（理论物理专业论文）静态ads黑洞在费米场扰动下的似正模分析.pdf

黑洞在费米场扰动下的似正模分析 摘要 利用n e w m a n p e n l o s e 形式，在具有整体单极子的s c h w a r z s h i l da n t i - d e s i t t c r ( a d s ) 时空和m i s s e r - n o r d s t r o m ( r n ) a d s 时空中，首先对d i r a c 场和 r a r i t a s c h w i n g e r ( r s ) 场方程进行了变量分离和退耦合，然后利用h o r o w i t z h u b e n y 方法计算了黑洞的似正模，具体结果如下： 对于d i r a c 场扰动下的渐近a d s 时空中的整体单极子黑洞，我们分 析了不同真空涨落值( 描述整体单极子的参量) 下不同半径的黑洞的似正 模。得出如下结论： 1 对于大黑洞，似正模的实部与虚部是温度的线性函数。对于中小黑 洞，似正模的实部与半径的函数关系比较接近温度与半径的函数关系； 而似正模的虚部比较接近半径的线性函数。 2 大黑洞似正模的值与真空涨落值的大小关系不大。中小黑洞则不 一样，随着真空涨落值的增加，似正模的实部、虚部与半径的函数关系 都逐渐接近于半径的线性函数。 对于r s 场扰动下的渐进a d s 时空中的r n 黑洞。对于大黑洞，我们 分别研究了黑洞半径，电荷，扰动场角动量的量子数对黑洞似正模的基 频与高阶谐波的影响。得出如下结论： 1 黑洞似正模的实部与虚部是温度的线性函数，但是这种线性函数 的斜率与黑洞电荷相关。黑洞电荷越接近极值电荷( q 。) ，线性函数的斜 率越大。 2 由于对于不同半径的r n 黑洞电荷极值不同，为清楚起见，我们将 黑洞半径取定，来寻找似正模与黑洞电荷的关系。我们发现：随着电荷 的增加，似正模的实部不是单调变化的，而是先减小后增加；似正模的 虚部一直单调减小( 绝对值增加) 。当电荷接近某一临界值时，会出现一 种实部为零的非振荡解，而且电荷越大，非振荡解的绝对值越小。我们 所计算的。到4 阶谐波都出现了这种情况。 3 在不改变黑洞半径的情况下，我们改变黑洞所带电荷，研究了似 硕士学位论文 正模的高阶谐波，发现似正模实部虚部都是谐波阶数一，的线性函数。在 这里我们在大电荷的情况下也发现了上述的非振荡解。 4 我们还研究了似正模与扰动场角量子数的关系，发现角量子数的 影响非常微弱。在某种程度上反映了似正模与初始扰动无关的特性 关键词：似正模，整体单极子，r a r i t a _ s c l l 谢n g e 场，d i r a c 场， a n t i d e s i t t e r 时空。 黑洞在费米场扰动下的似正模分析 a b s t r a c t b yu s i n gt h en e w m a n - p e n r o s cf o r m a l i s m ，t h e 。q u a t i o no ft h ed i r a ca n dt h e r s 矗e l d sa r es e p a r a t e da n dd e c o u p l e di nt h es c h w a r z s c h i l da d sa n dt h er na d s s p a c e t i m e s ，a n dt h cq u a s i n o r m a lm o d e sa r ec o m p u t e db yu s i n gh o r d w i t z h u b e n y a p p r o a c l l w es t u d yt h ed i r a cq n m so ft h es c h w a r z s c h i l d a d sb l a c kh o l ew i t hag l o b a l m o n o p o l ea t 矗r s t n o mt h er e s u l t1 ) yc h a n g i n gt h ev a c u u me x p e c t a t i o n ，w h i c l l c o r r e l a t et h cg l o b a lm o n o p o l e ，a n dt h eh o r i z o nr a d i u so ft h eb l a c kh 0 1 e ，e 矗n d ： 1 t h er e l a t i o nb e t w e e nt h eq n m so f l a r g eb l a c kh o l e s 呐t hag l o b 甜m o n o p o l e a n dt h eh a w k i n gt e m p e r a t u r ei sal i n e a rr e l a t i o n ；t h er e l a t i o nb c t w c e nt h er e a l p a r t so fq n m so fi n t e r m