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高中数学 教学 实践 论文集 雷小华 老师

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高中数学高中数学新课改教学感悟新课改教学感悟 牧牧牛归牛归来来 做一个快乐的牧童做一个快乐的牧童 一 一 教学实践论文集教学实践论文集 广东省江门市新会华侨中学广东省江门市新会华侨中学 雷小华雷小华 2010 12 1 前前 言言 8585 年年从从江西省赣南师范学院毕业后江西省赣南师范学院毕业后分配在分配在丰矿一中丰矿一中任教任教 五年后五年后为评为评上上中教一级 中教一级 动手写过一篇论文 动手写过一篇论文 到到现在现在回想回想起来起来 连连论文名字都忘记了 论文名字都忘记了 20032003 年为评年为评上上中学高级 中学高级 用用几天几天时时间间就写完了 半圆内的函数天地 试投后就写完了 半圆内的函数天地 试投后竟竟被 中学数学研究 粤 录用并被 中学数学研究 粤 录用并 发表 发表 中学高级也顺利通过 中学高级也顺利通过 0808 年参加省高考改卷后写了一篇 一道立体几何题与坐标年参加省高考改卷后写了一篇 一道立体几何题与坐标 系的选择 被 广东教育系的选择 被 广东教育 高中 高中 发表后才发表后才逐惭养成写点教学方面的文章 聊以自逐惭养成写点教学方面的文章 聊以自娱娱 跟跟随随教育改革一路走来 当今的教育改革一路走来 当今的高中数学新课改理念倡导积极主动 勇于探索的学高中数学新课改理念倡导积极主动 勇于探索的学 习方式习方式 提倡学生初步学会从提倡学生初步学会从多角度提出问题 理解问题 并能综合多角度提出问题 理解问题 并能综合运运用所学的知识和用所学的知识和 技能解决问题技能解决问题 作为作为一线一线教师教师的我的我们们理应走在理应走在新课改的新课改的前面 才能适应新课改理念前面 才能适应新课改理念的的要要 求求 才能才能在在教学教学中中更好更好地地激发学生的数学学习兴趣 鼓励学生在学习过程中 养成独立激发学生的数学学习兴趣 鼓励学生在学习过程中 养成独立 思考 积极探索的习惯思考 积极探索的习惯 引导学生引导学生探究探究联想联想 体验数学发现和创造的历程 发展他们的体验数学发现和创造的历程 发展他们的 创新意识创新意识 从而从而掌握数学学习的科学方法与科学思维 掌握数学学习的科学方法与科学思维 在在 2626 年的年的教学实践中 教学实践中 看到看到有些有些学生因学数学而烦恼 学生因学数学而烦恼 却却又又不不得得不不每每天天解解大大量量的的数数 学学题题 有有的的学生学生因因学学数学而失去数学而失去学习学习的的信心信心 如何如何引领他们学会思考引领他们学会思考 探究 联想 探究 联想 使使 学生从题海中解脱出来 学生从题海中解脱出来 让让学生从欣赏数学美的角度来学好数学学生从欣赏数学美的角度来学好数学 认清数学的本质认清数学的本质 重重 燃兴趣 重拾燃兴趣 重拾信心 快乐学好数学信心 快乐学好数学呢呢 我我摸索摸索着着 实践实践着着 近年近年来来 我把我把在在新课改新课改教学教学实践实践中的一些中的一些感悟断断续续写了出来感悟断断续续写了出来 其其中中一一篇篇 半圆半圆 内的函数天地内的函数天地 发发表表在在 20032003 年年 中学数学研究 粤 中学数学研究 粤 第第 8 8 期期 一道立体几何题与坐标一道立体几何题与坐标 系的选择系的选择 等等十十余余篇篇发发表表在在 广东教育 广东教育 高中 高中 其中其中发发表表在在 20092009 年年 8 8 月月 广东教育 广东教育 高高 中 第中 第 7 7 8 8 期期的的论文 从近三年高考解析几何大题谈起 被中国人民大学书报资料中心论文 从近三年高考解析几何大题谈起 被中国人民大学书报资料中心 复印报刊资料复印报刊资料 中学数学教与学 中学数学教与学 高中读本高中读本 20092009 年第年第 1212 期全文转载期全文转载 虽然发表虽然发表论文论文 的的稿费不多 但很快乐 稿费不多 但很快乐 现现将将其其收集整理收集整理成成册册 命名命名为 牧牛归来为 牧牛归来 做一个快乐的牧童做一个快乐的牧童 一 一 望能起到抛砖引玉的作用望能起到抛砖引玉的作用 