湖南省高考数学第二轮复习 专题升级训练30 解答题专项训练(立体几何) 理.doc

专题升级训练30 解答题专项训练(立体几何)1有一根长为3 cm，底面半径为2 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少？2已知正四面体abcd(图1)，沿ab，ac，ad剪开，展成的平面图形正好是(图2)所示的直角梯形a1a2a3d(梯形的顶点a1，a2，a3重合于四面体的顶点a)(1)证明：abcd；(2)当a1d10，a1a28时，求四面体abcd的体积3一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中m，g分别是ab，df的中点(1)求证：cm平面fdm；(2)在线段ad上(含a，d端点)确定一点p，使得gp平面fmc，并给出证明4.如图，abedfc为多面体，平面abed与平面acfd垂直，点o在线段ad上，oa=1，od=2，oab，oac，ode，odf都是正三角形(1)证明直线bcef；(2)求棱锥fobed的体积5.如图所示，已知正三棱柱abca1b1c1的所有棱长都相等，d是a1c1的中点，则直线ad与平面b1dc所成的角的正弦值为多少？6.如图，正方形adef与梯形abcd所在的平面互相垂直，adcd，abcd，ab=ad=2，cd=4，m为ce的中点(1)求证：bm平面adef；(2)求证：平面bde平面bec；(3)求平面bec与平面adef所成锐二面角的余弦值7.如图，四棱锥pabcd中，底面abcd为平行四边形，dab=60，ab=2ad，pd底面abcd. (1)证明：pabd；(2)设pdad，求二面角apbc的余弦值8.如图，已知在四棱锥pabcd中，底面abcd是矩形，且ad=2，ab=1，pa平面abcd，e，f分别是线段ab，bc的中点 (1)证明：pffd；(2)判断并说明pa上是否存在点g，使得eg平面pfd；(3)若pb与平面abcd所成的角为45，求二面角apdf的余弦值参考答案1. 解：把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形abcd(如图)，由题意知bc3 cm，ab4 cm，点a与点c分别是铁丝的起、止位置，故线段ac的长度即为铁丝的最短长度ac5(cm)，故铁丝的最短长度为5 cm.2. (1)证明：在四面体abcd中，ab平面acdabcd.(2)解：在题图2中作dea2a3于e.a1a28，de8.又a1da3d10，ea36，a2a310616.又a2ca3c，a2c8.即题图1中ac8，ad10，由a1a28，a1ba2b得图1中ab4.sacdsa3cddea3c8832.又ab面acd，vbacd324.3. 解：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面adf中addf，dfada.(1)证明：fd平面abcd，cm平面abcd，fdcm.在矩形abcd中，cd2a，ada，m为ab中点，dmcma，cmdm.fd平面fdm，dm平面fdm，fddmd，cm平面fdm.(2)点p在a点处证明：取dc中点s，连接as，gs，ga，g是df的中点，gsfc.又ascm，asaga，平面gsa平面fmc.而ga平面gsa，gp平面fmc.4. (1)证明：设g是线段da与eb延长线的交点由于oab与ode都是正三角形所以ob綉de，og=od=2.同理，设g是线段da与fc延长线的交点，有ogod2.又由于g和g都在线段da的延长线上，所以g与g重合在ged和gfd中，由ob綉de和oc綉df，可知b和c分别是ge和gf的中点，所以bc是gef的中位线，故bcef.(2)解：由ob1，oe2，eob60，知seob，而oed是边长为2的正三角形，故soed.所以s四边形obedseobsoed.过点f作fqdg，交dg于点q，由平面abed平面acfd知，fq就是四棱锥fobed的高，且fq，所以vfobedfqs四边形obed.5. 解：不妨设正三棱柱abca1b1c1的棱长为2，建立如图所示空间直角坐标系，则c(0,0,0)，a(，1,0)，b1(,1,2)，d，则，设平面b1dc的法向量为n=(x，y,1)，由解得n=又，sin =|cos，n|=.6. (1)证明：取de中点n，连接mn，an.在edc中，m，n分别为ec，ed的中点，所以mncd，且mncd.由已知abcd，abcd，所以mnab，且mnab，所以四边形abmn为平行四边形所以bman.又因为an平面adef，且bm平面adef，所以bm平面adef.(2)证明：在正方形adef中，edad.又因为平面adef平面abcd，且平面adef平面abcdad，所以ed平面abcd.所以edbc.在直角梯形abcd中，abad2，cd4，可得bc2.在bcd中，bdbc2，cd4.所以bcbd.所以bc平面bde.又因为bc平面bce，所以平面bde平面bec.(3)解：由(2)知ed平面abcd，且adcd.以d为原点，da，dc，de所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系b(2,2,0)，c(0,4,0)，e(0,0,2)，平面adef的一个法向量为m(0,1,0)设n(x，y，z)为平面bec的一个法向量，因为(2,2,0)，(0，4,2)，所以令x1，得y1，z2.所以n(1,1,2)为平面bec的一个法向量设平面bec与平面adef所成锐二面角为，则cos .所以平面bec与平面adef所成锐二面角的余弦值为.7. (1)证明：因为dab60，ab2ad，由余弦定理得bdad.从而bd2ad2ab2，故bdad.又pd底面abcd，可得bdpd.因为pdadd，所以bd平面pad，故pabd.(2)解：如图，以d为坐标原点，ad的长为单位长，射线da为x轴的正半轴建立空间直角坐标系dxyz.则a(1,0,0)，b(0，0)，c(1，0)，p(0,0,1) (1，0)，(0，1)，(1,0,0)设平面pab的法向量为n(x，y，z)，则即因此可取n(，1，)设平面pbc的法向量为m，则可取m(0，1，)，cosm，n.故二面角apbc的余弦值为.8. (1)证明：pa平面abcd，bad90，ab1，ad2，建立如图所示的空间直角坐标系axyz，则a(0,0,0)，b(1,0,0)，f(1,1,0)，d(0,2,0)不妨令p(0,0，t)，(1,1，t)，(1，1,0)，111(1)(t)00，即pffd.(2)解：设平面pfd的法向量为n(x，y，z)，由得令z1，解得：xy.n.设g点坐标为(0,0，m)，e，则，要使eg平面pfd，