e d i a t ea n ds m a l lb l a c kh o l ew i t hag l o b dm o n o p o l ca n dt h e h 瓢w k i n gt e m p e r a t u r ei sal i n e a rr e l a t i o nt o o ；b u tt h er e l a t i o nb e t w e e nt h ei m a g i n a r y p a r t so fq n m so fi n t e r m e d i a t ea n ds m a l lb l a c kh o l ew i t hag l o b a lm o n o p 0 1 ca n dt h e h o r i z o nr a d i u si sal i n e a rr e l a 七i o n 2 t h ev a c u u me x p e c t a t i o nl i t t l ea f f e c t st h eq n m s o f l a r g eb l a c kh o i ew i t ha 9 1 0 b a lm o n o p o l e b u t i ti st h ed i & r e n tc a s ef o ri n t e r m e d i a t ea n ds m a ub l a c kh o l e w i t had o b a lm o n o p o l e a st h ev a c u u mc x p c c t a t i o ni n c r c a s e s ，b o t hr e a lp a r t sa n d i m a g i n a r yp a r t so ft h eq n m sa p p r o x i m a t e st ot h el i n e 缸f u n c t i o n so fh o r i z o nr a d i u s t h e n ，w e8 t u d i e dt h er a r i t a _ s c h w i n g e r ( r s ) 丘e l dq u a s i n o r m 以f r e q u e n c i e so f r e i s s n c r - n o r d s t r 6 卜a n t i - d es i t t e r b l a c kh o l ea n d 、v ec a l c u l a t e db yc h a n g i n gt h e h o r i z o r a d i u so fl a r g cb l a c kh o l e ，t h ec h a r g eo fb i a c kh o l e ，t h ea n g u l a rq u a n t l l m n u m b e ro fr sf i e l d t h ec o n c l u s i o n sa r e ： 1 i t sq n m sa r eal j n e a rf u n c t i o no fh a w k i n gt e m p c r a t u r e ，b u tt h es i o p ei s a 圩e c t e ( 1b yt h ec h a r g ea st h ec h a r g ea p p r o a c h e st ot 1 1 ee ) t r e m ec h a r g e ，t h es l o p e i n c r e a s e s 2 、v ew o u l d n tc h a “g et h eh o r i z o nr a d i u so f b l a c kh o l ef o rw h i c hw i l la 艉c tt h e v a l u eo fc x t r e m ec h a 唱e s ow et 北eh o r i z o nr a d i u so ft h eb l a c kh o l ea sq = 1 0 0 w e6 n d ：a st h ec h 缸g ei n c r e 胡e d ，t h er c 以p a r to fq n m sd e c r e a s e da t 矗r s tt h a n i n c r e a s e d ；t h ei m a g i n a r yp a r td e c r e a s e dm o n o t o n o u 8 l y w h e nt h cc l l ”g ei sc 1 0 s e i i l 硕士学位论文 t oac r i t i c a lv a l u c ，an o n o s c i l l a t o l ym o d c sa p p e 盯a n da st h ec h a r g ei n c r e a s e d ， t h ea b s o l u t ev “u e so ft h en o n - o s c i l i a t o r vm o d e sd e c r e a s e dt h i sc a s ea tl e a s te x i s t s w h e no v e r t o n en u m b e rl e s st h a i l4 3v 忆s t u d i c dt h eh i g h t ( e r t o n eq u a s i n o r m a lf r e q u e n c i e s ，a n d 矗n dt h e yb e c o m e e v e n l ys p a c e df o rh i 吐0 v e r t o n e1 1 u m b e rn w ec h a n g e dt h ec h a r g eo f b l a c kh o l ej n m ec o u r s eo fs t u d y ) a n da l s o 矗n dt h en 。n o s c i i l a t o r ym o d e sw h e nc h a 唱ei sl a r g e 4 w es t u d i e dt h eq u a s i n o r m a lf r e q u e u c i e sw i t hd i n c r c tf ，a n d 矗n dt h a tt h e q u a s i n o r m a lf r c q u e n c i c sd e p c n dv c r yw c a k l yo nf b u ta st h ci n c r c a s co ft h ea n g u l a r q u a i l t u mn u i n b e rf ，t h er e ) i n c r c a s c s ( d e c r e a s e st h co s c i l l a t o r y 恤n cs c a l e ) a n d i m ) id c c r c a s e s ( i n c r e a s c st h cd a m p i n gt i m es c a l e ) k e yw o r d s ： q u a s i n n r n l a 1m 。d e s ，9 1 。b a lm o n o p 0 1 e ，r sh e l d ：d i r a c6 e l d ，a d s s p a c e t i m e 。 i v 第一章绪论 1 1 黑洞与似正模 广义相对论是研究物质的存在与运动的理论1 1 。在这种理论中，天 体质量越大，天体周围的时空弯曲程度也越大。当天体质量与半径满足 一定关系时，时空会极度弯曲，以至于使天体向外射出的光线无法逃离， 这种天体便是广义相对论所预言的黑洞。天体演化过程中质量超过奥本 海默一沃尔可夫极限( o p p e n h e i m e r v o l k o f f ) 的恒星，由于引力太大以至于 中子简并压无法与之达成力学平衡而将所有物质吸入一个视界内部，就 会形成黑洞。根据无毛定理我们知道黑洞共有4 种： s c h w ”z s c h i l d 黑洞 ( 静态黑洞) ，r n 黑洞( 带电荷黑洞) ，k e r r 黑洞( 旋转黑洞) ，k e r r - n c w m a n 黑 洞f 旋转的带电荷黑洞) 。经典黑洞理论认为黑洞只吸收不辐射，但是黑 洞具有温度，如果黑洞的温度高于外界温度仍然不辐射热量显然是热力 学第二定律所不允许的。这时就要考虑到量子效应，霍金在研究黑洞的 形成时发现黑洞具有蒸发现象2 1 。这一首创性发现将量子理论，热力学 和广义相对论的研究联系了起来，解决了广义相对论与热力学之间的矛 盾，同时也引起了人们研究黑洞的兴趣。 研究黑洞开创性的成果之一是g g e 和w h e e l c r 在1 9 5 7 年研究受到微 小扰动的黑洞时得到的，他们得出了一个波动方程3 1 。引力波在理论上 是存在的4 1 ，而且1 9 9 3 年t a y l o r 和h u l s e 由于间接但定量地验证引力波 的存在还获得了诺贝尔奖。预言引力波频率的性质是一个非常有挑战性 的课题。目前普遍认为黑洞受到引力扰动以后会释放出引力波，而且可 以分为3 个阶段5 1 ：第一阶段是初始波动阶段，这一阶段频率的周期， 振幅等等性质都与初始扰动有关；第二阶段是振荡衰减阶段，这一阶段 的频率是振荡衰减的，而且振荡频率，衰减时间都与初始扰动无关，完 全由被扰动的天体的性质决定 6 】；最后的阶段是衰减阶段，此时的频率 已经看不出振荡的特性了，而且由于引力散射的作用逐渐衰减。第二阶 段频率与初始扰动无关的特性吸引了很多科学家的注意，研究中发现这 种似正模( q n m s ) 不仅仅可以用来获取被扰动天体的基本信息，比如质 硕士学位论文 量、角动量、电荷或磁荷等，而且还有其他两个重要的物理意义( 1 ) 由于 在渐近a d s 时空中的黑洞可对应于共形场中的热力学态 7 】 8 】【9 ，而黑洞 时空中测试场的衰减对应于共形场中被扰动态的衰减。