能对能对读者读者有所启发有所启发将将是是我我最大的快乐最大的快乐 胡锦涛总书记胡锦涛总书记在在 2002007 7 年年全国优秀教师代表座谈会上全国优秀教师代表座谈会上讲讲 树立高尚的道德情操和精 树立高尚的道德情操和精 神追求 甘为人梯 乐于奉献 神追求 甘为人梯 乐于奉献 静下心来教书 潜下心来育人 静下心来教书 潜下心来育人 努力做受学生爱戴 让努力做受学生爱戴 让 人民满意的教师 人民满意的教师 这这将将是是我我人人生生奋斗奋斗的的目标目标 我将身体力行之 我将身体力行之 作者作者 20102010 1212 2 目目 录录 夯实基础夯实基础篇篇 1 1 吹尽黄沙始到金吹尽黄沙始到金 浅析函数的奇偶性浅析函数的奇偶性 1717 2 2 欲穷千里目欲穷千里目 更上一层楼更上一层楼 再谈法向量与二面角再谈法向量与二面角 2323 3 3 把根留住把根留住 辨析对称与周期辨析对称与周期 6060 探究联想篇探究联想篇 4 4 半圆半圆内的函数天地内的函数天地 3 3 5 5 一道立体几何题与坐标系的选择一道立体几何题与坐标系的选择 1111 6 6 踏花归来马蹄香踏花归来马蹄香 对一道课本习题的联想探究对一道课本习题的联想探究 4 49 9 7 7 纠错固根纠错固根 探究致远探究致远 对一道解几题的解答分析与联想探究对一道解几题的解答分析与联想探究 7878 思想方法篇思想方法篇 8 8 从特殊到一般从特殊到一般 特殊与一般的数学思想特殊与一般的数学思想 5656 9 9 学好数学需多来几串 糖葫芦 学好数学需多来几串 糖葫芦 6 69 9 试题评析试题评析篇篇 1010 从近三年高考解析几何大题谈起从近三年高考解析几何大题谈起 3939 1 11 1 解好含正整数参变量的高考题解好含正整数参变量的高考题 6 63 3 1 12 2 对一道函数试题的求解分析对一道函数试题的求解分析 7373 高考模拟篇高考模拟篇 1313 20092009 年广东高考数学年广东高考数学 理科理科 仿真试题仿真试题 2828 3 半圆内的函数天地半圆内的函数天地 新教材 高中数学 第一册 上 P90例题 1 是一道与几何图形有关的函数应用题 可作进一步 研究 一 一 课本例题课本例题 如图 1 有一块半径为 R 的半圆形钢板 计划剪裁成等腰梯形 ABCD 的 形状 它的下底 AB 是圆 O 的直径 上底 CD 的端点在圆周上 写出这个梯形 周长y与腰长x间的函数式 并求出它的定义域 课本对上述问题作了如下解答 分析分析 要用腰长表示周长的关系式 应该知道等腰梯形各边的长 已知下 底长为2R 两腰长为2x 因此只要用已知量 半径 R 和腰长x把上底表示 出来 即可以写出周长y与腰长x的函数关系式 解 解 如图 1 RAB2 C D在圆 O 的半圆周上 设腰长xBCAD 作ABDE 垂足为E 连结BD 那么ADB 是直角 从而 ADERt ABDRt 2 ADAE AB 即 2 2 x AE R 2 2 222 22 2 x CDRAER R x yRxR R 2 24 x xR R 注意到梯形的各边的长为正数 故有 0 R x R2 0 R2 x 0 x 2 2 函数y的定义域为 20 Rxx 二 二 对例题的对例题的深入探索深入探索 对这道例题可作进一步地探索 提出问题 与学生共同思考 如 1 1 当腰长当腰长x为何值时 周长为何值时 周长y有最大值 有最大值 2 2 梯形面积梯形面积 S S 与腰长与腰长x的函数式如何 的函数式如何 3 3 当腰长当腰长x为何值时 面积为何值时 面积 S S 有最大值 有最大值 从实际出发 提出三问 激发学生思维 抓住教学重点 把握研究函数的本质 强化建模训练 深入研究函数最值求法 触类旁通 对提高课堂教学效率有帮助 OAB D C E 图 1 发表于 2003 年 中学数学研究 粤 第 8 期 数海泛舟 半圆内的函数天地 数中有数 4 以上三问可作如下解答 1 R4x2 R x y 2 R2 0 x 配方得 2 1 5yxRR R 当xR 时 max 5yR 2 R x R2CD 2 R2 x AE 2 由 高高 下底下底上底上底 梯形梯形 2 S 得 DE 2 ABCD S 2 2 2 2 R2 x x 2 R2 R x R2 2 4 2 2 