湖南省株洲市高考数学研讨会资料 空间几何考向分析.doc

2015年湖南省高考数学空间几何考向分析一.专题综述理科的立体几何由三部分组成，一是空间几何体，二是空间点、直线、平面的位置关系，三是立体几何中的向量方法高考在命制立体几何试题中，对这三个部分的要求和考查方式是不同的在空间几何体部分，主要是以空间几何体的三视图为主展开，考查空间几何体三视图的识别判断、考查通过三视图给出的空间几何体的表面积和体积的计算等问题，试题的题型主要是选择题或者填空题，在难度上也进行了一定的控制，尽管各地有所不同，但基本上都是中等难度或者较易的试题；在空间点、直线、平面的位置关系部分，主要以解答题的方法进行考查，考查的重点是空间线面平行关系和垂直关系的证明，而且一般是这个解答题的第一问；对立体几何中的向量方法部分，主要以解答题的方式进行考查，而且偏重在第二问或者第三问中使用这个方法，考查的重点是使用空间向量的方法进行空间角和距离等问题的计算，把立体几何问题转化为空间向量的运算问题二.考点归类纵观2014年全国各地高考试题，对立体几何部分的考查基本上集中在以下几个热点问题上：热点一、空间几何体的结构及其三视图、直观图（有14省份）从形式上看，以选择、填空为主，考查形式呈现多样化：一是几何体三视图的识别与判断；（有2省份）二是简单几何体及组合体的三视图与几何体的表面积、体积计算（有12省份）三是与多面体和球有关的求表面积、体积（有4省份）四是以三视图推断原图为背景，作为解得题的条件应重视（有四川、陕西2省）热点二、直线、平面的位置关系解得题中第（1）问:（多为容易题）证明中点问题（有4省份）考查线线、线面、面面平行（有6省份）考查线线、线面垂直的判定和性质。（有8省份）解得题中第（2）问：（难度较大）考查线面角、二面角的计算（有14省份）考查面面垂直的判定和性质（有1省份湖北）考查体积计算（有5省份）热点三、空间向量在立体几何中的应用各地高考试题中立体几何的综合题。用向量法来解可以降低难度，并且多数情况下传统法、向量法都可以解题。三、高考试题与教材的联系在2012至2014年全国各地的高考题中，有很多试题来源于教材上的试题改编2012高考真题广东理6来源于教材必修2p15页练习1（2）改编，教材p18例3原题：画出下列几何体的三视图：原题：已知几何体的三视图，用斜二测画法画出他的直观图2013四川卷（理14、文14 ）来源于教材必修2p52b组1题（2）小题原题：如图，正方体中，的中点为，的中点为，则异面直线与所成角是（ ）a b. c d2014浙江卷（t20）来源于教材必修2p66探究原题：如图，直四棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形满足什么条件时，? (2013湖南，理19) 来源于教材选修2-1 p119复习题b组t3如图，在直棱柱abcda1b1c1d1中，adbc，bad90，acbd，bc1，adaa13.(1)证明：acb1d；(2)求直线b1c1与平面acd1所成角的正弦值解法1：(1)如图，因为bb1平面abcd，ac平面abcd，所以acbb1.又acbd，所以ac平面bb1d而b1d平面bb1d，所以acb1d(2)因为b1c1ad，所以直线b1c1与平面acd1所成的角等于直线ad与平面acd1所成的角(记为)如图，连结a1d，因为棱柱abcda1b1c1d1是直棱柱，且b1a1d1bad90，所以a1b1平面add1a1.从而a1b1ad1.又adaa13，所以四边形add1a1是正方形，于是a1dad1.故ad1平面a1b1d，于是ad1b1d由(1)知，acb1d，所以b1d平面acd1.故adb190.在直角梯形abcd中，因为acbd，所以bacadb从而rtabcrtdab，故.即ab.连结ab1，易知ab1d是直角三角形，且b1d2bb12bd2bb12ab2ad221，即b1d.在rtab1d中，cosadb1，即cos(90).从而sin .即直线b1c1与平面acd1所成角的正弦值为.(2014湖南，理19) 来源于教材选修2-1 p119复习题b组t2如图6,四棱柱的所有棱长都相等,四边形和四边形为矩形.(1)证明:底面;(2)若,求二面角的余弦值.【解析】(1)证明:四棱柱的所有棱长都相等四边形和四边形均为菱形分别为中点四边形和四边形为矩形且又且底面底面.(2)过作的垂线交于点,连接.不妨设四棱柱的边长为.底面且底面面面又面四边形为菱形又且,面面又面又且,面面为二面角的平面角,则且四边形为菱形,则再由的勾股定理可得,则,所以二面角的余弦值为四高考考向分析考向（一）多面体及球体的概念、性质、计算例1.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为【 】a. b. c. d.例2.如图，正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，e，f分别为线段aa1，b1c上的点，则三棱锥d1edf的体积为 .