所以我们可以在 a d s 时空中算出热力学平衡时的热力学时标，再通过a d s c f t 对应变换 到共形场论中去。这比在共形场论中直接汁算相对来说要简单一些。( 2 ) 在标量场扰动下，具有大虚部似正模频率的实部等于圈量子引力理论中 的b a i b e r o - i m m i r z i 参数，该参数是在圈量子引力理论中为了得到正确的 熵而人为地引入的一参量，所以似正模的研究也许能让我们更好的理解 圈量子引力中黑洞的热力学性质。这一物理意义由h 0 d 1 首先发现，很 多人在进行这方面的研究 1 0 一【1 3 。 似正模可进行的研究很多【1 0 一 5 3 】，人们既要考虑不同的扰动，也要 考虑不同的黑洞时空。扰动包括标量场，d i r a c 场，电磁场，r s 场，引 力场等，黑洞时空则复杂一点，除了考虑黑洞本身带电荷与否以及旋转 与否所带来得4 种情况外，还要考虑整个时空的渐近行为，包括a d s 时 空，d s 时空，平直时空这些与爱因斯坦宇宙常数相关的时空，另外还有 其他情况，比如伸缩子时空，单极子时空等等。 1 2 单极子 提到单极子我们首先就会想到磁单极子。麦克斯韦方程出来时就预 言了磁场无源，不过一直有人在研究磁单极子。磁单极子最早是由d i r a c 预言的5 4 1 。从电动力学里我们知道电场强度e ，磁感强度b 可以用电磁 场矢势a ，电磁场标势来表示。d i r a c 的文章中认为这两个量可以用波 函数相位的导数来表示5 4 ，他在文章中假定波函数的相位的不确定性是 2 ”的整数倍，那么相位变化的积分也就是2 ”的整数倍。根据前面所说的 相位与磁感强度，电场强度的关系，考虑一些能产生相位变化的运动( 跟 n o d a ll i n e 有关) ，就得到了 恚( 刚驴z n ” 对h 的积分可以得出磁荷。从方程( 1 1 ) 中我们可以得出，磁荷与电荷大 小的乘积是h c 2 的整数倍。不过d i r a c 在推导过程中可能有一点问题， 黑洞在费米场扰动下的似正模分析 他文献中h 的表达式是波函数相位因子( 标量) 的梯度的旋度，应该是为 零的。 后来电磁力和弱相互作用统一在了一个具有s c ，( 2 ) u ( 1 ) 对称性的规 范相互作用中了，w 粒子和z 粒子的发现证实了该理论。而且有人也在 数学上证明了电弱统一理论中不可能出现磁单极子。但是其实也正是因 为这个原因这个理论不能解释电荷为什么是量子化的。特霍夫特( th o o f t ) 在知道这一点的情况下，从满足其他对称性的规范场出发，利用黑格斯机 制推出了磁单极解5 鄙。他所算的规范场有两种，一种满足s o ( 3 ) ( s u ( 2 ) ) 对称性，并能自发破缺到v ( 1 ) 对称性；另一种满足s 矿( 3 ) xs u ( 3 ) 对称 性，这种规范场由于太复杂，他没有给出计算过程。最后还算出了磁单 极子的能量，数量级是1 0 ”g e y ，换算成质量的话和一个细菌差不多重。 这个结果表面上看起来是很难接受，不仅仅因为质量太大，而且理论上 s o ( 3 ) ( s u ( 2 ) ) 对称性规范场并非真实的物理模型，所以我们只好去看看对 称性更高的理论。根据量子色动力学，强相互作用可以用满足s u ( 3 ) 对 称性的规范场来描述。于是人们很自然的想通过一个s 矿( 5 ) 的大统一理 论将三种作用力统一。s 矿( 5 ) 自发对称性破缺到s ( 3 ) xs u ( 2 ) 【，( 1 ) 时 会产生很多能量数量级和磁单极子相当的大质量粒子，事实上磁单极子 也是这一过程中所预言的大质量粒子之一。磁单极子的存在不但能够证 明这一理论的正确性，而且还能够解释电荷为什么是量子化的这一电弱 统一理论所不能解释的问题。 我们所研究的整体单极子却是另外一种情况。与磁单极子不同，整体 单极子是通过d ( 3 ) ( ，( 2 ) ) 对称性自发破缺到矿( 1 ) 对称性时得到的 5 6 ，整 体单极子拥有一个戈德斯通( g o l d s t o n e ) 场，该场的能量密度是随半径平 方反比的，球体体积与半径的3 次方成正比，所以该场的总能量是线性 增加的。我们可以回顾一下电动力学中电磁场的能量密度，在真空中为： 。：抓十三b z l z p o e 是平方反比力，他的能量密度很明显是与半径的4 次方成反比，场的总 能量是反比减少的。所以电荷不是整体单极子的一种。既然单极子周围 能够环绕这么大的能量场，单极子所造成的引力效应也会很强，但根据 b a r r i o l a 5 6 等人的计算，这种引力效应将与拓扑空间破缺角相抵消 57 ， 硕士学位论文 然后剩下一个对非相对论物质几乎不产生影响的质量。b a r r i o l a 等人还 发现了正反整体单极子即使相隔很远，他们之间的吸引力也还是非常大 的。这说明，如同夸克禁闭导致我们无法发现自由夸克一样，这种巨大 的吸引力的存在导致单极子很难被发现。我们到现在都没有发现一个单 极子，可能是因为他们都互相湮灭掉了，当然也有可能分别落入两个黑 洞出不来。最先提出这种想法的是l e e 5 8 1 ，后来不少人做了这方面的研 究。