四边形矩形菱形正方形 2平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定平行四边形矩形菱形正方形 六、布置作业，专题突破 1基训 2选用课时作业优化设计作业优化设计 【驻足“双基”】 1正方形abcd的对角线相交于o，若ab=2，那么abo的周长是_，面积是_2如图，已知e点在正方形abcd的bc边的延长线上，且ce=ac，ae与cd相交于点f，则afc=_ 3顺次连接正方形各边中点的小正方形的面积是原正方形面积的（ ） a b c d 4四条边都相等的四边形一定是（ ） a正方形 b菱形 c矩形 d以上结论都不对5如图所示的运动：正方形abcd和正方形akcm中，将正方形aklm沿点a向左旋转某个角度连线段md、kb，它们能相等吗？请证明你的结论 【提升“学力”】6如图，e是正方形abcd中cd边延长线上一点，cfae，f是垂足，cf交ad或ad延长线于g，试判断当点e在cd的延长线上移动时，deg的大小是否变化，若变化，请求出变化范围；若不变化，请求出其度数 【聚焦“中考”】 7如图，在abc中，ab=ac，d是bc的中点，deab，dfac，垂足分别为e、f （1）求证：de=df（2）只添加一个条件，使四边形edfa是正方形，请你至少写出两种不同的添加方法（不另外添加辅助线，无需证明） 7题图