圆锥曲线的最值问题常见类型及解法.ppt

高考地位 最值问题是高考的热点 而圆锥曲线的最值问题几乎是高考的必考点 不仅会在选择题或填空题中进行考察 在综合题中也往往将其设计为试题考查的核心 类型一 两条线段最值问题 利用圆锥曲线的定义求解根据圆锥曲线的定义 把所求的最值转化为平面上两点之间的距离 点线之间的距离等 这是求圆锥曲线最值问题的基本方法 关键 用好圆锥曲线的定义 例1 已知点F是双曲线的左焦点 定点A 1 4 P是双曲线右支上动点 则的最小值为 思维导图 根据双曲线的定义 建立点A P与两焦点之间的关系 两点之间线段最短 例1 已知点F是双曲线的左焦点 定点A 1 4 P是双曲线右支上动点 则的最小值为 解析 设双曲线右焦点为F 例2 如图 由椭圆的定义 椭圆上的点到两个定点之间的距离为定值 MF MF 10 MF MA 10 MF MA 10 MA MF 10 AF 因此 当 AF 最大时 MA MF 是最大值 具体解题过程如下 已知椭圆的右焦点F 且有定点A 1 1 又点M是椭圆上一动点 问 MA MF 是否有最值 若有 求出最值并指出点M的坐标 分析 问题 本题解题到此结束了吗 最小值为 变式训练 已知P点为抛物线上的点 那么P点到点Q 2 1 的距离与P点到抛物线焦点的距离之和的最小值为 此时P点坐标为 类型二 圆锥曲线上点到某条直线的距离的最值 切线法当所求的最值是圆锥曲线上点到某条直线的距离的最值时 可以通过作与这条直线平行的圆锥曲线的切线 则两平行线间的距离就是所求的最值 切点就是曲线上去的最值时的点 所以圆上的点到直线的最短距离为d d1 r 思考 例1是否还有其他解题方法 问题 直线L的方程改为3x 2y 6 0 其结果又如何 圆上的点到直线的最短距离即为两平行直线间的距离 例2 求椭圆上的点到直线的距离的最大值和最小值 并求取得最值时椭圆上点的坐标 思维导图 求与平行的椭圆的切线 切线与直线的距离为最值 切点就是所求的点 x y o 例2 求椭圆上的点到直线的距离的最大值和最小值 并求取得最值时椭圆上点的坐标 解 设椭圆与平行的切线方程为 变式训练 动点P在抛物线上 则点P到直线的距离最小时 P点的坐标为 例3求点到椭圆上点的最大距离 并求出此时椭圆上的点的坐标 本题可以根据椭圆的方程设出满足条件的点的坐标 然后根据两点间的距离公式借助于二次函数求出此最大值 并求出点的坐标 分析 类型三 圆锥曲线上点到x轴 Y轴 上某定点的距离的最值 解 例3求点到椭圆上点的最大距离 并求出此时椭圆上的点的坐标 思考题 变式训练 已知双曲线C P为C上任一点 点A 3 0 则 PA 的最小值为 例1 已知抛物线y2 4x 以抛物线上两点A 4 4 B 1 2 的连线为底边的 ABP 其顶点P在抛物线的弧AB上运动 求 ABP的最大面积及此时点P的坐标 动点在弧AB上运动 可以设出点P的坐标 只要求出点P到线段AB所在直线AB的最大距离即为点P到线段AB的最大距离 也就求出了 ABP的最大面积 解题过程如下 分析 类型四 d 回顾反思与能力提升 1 此法用了哪种数学思想方法 2 有没有别的办法 3 要注意画出草图 根据图形确定何时取最大值 何时取最小值 类型五 基本不等式法先将所求最值的量用变量表示出来 再利用基本不等式求这个表达式的最值 这种方法是求圆锥曲线中最值问题应用最为广泛的一种方法 例4 设椭圆中心在坐标原点A 2 0 B 0 1 是它的两个顶点 直线与椭圆交于E F两点 求四边形AEBF面积的最大值 A F E B x y 思维导图 用k表示四边形的面积 根据基本不等式求最值 例4 设椭圆中心在坐标原点A 2 0 B 0 1 是它的两个顶点 直线与椭圆交于E F两点 求四边形AEBF面积的最大值 解析 依题意设得椭圆标准方程为直线AB EF的方程分别为设 根据点到直线距离公式及上式 点E F到AB的距离分别为 四边形AFBE的面积为 变式训练 已知椭圆的左右焦点分别为F1 F2 过F1的直线交椭圆于B D两点 过F2的直线交椭圆于A C两点 且AC BD 求四边形ABCD面积的最小值 方法四 函数法把所求最值的目标表示为关于某个变量的函数 通过研究这个函数求最值 是求各类最值最为普遍的方法 关键 建立函数关系式 例5 点A B分别是椭圆的长轴的左右端点 F为右焦点 P在椭圆上 位于x轴的上方 且PA PF若M为椭圆长轴AB上一点 M到直线AP的距离等于 MB 求椭圆上点到点M的距离的最小值 x y A B F M P 思维导图 把所求距离表示为椭圆上点的横坐标的函数 求这个函数的最小值 解析 由已知可得点A 6 0 F 4 0 设点P x y 则 由 1 2 及y 0得 AP