例如余洪伟教授研究过整体单极子时空背景中带质量的标量场拖尾 晚期衰减行为【5 9 ，l i c b l i n g 6 0 分别分析了可能存在静态整体单极子的情 况；李新洲f 6 1 1 和b c r t r a n d 6 2 分析了整体单极子在d s 和a d s 时空中的 性质；w a t a b e 6 3 对单极子黑洞做了稳定性分析；s e t ”e 【6 4 分析了单极 子周围的c a s i m i r 效应。值得一提的是s a l g a d o 曾提出过一个与时间无关 的整体单极子黑洞模型，这样计算起来比较方便侧 1 3a d s 时空 本论文中的研究对象之所以都在a d s 时空中，是因为a d s 时空在似 正模的研究中具有重要的物理意义。为了说明a d s 时空这个概念，我们 必须从空间曲率说起。对于任何一个曲面来说，表面的某一点上会存在 两个相互垂直的方向，其中一个方向的曲率能达到最大值，另一个方 向的曲率会达到最小值尥。m * 即为曲面在该点的高斯曲率一6 6 1 。 高斯曲率为。则曲面是平面或可展曲面，欧几里德几何只能处理平面； 高斯曲率为正则曲面是椭圆面，用黎曼几何处理；高斯曲率为负则曲面 是双曲面，用罗巴切夫斯基几何处理( 见图( 1 1 ) ) 。罗巴切夫斯基几何最 初是由罗巴切夫斯基从“过直线外一点至少可作两根平行线”这一公理 建立并发展起米的。他所处理的高斯曲率为负的曲面非常怪异，单位圆 周长大于2 ”r ( 图( 12 ) ) 。研究中我们不可能研究任意空间，只能研究具有 某种对称性的空间，空间如果满足某种对称性，则一定存在使度规的李 导数为零的k i l l i n g 矢量，n 维空间如果要具有极大对称性，则h 1 i i n g 方 程必须有；( + 1 ) 个独立的k i u i n g 矢量，此时高斯曲率必须为常数。在 这种常曲率空间中，曲率张量r ，- ，高斯曲率一和度规钆。之间的关系相 4 黑洞在费米场扰动下的似正模分析 对来说比较简单4 1 ： 吼。， = 一k ( g j 。g 。 一9 砧舢，) ，( 1 3 ) 具有零曲率的2 维平面显然符合这一条件，一般被称为2 维欧几里德空 间。高斯曲率为正的2 维极大对称性空间是球面，高斯曲率为负的2 维极 大对称性空间被称为罗巴切夫斯基空间，这种空间无法在3 维欧几里德 空间中画出来。图( 1 1 ，1 2 ) 中的那几个曲面尽管高斯曲率为负但是不为 常数。极大对称性空间加上时间以后，要保证整个时空都具有极大对称性 的话，欧氏空间必须推广到闵可夫斯基时空；球面必须推广到德西特( d e s i i t e r ) 时空；而罗氏空间必须推广到反德西特( a n t i - d es i t t e r ) 时空。很多 宇宙学家相信d s 时空是我们所生存的时空，只不过曲率非常接近o ，事实 上我很难想象出一个处处曲率相同且不为零的空间。a d s 时空虽然不是 我们所生存的时空，但是如果宇宙学常数为负的话，爱因斯坦方程能够 得出a d s 时空的解。a d s 时空的研究是弦论中的一个重要方向，尤其是 9 7 年底马德西纳发表了马德西纳猜想( a d s c f t 对偶) 7 以后。a d s c f t 对偶是说：一定a d s 时空上的弦论或m 理论对偶于比该a d s 时空维度更 低的共形规范场论，这篇文章在弦论界引用率相当高。后来威顿讨论了 a d s 时空中黑洞与热场论的关系把弦论的研究推向了一个高潮 67 。 要完全掌握这种对偶理论不是一件容易的事，我们现在所做的工作只是 把a d s 时空中测试场的衰减计算出来，至于具体如何对应到低维的共形 规范场论中去，是一件可以推广的工作。具体可以参考文献4 8 1 。 1 4 超引力理论 超引力理论如果成立至少有需要两个最基本的事实：引力子的存在 和超对称的存在。 引力子是奥地利的泡里和瑞士的菲尔兹首先提出的，他们发现了自 旋为2 、静止质量为。的相对论眭场方程，暗示存在万有引力场量子， 也有人从爱因斯坦方程出发，把爱因斯坦方程右边写成一个相对一般散 度为零的张量，此时能得到自旋为2 粒子的波动方程( 或者称为自旋为 2 的场的方程) 。尽管引力子至今都没有找到，不过很多人都认为如同电 硕士学位论文 0 1 5 图11 ：左边的图为高斯曲率为1 的球面。右边的图为轮胎面内部，高斯曲率为负 越靠近两极，曲率越接近o 。 图1 2 ：左边的图为双曲抛物面，方程为一z 2 + 2 = 。高斯嗌率为负。右边的图中 心为两个以原点为圆心的单位圆，一个位于z = o 的平面，一个位于在如左图所示 的双曲抛物面上。根据投影不难分析出双曲抛物面上的单位圆周长更长。 6 黑洞在费米场扰动下的似正模分析 磁相互作用中的光子交换产生电磁力一样，自旋为2 的引力子在物质间 的交换产生了引力。弦论之所以一直有人研究，主要可能也是基于一个 巧合，即弦论能很自然的得出这种自旋为2 的粒子。 超对称简单的说就是波色子与费米子之间的一种抽象的对称性。费 米子必须转动7 2 0 。才能变成原来的样子，而且还满足泡利不相容原理。 