R4 x x 2 R x R4 R2 0 x 3 S 22 2 22 2 1 1 44 xx Rx RR R4 x 1 R4 x 1 R4 x 1 xR2 2 2 2 2 2 2 2 22222 2222 43 1 1 1 44443 Rxxxx RRRR 4 2222 2 2222 3 1 1 1 4 4444 43 xxxx R RRRR 2 R 4 33 当且仅当 2 2 2 2 R4 x 1 R4 x3 时 即Rx 时 上式等号成立 所以 max S 2 R 4 33 三 三 联想与实践联想与实践 智慧来智慧来自自联想 创新来联想 创新来自自实践实践 我们来探究 当半圆内的几何图形在一定条件下变化时 其周长 和面积的变化规律 探究一探究一 如图 有一块半径为 R 的半圆形钢板 计划剪裁成三角形 ABC 的形状 它的底 AB 是圆 O 的直径 C 在圆周上 设 CB x 数海泛舟 发表于 2003 年 中学数学研究 粤 第 8 期 半圆内的函数天地 数中有数 5 1 写出这个三角形周长y与x间的函数关系式 2 当x为何值时 周长y有最大值 3 写出三角形面积 S 与x之间的函数关系式 4 当x为何值时 面积 S 有最大值 对上述问题可作如下解答 1 分析分析 要用 CB 长x表示周长y 应该先知道三角形中 AC 的 长 因此只要用已知量 半径 R 和 CB 长x把 AC 表示出来 就可以写 出周长y与x的函数关系式 解 解 如图 RAB2 C在圆 O 的半圆周上 由ACB 0 90 可知 2222 4 2 xRxRAC 22 42xRxRy 02xR 2 分析分析 要求周长的最大值 可用要求周长的最大值 可用判别式判别式法求得 法求得 解 解 由 22 42xRxRy 得 xRyxR 24 22 整理得 04 2 22 22 RyyxyRx 由由 0 得 得 0 4 24 2 2 22 RyyyR 22 22 2 RRy 当2xR 时 RRy222 max R 21 2 3 分析分析 如图 三角形面积 SACCB 2 1 解 解 S 22 4 2 x Rx 02xR 4 解 解 S 22 4 2 x Rx 222 1 4 2 xRx 2 2 22 21 22 xRx 2 R O A B D C x 图 O A B C x 图 2 数海泛舟 发表于 2003 年 中学数学研究 粤 第 8 期 半圆内的函数天地 数中有数 6 当且仅当 222 4xRx 时 即Rx2 时 上式等号成立 max S 2 R 探究二探究二 如图 有一块半径为 R 的半圆形钢板 计划剪裁成等边三角形 CDE 的形状 它的底 DE 在圆 O 的直径 AB 上 C 在圆周上 设 CB x 1 写出这个三角形周长y与x间的函数式 2 当x为何值时 周长y有最大值 3 写出这个三角形面积 S 与x之间的函数关系式 4 当x为何值时 面积 S 有最大值 对上述问题可作如下解答 1 分析分析 要用 CB 长x表示这个三角形周长 只需先知道三角 形中任一边的长 可考虑用已知量 半径 R 和 CB 长x把 CE 表示出 来 就可以写出周长y与x之间的函数关系式 解 解 如图 连结OC BC 在三角形 OCB 中 OH CB 垂 足为 H 则ROB 2 x BH 在Rt OBH 中 R 2 x R OBHsin 22 R2 xR4 22 在CEB 中 由正弦定理知 0 120sin x OBHsin CE 0 sin sin120 x CEOBH R xR4 3 x 22 R xR4 3 x 3y 22 即 R xR4x3 y 22 3RxR 2 解 解 R xR4x3 y 22 R xR4 x3 222 2 222 2 xR4x R 3 R32 O A D H E B C 图 数海泛舟 发表于 2003 年 中学数学研究 粤 第 8 期 半圆内的函数天地 数中有数 7 当且仅当 222 4xRx 时 即Rx2 时 上式等号成立 max yR32 3 分析分析 CDE 的面积 02 60sinCE 2 1 S 解 解 02 60sinCE 2 1 S 2 3 R xR4 3 x 2 1 2 22 2 222 R34 xR4 x 2 222 R34 xR4 x y 3RxR 4 解 解 2 222 R34 xR4 