【解析】三棱锥与三棱锥表示的是同一棱锥，又的底dd1e的面积是正方形面积的一半，等于，底dd1e上的高等于正方形的棱长1， .考向（二）由三视图识别立体图形和表面积、体积的计算例3.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是【 】a. b. c. d. 【解析】如下图所示，图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长，本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和，利用垂直关系、等腰三角形的性质和三角形面积公式，可得：.这里有两个直角三角形，一个等腰三角形，该三梭锥的表面积是，故选b.例4. 三棱锥及其侧视图、俯视图如图所示.设分别为线段的中点，为线段上的点，且.（）证明：是线段的中点；（）求二面角的余弦值.解答：解：（1）由三棱锥abcd及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥abcd中：平面abd平面cbd，ab=ad=bd=cd=cb=2设o为bd的中点，连接oa，oc于是oabd，ocbd 所以bd平面oacbdac因为m，n分别为线段ad，ab的中点，所以mnbd，mnnp，故bdnp假设p不是线段bc的中点，则直线np与直线ac是平面abc内相交直线从而bd平面abc，这与dbc=60矛盾，所以p为线段bc的中点（2）以o为坐标原点，ob，oc，oa分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则a（0，0，），m（，o，），n（，0，），p（，0）于是，设平面anp和平面npm的法向量分别为和由，则，设z1=1，则由，则，设z2=1，则cos=所以二面角anpm的余弦值考向（三） 空间几何中的折叠问题折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题，这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现。处理这类题型的关键是抓住两图的特征及联系。例5.正的边长为4，是边上的高，分别是和边的中点，现将沿翻折成直二面角（1）试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；（2）求二面角的余弦值；解：法一：（i）如图：在abc中，由e、f分别是ac、bc中点，得ef/ab，又ab平面def，ef平面def，ab平面def （ii）adcd，bdcd，adb是二面角acdb的平面角，adbd，ad平面bcd，取cd的中点m，这时emad，em平面bcd，过m作mndf于点n，连结en，则endf，mne是二面角edfc的平面角.在rtemn中，em=1，mn=，tanmne=，cosmne=.评析：折叠问题是立体几何的一类典型问题是实践能力与创新能力考查的好素材。解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化。而表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程，一般地，涉及到多面体表面的问题，解题时不妨将它展开成平面图形试一试。考向（四）探究型问题探究型问题是近几年才出现的一种新题型，题目往往提供新颖的信息、情境和设问，要求灵活地运用所学知识有创造性地去解决问题，这一种类型习题在立体几何中也频频出现。例6如图，在三棱锥pabc中，abac，d为bc的中点，po平面abc，垂足o落在线段ad上，已知bc8，po4，ao3，od2.(1)证明：apbc；(2)在线段ap上是否存在点m，使得二面角amcb为直二面角？若存在，求出am的长；若不存在，请说明理由向量法：(1)证明：如图，以o为原点，以射线op为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系oxyz.则o(0,0,0)，a(0，3,0)，b(4,2,0)，c(4,2,0)，p(0,0,4)，(0,3,4)，(8,0,0)，由此可得0，所以，即 apbc； (2)设，1，则(0，3，4)，(4，2,4)(0，3，4)(4，23，44)，(4,5,0)，(8,0,0)，平面bmc的法向量n1(x1，y1，z1)平面apc的法向量n2(x2，y2，z2)，由得即可取n1.由即 得可取n2(5,4，3)，由n1n20，得430，解得，故am3，综上所述，存在点m符合题意，am3. (2)如图，在平面pab内作bmpa于m，连cm，由(1)中知apbc，得ap平面bmc，又ap平面apc，所以平面bmc平面apc，在rtadb中，ab2ad2bd241，得ab.在rtpod中，pd2po2od2，在rtpdb中，pb2pd2bd2，所以pb2po2od2db236，得pb6，在rtpoa中，pa2ao2op225，得pa5，又cosbpa，从而pmpbcosbpa2，所以ampapm3，综上所述，存在点m符合题意，am3.