可以理解为费米子的几何对称操作如转动的代数与波色子完全不同。不 同几何对称操作的代数的转换不可能通过其中某一个代数来实现。简单 的说，超对称不能通过物理过程实现，表示超对称所对应的转动时不能 用实数或复数，必须要引入一种反对易的数拉格斯曼数( g r “s m a n ) 【6 8 】。 目前我们现在所发现的波色子和费米子之间并不满足这种对称性。部分 物理学家认为现在发现的每一个基本粒子都有超对称伴侣，只不过那些 伴侣与通常的物质所发生的相互作用太弱以至于无法观测到，这种可能 性是存在的，毕竟宇宙中还存在那么多暗物质。 超对称几何的发展导致一批人把他作为了引力几何理论的基础。得 出来的结果就是一种包含了爱因斯坦广义相对论的超引力理论。这种理 论中自旋为2 的引力子有一个自旋为3 2 的超对称引力子，一般称为引 力微子。是传递引力的媒介粒子之一。不同的理论中，引力微子数从1 到 8 不等，对于引力微子数为8 的超引力理论来说，最为有利的维数是1 1 维。 这时候出现了一种巧合。统一理论的研究一直没有间断，德国数学 家西奥多一卡鲁扎首次在形式上统一了广义相对论和电磁理论，从5 维 的爱因斯坦场方程中得出了麦克斯韦方程组，虽然我们所感受到的时空 只有4 维而非5 维，不过瑞典物理学家奥斯卡一克莱因( 克莱因瓶就是以 他的名字命名的) 认为我们的世界就是5 维的，只不过其中的某一维“卷 缩”到了一个非常小的尺度上以至于我们探测不到。后来有人将该克莱 因一卡扎鲁理论推广，在数学形式上统一了4 种力，而维数恰好也是1 1 维。 引力微子( g r a v i t i n o ) 白旋为3 2 且无质量。如果引力微子数为1 的话， r s 方程可以用来描述这种场( 6 9 7 0 】。在弯曲时空中满足 v a b ，砂0 d ，= v g d ，妒j b ，( 14 ) 7 硕士学位论文 方程中v 彬是协变微分，始。，比较复杂，由下面的式子描述： 乩b g = 皿仰e ) ，乩b7 g o ， f 1 5 1 口乌g = v ( b p 砂乞凡磴= v r ( b ，妒器 、7 方程( 14 ) 在n e w m a n p e n r o s e 形式下可以表示为： ( d 一2 ( 十，一3 p p + ) ( 五一3 7 + 肛) ， 。 一( d 一2 卢一血+ 一3 r + 丌+ ) ( 占一3 n 十丌) 一2 壬3 2 = o ， f 16 1 ( a + 2 ，y 一7 + + 3 芦+ 上+ ) ( d 一3 e p ) ， 一( d + 2 a + + p + + 3 丌一r + ) ( j + 3 卢一r ) 一田2 】西一3 2 = o 这里已经取了零标价( ，t ，而铲) ) ，静态球对称度规的零标价一般可以 表示为： e 一2 u ( r ) l 2 0 1 兰e 2 u p 2 o 00 那么旋系数为 7 l 】 7 2 f “：，m “? ” f “= 。t f 。，”m 7 c 。”而” 不为零的只有5 个 0 0 1 哞r 爵 o 0 、2 r s i t 徊 、2 r s n 口 。而矿f ” n p 而p n n j i 而p ”l 。7 7 k p 丽p 雨” ；( f p ；，他“! ” ；( f 矿 ；( f ，m ” i ( k 。n “试” ( 1 7 ) 比。纛妻一封、。， 8 ， 时 例一一一 ，f一 = 、 e 7 卢“ 丌 肛入 k r 盯 p ，一 p a “ 口弘卢 v 7 k ( ，。 黑洞在费米场扰动下的似正模分析 在方程( 1 6 ) 中 d = 辞十南， a = 去( 如+ 品) 吣掣 此时壬。= 只( r ) s ( 口) e 1 ( “+ “纠，已经分离变量，具体见第四章。 ( 11 0 ) 嵩黝 耳 一 v _ 型。上西 = | | 一n j 第二章相关研究 2 1 扰动理论 根据广义相对论我们知道，在弱场线性近似的条件下 钆”= g p 。一 p ，( 2 1 ) 爱因斯坦场方程会变为 口x p u = 一2 灯j v ( 22 ) 其中 x ，：。一氟 ，一：竽 ( 23 ) 方程( 2 2 ) 的解为推迟解，表示引力以光速传播 4 】。r e g g e 和w h e e l e r 的稳定性分析也进行了类似的近似，用表示 。的分量，取g = c = 1 ， s c l l w a r z s c h i l d 时空中爱因斯坦场方程将变成： 鲁+ 型菩嬲掣 0 - 0 ( 2 a ) 方程中l 与扰动的角动量相关 3 】。不过他们并没有精确求解，只是定性 的把方程的解用超几何函数的多项式展开，并得出黑洞在引力扰动下是 稳定的这样一个结论。1 9 7 4 年，z e r i l l i 研究了带电黑洞( r n ) 的情况f 7 3 1 ， 也得出了与( 2 4 ) 相类似的波动方程： 辔+ ( u 2 一妒，) 咒：n 瑞+ 唰一， ( 2 s ) 辔小t “) 僦：。k + 辔 + d ； ( 2 。) a ，b ，c ，d 等都是比较复杂的函数，具体表达式可参考原文献。