线性代数课程复习提纲.doc

线性代数课程复习提纲王航平第一章行列式：1、行列式的定义：（1）（仅）适用于2、3阶行列式的对角线法则；（2）逆序数与排列的奇偶性；（3）n阶行列式的定义（的意义与展开，展开式中项的规律与符号的确定（3种方式）；（4）抽象表示技能。2、行列式的基本计算：（1）利用定义计算；（2）利用行列式的性质，化行列式为上（下）三角行列式计算；（3）利用行列式的性质，化某行（列）只留一个（可能的）非零元，再用行列式的按行按列展开定理（子式，余子式，代数余子式）计算。3、行列式的常用计算技巧：（1）利用行和或列和相等的特点计算；（2）加边法；（3）同时拆行（列）法；（4）递推法*；（5）利用Vandermonde行列式计算；(6)数学归纳法*。（此次考试仅要求有限阶的数字行列式与文字行列式的计算）4、Cramer法则：注意Cramer法则使用的前提条件：（1）方程组的个数与未知量的个数相等；（2）系数行列式不为零。难点：抽象表示（n阶行列式的定义）、n阶行列式的计算。第二章矩阵及其运算矩阵的各类运算：1、 乘法：（1） 两矩阵相乘的前提（左矩阵的列数与右矩阵的行数相等）；（2） 乘法交换律不成立（导致乘法公式不成立，二项式公式不成立，消去律不成立）；（3） 积矩阵中元的表示。（）2、 转置、方阵的行列式、共轭矩阵：定义与运算性质（穿脱原理；、等）。3、 逆矩阵：（1） 逆矩阵的定义；（2） 可逆的充要条件（行列式不为零、非奇异、满秩）；（3） 伴随矩阵；利用伴随矩阵求逆。（注意伴随矩阵的计算程序，以保证计算结果的准确性）4、 矩阵的分块：（1） 分块运算的定义，尤其是分块的转置、分块乘法中左（右）矩阵的块保持在左（右）边；（2） 分块求逆法（设未知矩阵求解矩阵方程、准对角矩阵的求逆）重点：矩阵的求逆（要求掌握各种求逆方法）。第三章矩阵的初等变换与线性方程组1、矩阵的初等变换、行阶梯形矩阵、行最简矩阵；2、子式、求矩阵的秩，三秩相等定理；3、线性方程组的有解判别定理；4、初等矩阵及八字原则（左行右列，首尾为主）；5、利用初等变换求矩阵的逆、求解矩阵方程。第四章向量组的线性相关性1、线性表示、线性组合、两向量组的等价2、 线性相关性：（1） 定义（2个）；（2） 相关性的判别：转为向量方程是否有非零解，转为齐次线性方程组是否有非零解；转为求矩阵的秩；向量组线性相关向量方程有非零解矩阵的秩3、极大无关组、秩及其求法；(对矩阵施行初等行变换，不改变矩阵列向量之间的线性关系。)4、相关性与矩阵间的关系（表示矩阵等）； （3） （即为基本定理）（4） 当线性无关时，有5、 相关性的有关性质：尤其是线性相性的基本定理：向量组A可由向量组B线性表示，则(秩)6、 向量空间：（1） 定义与判别；（2） 生成子空间及相关性质：（3） 基与维数：能找出给定空间的基（一般为常见空间）7、求解线性方程组（基础解系、通解、特解。有解判定定理。系数矩阵的秩与基础解系所含向量个数的关系）（注意求解程序，以保证计算的正确性）基本题型：（1） 相关性的证明；（2） 求给定向量组的极大无关组、秩，并用该极大无关组表示其余向量；（3） 相关性的判断；（4） 求解线性方程组。（5） 重点：线性相关性、求解线性方程组。第五章相似矩阵与二次型1、向量的内积：定义（对称性、线性性、非负性）、长度、正交；2、正交向量组、规范正交基、Schmidt正交化、正交矩阵、正交变换；3、特征值、特征向量、特征多项式及Hamilton-Cayley定理、属于不同特征值的特征向量线性无关；4、相似矩阵：定义（是矩阵间的一种等价关系）、相似矩阵具有相同的特征多项式、相似对角化、矩阵能相似对角化的充要条件、充分条件； 5、实对称矩阵的相似性：特征值必为实数、属于不同特征值的特征向量必正交、任一特征值的代数重数等于其几何重数、实对称矩阵必可相似对角化、实对称矩阵必可正交对角化；6、二次型：二次型矩阵、二次型的秩、矩阵的合同变换、标准形、惯性定理；7、二次型的正定性：正定二次型、正定矩阵、正定的充要条件、霍尔维茨定理（顺序主子式）。基本题型：1、 用正交变换化二次型为标准形；2、 相似对角化及其证明；3、 正定矩阵证明。注意：注意有关结论的前提，是一般的方阵，还是实对称矩阵。第六章线性空间与线性变换1、 线性空间的定义：11条2、 线性空间的性质及证明：公理化方法3、 子空间的定义及其判断4、 维数、基与坐标：要求能熟练计算5、 线性空间的同构及应用同构理论解决一般线性空间中的问题6、 过渡矩阵与基变换、坐标变换：要求熟练矩阵表示，过渡矩阵的列向量的几何意义7、 线性变换与其在某基下矩阵：基下矩阵的列向量的几何意义8、 线性变换的性质与向量组与象向量组的线性关系：线性相关线性相关，但其逆不真。9、 线性变换的象与核、线性变换的秩10、 同一线性变换