高中数学第八章向量的数量积与三角恒等变换8.2三角恒等变换8.2.3倍角公式8.2.4三角恒等变换的应用教案新人教B版.docx

8.2.3倍角公式 8.2.4三角恒等变换的应用(教师独具内容)课程标准：1.能从两角差的余弦公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能运用相关三角公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式)教学重点：1.二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的变形，二倍角公式的简单应用.2.半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练.2.三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力.【知识导学】知识点一二倍角公式S2：sin22sincos.C2：cos2cos2sin22cos2112sin2.T2：tan2.知识点二半角公式sin ；cos ；tan .知识点三积化和差公式coscoscos()cos()，sinsincos()cos()sincossin()sin()，cossinsin()sin()知识点四和差化积公式cosxcosy2coscos，cosxcosy2sinsin，sinxsiny2sincos，sinxsiny2cossin.【新知拓展】1倍角公式中的“倍角”的相对性：对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6是3的2倍，3是的2倍，这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的前提：所含各三角函数有意义2确定半角的正弦、余弦、正切无理表示式前符号的原则(1)如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号(2)若给出角的具体范围(即某一区间)时，则先求所在范围，然后再根据所在范围选用符号(3)如给出的角是某一象限角时，则根据下表决定符号：sincostan第一象限第一、三象限、第二象限第一、三象限、第三象限第二、四象限、第四象限第二、四象限、(4)由于tan及tan不含被开方数，且不涉及符号问题，所以求解关于tan的题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角()(2)存在角，使得sin22sin成立()(3)对于任意的角，cos22cos都不成立()(4)若角是第一象限角，则sin.()答案(1)(2)(3)(4)2做一做(1)sin15sin75的值为()A.B.C.D.(2)若cos，(0，)，则cos的值为()A.BCD(3)已知cos，则cos2等于_(4)tan22.5_.答案(1)B(2)A(3)(4)1题型一 利用倍角公式化简求值例1(1)计算：cos4sin4_；cos2_；(2)化简：_；(3)化简：_.解析(1)cos4sin4cos.原式cos.(2)原式.(3)原式1.答案(1)cos(2)(3)1金版点睛倍角公式转化的策略(1)探究角之间的“倍、半”关系，是恰好运用倍角公式的前提(2)注意角之间的“互补、互余”关系，能有效地进行角之间的互化(3)分析题设条件中所给式的结构特征，是有效进行三角变换的关键提醒：在化简求值时要关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异求下列各式的值：(1)；(2).解(1)cos2sin2cos.(2)tan30.题型二 半角公式的应用例2已知sincos，且，求sin，cos的值解sincos，sin2，又，20，cos0，cos20，cos2，sin ，cos .金版点睛利用半角公式化简的基本思路(1)降次一般运用公式cos2，sin2化次数较高的三角函数为次数较低的三角函数(2)统一函数名称化多种三角函数为单一的三角函数(3)统一角化多角为单一角，减少角的种类(4)弦切互化一般地，若要化简的式子中含有正切，则需要将正切化为正余弦；有时候也需要将弦化为切，要视已知条件或式子结构而定已知cos，180270，求sin，cos，tan.解180270，900，cos0，tan0，sin ，cos ，tan 2.题型三 证明三角恒等式例3证明下列等式：cos2(AB)sin2(AB)cos2Acos2B.证明左边(cos2Acos2Bsin2Asin2Bcos2Acos2Bsin2Asin2B)cos2Acos2B右边，所以原等式成立金版点睛证明的原则及一般步骤(1)化繁为简，观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想(2)变异为同，证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的证明：tan.证明左边tan右边，所以原等式成立.题型四 运用公式研究函数性质例4已知函数f(x)sin2x2sinxcosx3cos2x，xR.求：(1)函数f(x)的最大值及取得最大值时自变量x的集合；(2)函数f(x)的单调递增区间解(1)f(x)(sin2xcos2x)2sinxcosx2cos2x2sinxcosx12cos2xsin2xcos2x22sin，当2x2k(kZ)，即xk(kZ)时，f(x)取得最大值2.函数f(x)取得最大值时自变量x的集合为.(2)由(1)，得f(x)2sin，由题意，得2k2x2k(kZ)，即kxk(kZ)时，函数f(x)单调递增，因此函数f(x)的单调递增区间为(kZ)金版点睛利用公式研究三角函数性质的思路要研究三角函数的性质，需将所给函数式利用和(差)角公式和二倍角公式化为f(x)Asin(x)B或f(x)Acos(x)B的形式，进而依据ysinx或ycosx的性质对所求函数进行性质研究已知函数f(x)sincossin2.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间，0上的最小值解(1)因为f(x)sinx(1cosx)sin，所以f(x)的最小正周期为2.(2)因为x0，所以x.所以当x，即x时，f(x)取得最小值所以f(x)在区间，0上的最小值为f1.1已知cos，则cos2等于()A.BC.D答案B解析cos22cos21.2若角的终边经过点P(1，2)，则tan2的值为_答案解析由角的终边经过点P(1，2)，则tan2，由倍角公式得tan2.3函数ysin2x的最小正周期为_答