该方程为以 后的研究带来了不少便利。k ”r 时空中也能得出这种波动方程，方程的 形式是由t e u k o l s k y 首次给出的7 4 1 。 昙p 筹卜叩，郴扎 ( 2 ，) 硕士学位论文 南品( 跏一翁) 岍，n ，郴- o 江s ， t c u k o l s k y 还在文献中证明了k e r r 黑洞在电磁扰动下是稳定的。 2 2 似正模与晚期拖尾 由前一节我们知道，黑洞的扰动可以用波动方程来描述。当这个波动 方程满足如下初始条件：在黑洞视界处，为纯入射波，在无穷远处，为纯 出射波。这时得出的结果被定义为似正模。我们可以想象这样一个物理 过程：扰动与黑洞发生作用，部分扰动被黑洞弹了出来。这个远离黑洞 传播的波是包含有黑洞的信息的，主要反映在波的频率上面。刚开始传 播的时候，扰动本身还没有衰减，黑洞的信息没有占据主要地位，这时 测到的结果是与初始扰动相关的。随着时间的增加，扰动会逐渐衰减， 不过由于波动仍然在黑洞所在的时空中传播，所以黑洞的信息的丢失速 度并没有扰动大，那么这个时候就进入了似正模阶段，波动的频率完全 反映黑洞本身的属性，与初始扰动无关。当然这个波动本身是振荡衰减 的，最终会进入拖尾阶段，完全失去振荡的特性。我们可以具体的讨论 一些前人的研究成果。 c h a n d r a s e l ( 1 l a r 在1 9 7 5 年就研究了s c h w a r z s c h i l d 黑洞的似正模2 1 1 ，不过 并没有完全解决这一问题，因为他当时没有考虑具体的扰动条件。各种扰 动条件下的s c h w a r z s c l i l d 黑洞似正模都一直有人在研究 2 2 2 3 24 2 5 ， d i r ”扰动下的似正模则是由荆继良教授首次开始研究的。荆继良教授计 算了d i r a c 扰动下的s c l w a r z s c h i l d 似正模2 6 1 ，还分析了带质量d i r a c 扰 动下的拖尾性质2 7 。同时也计算了d i r a c 扰动下的s c h w a r z s c h i l d a d s 似 正模 2 8 】【2 9 。我所做的工作便是将结论推广到带有一个整体单极子的 s c h w m s c h i l d a d s 时空中去3 讲。2 ( 】0 5 年，s h uf u w e n 采用w k b 近似计算 了任意自旋场扰动下的s c h w a r s c h i l d 黑洞的似正模。 带电黑洞存在一个极值电荷q 。，这可以根据度规算出来。例如r - n 黑洞度规为，= r 2 2 m r + ( 。，要保证视界t + 有实数解必须有( k 。= m 或者q 。n = 7 ，+ 。r n a d s 黑洞度规为厂= r 2 2 m 7 ，+ 0 2 + r 4 ，可以计算出 臼。= r + 、压而。在计算r n 黑洞似正模的时候必须保证黑洞电荷小于 黑洞在费米场扰动下的似正模分析 0 。s h uf l i 、v e n 计算了采用w k b 近似计算了r s 场扰动下的r n 黑洞的 似正模。b e r t i 在2 0 0 3 年计算了r n a d s 时空中，标量场，电磁场和引力场 扰动下的似正模3 1 1 。对于视界半径大于a d s 半径的黑洞，不同扰动得 出的结果很相近。视界半径接近a d s 半径时就不一样了。而且存在一个 电荷临界值虿。黑洞电荷接近虿时方程会出现纯衰减波解。w a n g b i n 在 2 0 0 5 年详细的推广了这一工作【3 2 】，见图( 2 1 ) ，图( 2 3 ) ，图( 25 ) r n a d s 时空 中，d i r a c 扰动下的似正模的计算是由荆继良教授首先解决的f 3 3 1 ，见图 ( 2 2 ) ，图( 2 4 ) ，图( 2 6 ) 我所做的工作便是将结论推广到r s 场扰动中去。 另外，k e ”与k e r r - n e w m a n 黑洞的似正模也是一个热点方向。如d i r a c 扰动下的k e r r - n e w m a n 黑洞的似正模34 1 ，费米场扰动下的k “r 黑洞的似 正模f 3 5 1 ，中微子似正模 3 6 电磁场和引力场共同扰动下的k e ”黑洞似正 模 37 。引力场扰动下的k e r ra d s 黑洞似正模 3 孔 1 3 4 0 0 0 目 0 f _ 4 0 0 0 8 0 0 0 4 0 0 0 d0 8 一一4 0 0 0 8 0 0 0 4 0 0 0 d0 f 一4 0 0 0 0 0 ：；o 品如艄弩 麓警： 一。1 1 1 i r i 电 051 01 52 02 5 ：o = o “幽埘妒 ：二 一i i 写 051 01 52 0 ：厶“如删弩 譬、：三 一ii 。i 一0 ：。o k 如捌哆 麓 51 01 52 02 53 0 ：0 0 ：；一“如桫 01 52 02 53 0 ：0 - ：，“如炒 毫：三 一l 1 ；i 毛 图2 1 ：标量场扰动下r n 黑洞似正模实部和虚部随谐波次数n 变化的图像。