六、2015年高考立体几何命题展望与预测根据今年全国各地省市高考立体几何试题与今年北京、上海两市春招试题特点，结合湖南省自主命题形势，可以预见2015年湖南省立体几何试题将具有以下特点：（一）试题仍将植根于课本 课本一直是高考命题专家命题的蓝本，也是一线教师教学的指南，高考有一部分习题是由教材中的习题经过类比、改造、延伸、拓展而成的，充分体现了高考命题遵循“来源于教学大纲，又不拘泥于教学大纲”的命题宗旨。（二）试题格局、难度变化不大 虽然今年高考数学整套试题结构将有所调整，但立体几何部分估计仍将保持“二小一大”的特征，且以中等难度为主。小题重在考查直线与平面的位置关系；解答题仍然以简单多面体与球为载体，分层设问，证明与计算交织进行，证明的重点是垂直与平行，计算的重点是角、距离、体积或面积。建立空间直角坐标系，在解题中将简化运算的进程。（三）试题将仍然坚持以能力立意高考改革贯彻“三个有助于”决定了高考注重能力的考察作为试题设计的方向。立体几何试题重在考查学生空间想象力，逻辑思维能力，分析问题与解决问题的能力及创新意识，探索型、开放型、研究型问题及创新题型将会在试题中有所体现。（四）试题仍将继续在知识网络的交汇点命制高中数学各章节，各内容本身存在着必然的联系，任何一个知识点都不是孤立的，空间图形与平面图形，空间图形与平面间解析几何，空间图形与代数形式构成了一个有机整体。它们之间相互依存，又彼此独立，从而为设计立体几何习题提供了宝贵的素材。七、立体几何第二轮复习建议第二轮复习时间紧，任务重，肩负着既要巩固第一轮复习成果 ，又要积极备考的重托，对于立体几何，学生有了一定的知识储备，但如何经过第二轮专题复习使学生由知识向能力转化有质的飞跃，是摆在师生面前的一个严肃课题，本人有以下几点个人偏见：（一）立足基础，吃透教材到了第二轮专题复习，由于学习任务繁重，有一些同学希望找到捷径，到处打听所谓的高考信息，试图从中获取法宝。其实任何一个高考命题参与者都不可能透露当年高考命制情况，有了这些精力何不静下心来，认真领会教材，钻研考纲，近几年考题呢？还有一些学生，到第二轮复习时，完全丢掉了教材，狠抓外面所谓的信息卷，这都是极端行为的体现。归根结底，教材才是真正命题的“源头”。因此在复习中必须树立一个信念：植根课本，立足三基，提高能力。（二）全面掌握基础知识，构建立体几何的网络立体几何的复习要有新思路、新方法、第一轮的复习面广但不透，在学生脑海中还难以形成一个整体，而高考试题跨度大、涉及面广，因此教师只有组织学生将知识归纳、总结、提炼，形成一个知识框架和网络（如线线垂直线面垂直面面垂直），才能使复习更具有针对性、实效性，真正达到由知识向能力转化的目的。（三）正确处理精做与多思的关系，摒弃题海战术要提高数学能力，学好每一个章节，不做一定量的习题是不行的，关键是怎样做？这就是要精做与多思，对于立体几何学习也不例外，为此教学时要把握两点：第一，精心设计习题，让学生自己去细心体会已知与未知联系，寻找解题的突破口，老师再进行有的放矢引导，真正领会其中的奥妙。其二，每题必悟，做完一题要引导学生反思，思关键、思方法、思技巧，“悟”是对原有知识的一次升华、创造，是由知识演变为能力的最佳途径。（四）加强转化，化归思想，培养解题意识化归、转化思想贯穿立体几何始终，是处理立体几何问题的基本数学思想，在复习中应注意培养化归转化意识，掌握常见的化归转化方法，如：等积转化，立几问题向平面问题转化，符号语言、文字语言、图形语言的相互转化等。考题预测 （一）以三视图为背景考查点线面的位置关系1.已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形()求此几何体的体积；()求异面直线与所成角的余弦值；()探究在上是否存在点q，使得，并说明理由解：（）由该几何体的三视图可知垂直于底面，且，此几何体的体积为；解法一：（）过点作交于，连接，则或其补角即为异面直线与所成角，在中，；即异面直线与所成角的余弦值为。（）在上存在点q，使得；取中点，过点作于点，则点为所求点；连接、，在和中，以为圆心，为直径的圆与相切，切点为，连接、，可得；，（）设存在满足题设的点，其坐标为，则， ；点在上，存在使得，即，化简得， ，代入得，得，；满足题设的点存在，其坐标为。2.一个几何体是由圆柱和三棱锥组合而成，点、在圆的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图3所示，其中，（1）求证：；（2）求二面角的平面角的大小aodeea侧（左）视图a1d1ad11a11ebcod图3（本小题主要考查空间线线、线面关系，二面角，三视图等知识，考查化归与转化数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力）方法1：（1）证明：因为，所以，即 又因为，所以平面因为，所以（2）解：因为点、在圆的圆周上，且，所以为圆的直径 设圆的半径为，圆柱高为，根据正（主）