第43届IMO试题解答.pdf

中 等 数 学 莞 赛之 穿 第 4 3届 I M O试题解答 1 设 n为任意给定的正整数 7 1 为平面上所有 满足 Y n Y为非负整数的点 所组成的 集合 中每一点 y 均被染上红色或蓝色 满足 若 是红色 则 7 1 中所有满足 Y Y的点 Y 均为红色 如果 n个蓝点的横坐标各不相 同 则称这 n个蓝点所组成的集合为一个 一 集 如果 n个蓝点纵坐标各不相同 则称这 n个蓝点所组成 的集合为一个 y 集 证明 x 一 集的个数和 y 集的个数 一 样 多 2 B C为圆r的直径 f的圆心为0 A为r上的 一 点 0 o A O B 1 2 0 D是弧A B 不含 C的弧 的 中点 过 O平行于 的直线交A C于 的垂直平 分线交 r于E 证明 是 C E F的内心 3 找出所有的正整数对 m n 3 使得存在无穷 多个正整数 o 有 为整数 t 一 4 设 n为大于 1的整数 全部正因数为 d d 2 d t 其中 l d l d 2 d n 记 D d l d 2 d 2 d 3 d t l a 证明 D n b 确定所有的 n 使得 D能整除 n 5 找出所有从实数集 R到 R的函数 使得对所 有 Y z t R 有 x z Y t x y z t 埘 6 设 n 3为整数 r r n为平面上 半径为 l 的圆 圆心分别为 0 0 0 0 假设 任一直线至多和两个圆相交或相切 证明 一 L I 二1 2 0 4 解 答 1 设红点个数为 m X 一 集合数 目为 t Y 一 集合数 目为 对 m 0 m 进行归纳证明 1 当 m 0时 由乘法原理 s t n 命题成 积 外 接恻 半径 内切 圆半径 证 明 1 r s一 h h b一 二 旦 二 2 F aF b a b c s 一 s 一 6 s a 一 2 s 6 c 3 将 已知等式 a b c 4 肌 b c s 4 R r r 代入上式化简即得式 2 F a F b b 6 一 一4 s 一口 i s 一 1 n 6 s C 一 一4 s 一口 s b s c s b c 一 3 a b c 一 4 7 r s 一口 将 已知等式 a c 4Rr s b c s 4Rr r 2 7 r s 一口 s r 代人上式化简后 即得式 参考文献 1 王向东 苏化明 王方汉 不等式 理论 方法 郑州 河 南教育 出版社 1 9 9 4 维普资讯 2 O O 2年第 5期 2 l 立 2 假设 m 0 k 巫 时命题成立 3 对于 m l 设点 P o y o 是使 Y o 最大的红点之一 那么 将 P改为蓝点 由于不存在 其他红点 Y o Y o 因此 这仍然是一个 满足条件的集合 记为 对它类似地定义t s 对于 设它 在 i 0 i n 1 列上 的蓝点 有 峨个 在 0 n 1 行上的蓝点有 6 个 峨 对于改变前的集合 7 有 t 甄 1 职 6 1 y 0 在 粕 列上 纵坐标大于等于 的 T中的点 有 n o y o 个 所 以 R o y o 同理 b n一 一 故 b 于 是 职峨 1 职 6 yo 1 一 0 即 t s 故 对 m l 时 命题 也成立 因此 对一切 0 m 命题成立 2 如 图 l 由题 设 A 为 F的 中点 于是 c A 为 E C F的平 分线 又 由于 O A O C LA O D A 叩 O A C 则 O D 从 丽 t 1 7 f 1 0 因此 M O I 为平行 四边形 又 O F AF为菱形 有 M O D O E I F 图 1 I F E I F A 一 EF A M F 一 E C A MF 一 I C F I FC 即 为 E F C的平分线 故 是I X C E Y的 内心 注 条件 A O B 1 2 0 保证点 在 C E F的内 部 3 假设 m n 为所求 显然有 n m 1 首先有 g X 一1 整除f 一 1 实际上 由于 g 为本原多项式及除法定理 有 加 其中 d e g r d e g g 余 项 景 当 一 时 趋 于 零 但 另 一 方 面 对 无穷多个整数 n 它为整数 于是 有无穷多个整数 o 使得 o 得出 r 0 g L a 2 多项式 g 在 0 1 中有惟一根 由于 g 在 0 1 中为增函数 且值域为 一l 1 从而 在 0 1 中有惟一实根 又由于 g 整除 所以 它们有相同的根 并记为 a 3 利 用 口 证明 m 0 6 1 8 为 h l的 正根 因为 在 0 1 单增 且 0 a 另一方面 若 m 2 n 则 l 一口 口 口 1 一口 从 而 口一1 a a 1 O 有 a 矛 盾 4 对 m 2 n 有惟一解 m n 5 3 假设有解 考虑 n 2 并记 d g 2 2 3 由 1 得 一 2 l I T l 0 d d 令 m l 2 D d k d k 如果 DI n 2 则 为 n 的因f 但 1 0及 厂 为偶函数 则对 y ER 有 f Y 0 在式 中令 t z 一 则 厂 Y f 厂 即 厂 Y 厂 厂 因此 对 t 0 f 厂 对 R 为增 函数 在式 中 令 Y t 1 则 f X一1 f 1 2 1 可用归纳法证明f n n 对非负整数 n成立 由于 厂 为偶函数 则f n n 对所有整数成 立 由f x y f 厂 可得 厂 n n 对 所有 有 理数成立 假设对某个正数 厂 若厂 n v 厂 则 f n f 由 的增加性 有 厂 n 矛盾 对 f 可类 似证明 于是 厂 R 由于 厂 为偶函数 所以 R 经检验 0 R f 1 l i f R均满足条件 故它们为所求的解 6 如 图 2 对 圆 1 i 过 圆心 O 作 的两条切线 将 平面分为 4部分 将 图2 上与 在同一部分的弧以及这段弧相对的另一段弧 染色 同样地 对 也有相同长度的两段弧被染色 由于过 O 的直线至多过其他 的一个圆 因此 上的每个点至多被染色一次 不考虑多个圆的 点 下面考虑 与 之间染色 的弧总 长度 如图 3 设 O P为 的一条 切线 与 切 于 P 维普资讯 2 0 0 2年第 5 期 篓 0 P N Q M 0 P M 线 与 r 交 于 上 M 一一 于 则 I o Q M o O P 3 所 以 O iQ eo 即 1 则硒 M Q 硒 1 8 因此 对这 n个 圆 两两之 间 染 色 的弧 总 长 8 然 而 这些 圆 的 周 长之 和 为 如 图 4 考 虑 0I 0 2 0 这 n 个点 的 凸包多边 形 0 D 以及 厂 l 在 0 0 0 外角 部分 的 弧 此 多 边 形外角 和为 2 因 此 这 些弧 的总 长 为 4 4 F面证明 每一段弧至多有一半 被染 色 如图 5 任取多边形上相邻的三个顶点 不妨没 依次为 0 0 2 0 连 0 0 并延长与 r2 交于 4 射 线 0 2 0 3与 r 2 交于 设 Z 为 r 距 较 近的一条外公切 线 并 过 0 作 f 2 l l 2与A B 交于c 过 0 怍 0 2 D 与 相 切 图 5 于 D 且 D与 C在 0 0 3同侧 0 2 D经过 因为 l 不 与 厂1 相交 在 l 两 侧 r 半 径为 1 则 z 到 l 的距离大于等于 1 所以 D到z 2的 距 离大于等于 1 又因 D O 3 1 则 D到 0 2 0 3的距离小于等于 1 D在 0 0 2 C中 DO203