黑洞 视界半径为1 0 0 ，三角形状点为q q m a x = o 1 的情况，圆点为q q m a x = o4 的 情况。扰动角量子数1 分别为0 ，2 ，4 ，6 ，8 ，1 0 。 撇胆 一一 一一一+ 一一一一一一。一一 、妄j 添 黼 一一一一一一一一一一一一一。- 一“ ? 需! 嚣翟：。一：焉： w ，r + = - ( 33 5 n + 21 9 8 ) i n 图22 ：d i r a c 场扰动下r n 黑洞似正模实部和虚部随谐波次数n 变化的图像。黑洞 视界半径为1 0 0 。虚线为衰减解。左图电荷为0 3 q d ：右图电荷为( ) 5 q 一，右图中 出现了纯衰减解。 1 4 们 。 川 啪 埘 黑洞在费米场扰动下的似正模分析 图23 ：标量场扰动下r n 黑洞似正模实部随电荷变化的图像。黑洞视界半径为1 0 0 n 未为谐波次数，扰动角量子数l o ! ! 之w 。o ”5 i 。，1 望 “。0 5 ” 。一一 图2 4 ：d i r a c 场扰动下r n 黑洞似正模实部随电荷变化的图像。黑洞视界半径为 1 0 0 ，n 为谐波次数。 1 5 s；s趿孢阳 季|瑚枷珈蓦|鲫 硕士学位论文 图2 5 ：标量场扰动下r n 黑洞似正模虚部随电荷变化的图像。黑洞视界半径为1 0 0 n 为谐波次数，扰动角量子数l = 0 虚线为衰减解。 地k 、1 4 5 1 5 璺盟 ”“ m b m 。i 图2 6 ：d i r a c 场扰动下r n 黑洞似正模虚部随电荷变化的图像。黑洞视界半径为 1 0 0 ，n 为谐波次数，虚线为衰彘解。 1 6 如 帅加 一 一 一 一 一 一 一 第三章s c h w a r z s c h i l d a d s 整体单极子时空背景中 d i r a c 场的似正模 3 1 时空背景 能够产生整体单极子的模型有很多，我们取最简单的模型【5 6 】，他由 以下的拉格朗日来描述： 11 l = 言乩o t 尹8 一 a ( o o q 2 ) 2 ， ( 3 1 ) h 方程中a 是戈德斯通场的自对耦常数， 是戈德斯通场的真空期待值 ( v c v ) 。妒只含有三个分量( a = 1 ，2 ，3 ) 。这个拉格朗日是满足o ( 3 ) 对称性 的，而且可以自发破缺为u ( 1 1 对称性，可以这样理解：满足这个拉格朗日 的真空本应该满足o ( 3 ) 对称性而位于一个球面上，但由于体系的能量不 够，不能对真空进行一个转动操作，所以真空就固定在了某一个方向，于 是对称性就破缺了。为了构造出整体单极子，我们可以定义妒= 删( r ) r 。r ， 其中 q ( r ) = 1 一( a 町2 r 2 ) - 1 为了得出单极子周围时空的度规，我们可以做如下定义 d s 2 = b p ) d t 2 一a ( r ) d r 2 一r 2 ( d 疗2 + s i n 2 臼d 咖2 ) 根据 瑶= 9 “”瓯庐。以咖。一l ， 我们可以得到整体单极子的能量动量张量： = 等+ 譬+ 拟卜1 ) 2 ， 耳：一等+ 譬+ 拟卜1 ) 2 1 7 2 a r 24 、。 1 霹= 巧= 竽十却卜”， 根据( 3 2 ) ，整体单极子的核外部q z1 并且q 7 1 7 ( 32 ) ( 3 3 ) ( 34 ) ( 3 5 ) zo 所以能量动量张量可 硕士学位论文 以写为碍= 霉= ”2 r 2 和霹= 巧= o ， 此时我们得到了条件碍= 耳和霹= 朋了( 一= c d n 或cr ) 根据理论 ( 噩) 6 5 ，我们可以得出a d s 时空中带有一个单极子的s 出w z s c h i l d 黑洞的 度规。( 取 一c = g = 1 ) d s 2 = ，d 2 一 d r 2 一，2 ( d 口2 + s i 舻日d 妒2 ) ， ( 36 ) j 其中， 2 mr 2 ，2 1 一日一了十雨 其中r 为a d s 半径，日= 8 口q 2 ， f 3 ，6 ) 带入爱因斯坦场方程，h = f 3 7 1 m 表示黑洞的质量。我们可以将度规 。时，如果方程要成立，必须满足 ( 3 8 1 为了方便计算，我们取a = 一3 ( a d s 半径r = 1 ) 。注意! 这里的a 是存在 于爱因斯坦场方程中的宇宙常数，不是扰动方程中的算符。再回到度规 ( 3 6 ) 中，可以推出黑洞质量与黑洞视界r - 满足下列关系： m ：拿( 1 + 学) ， ( 3 9 ) 另外，我们还可以推导出霍金温度与黑洞视界的关系 ：箬：三祟l ：望掣， ( 31 0 ) 妇= 爵= 石石l ，= 可f 上u 7 其中一是表面引力常数。同时，我们可以通过度规( 36 ) 推导出零标架： ：( 丢，圳，叭 ：之( 1 ，一会，o ，【j ) ， m k 击( 。，叭：南) ： 其中 = ( 1 一日) r 2 2 r 十r 4 ( 3 1 2 1 = ? ，( r 一7 + ) ( 7 1 2 + r + ，+ 1 一日+ r ；) 、 1 8 黑洞在费米场扰动下的似正模分析 3 2扰动方程 接下来我们考虑黑洞周围的d i r ”方程7 9 1 ： 2 v b