x y 2 222 2 2 xR4 x R34 1 4 2 R4 R34 1 2 R 3 3 当且仅当 222 4xRx 时 即Rx2 时 上式等号成立 max S 2 R 3 3 探究三探究三 如图 有一块半径为 R 的半圆形钢板 计划剪裁成圆 1 O 它与圆 O 的直径 AB 相切于 D 与圆周相切于 C 设 CB x 1 写出这个圆 1 O的周长y与x间的函数式 2 当x为何值时 圆 1 O的周长y有最大值 3 写出圆 1 O面积 S 与x之间的函数关系式 4 当x为何值时 圆 1 O面积 S 有最大值 对上述问题可作如下解答 1 分析分析 要写出这个圆 1 O的周长y与x之间的关系式 只需知道圆 1 O的半径长 解 解 如图 设圆 1 O的半径长为r 连结 OC 则圆心 1 O必在 OC 上 在三角形 OCB 中 OE CB A B D C O1 E x 图 数海泛舟 发表于 2003 年 中学数学研究 粤 第 8 期 半圆内的函数天地 数中有数 8 1 OD AB 垂足分别为 E D 由 OC OB 故 CE EB 2 x BOECOE 故在三角形 BOC 中 BOE2sinBOCsin BOEBOE cossin2 R2 xR4 R 2 x 2 22 2 22 R2 xR4x 又在 1 DOO 中 1 1 sin DOr BOC OORr 由 得 rR r 2 22 2 4 R xRx 22 222 4 24 xRx rR RxRx 222 22 xR4xR2 xR4x R2r2y 02xR 2 解 解 222 22 xR4xR2 xR4x R2y 1 xR4x R2 1 R2 22 2 1 xR4 x R2 1 R2 222 2 1 2 xR4 x R2 1 R2 2 222 2 R 当且仅当 222 4xRx 时 即Rx2 时 上式等号成立 max yR 3 分析分析 圆 1 O面积 2 rS 解 解 数海泛舟 发表于 2003 年 中学数学研究 粤 第 8 期 半圆内的函数天地 数中有数 9 2 222 22 xR4xR2 xR4x RS 02xR 4 解 解 由前面可知由前面可知 2 R rmax 2 maxmax r S 4 R 2 或 2 222 22 xR4xR2 xR4x RS 2 222 2 1 xR4 x R2 1 R 2 2 222 2 1 2 xR4 x R2 1 R 4 R 2 当且仅当 222 4xRx 时 即Rx2 时 上式等号成立 max S 4 R 2 四 四 评析评析 1 对于应用题 首先要仔细阅读 认真审题 弄清问题的背景和内涵 2 要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言 根据题设条件 建立目标函数 将应用问 题转化为数学问题 然后利用数学知识进行求解 这个过程实际就是数学建模的过程 可用流程图简 单表示如下 实际问题实际问题 模型假设模型假设 模型建立模型建立 问题得解问题得解 检验分析检验分析 模型求解模型求解 五 五 小结小结 1 对于与几何图形有关的一些实际函数问题 其函数实质是一个变量与另一个变量的一种对应 关系 2 目标函数的建立 约束条件的确定在函数应用问题中尤其重要 建立和确定的方法主要依据 题设 结合相关数学知识 学习时要融会贯通 3 实际问题常涉及变量的实际意义 所以确定定义域时除了函数关系式的限制外 还要注意变 数海泛舟 发表于 2003 年 中学数学研究 粤 第 8 期 半圆内的函数天地 数中有数 10 量的实际意义 4 如何避免学生就题论题 只见树木不见森林 我们应在平时教学中 以基本问题的研究为基 础 引导启发学生深入探究 加强对基础知识的理解 这样做既能复习相关知识 又能体会发现问题 解决问题的过程 激发学生的兴趣与求知欲 我们何乐而不为 数海泛舟 发表于 2003 年 中学数学研究 粤 第 8 期 半圆内的函数天地 数中有数 11 一道立体几何题与坐标系的选择一道立体几何题与坐标系的选择 空间想象能力是 考试说明 中所提到的 五能两意 中的考核要求之一 今年广东高考数学试 题也不例外 体现在文科第 18 题 理科第 20 题 随着几何问题代数化的发展趋势 建立空间直角坐 标系解立体几何题将成为重要方法 下面以 08 年广东高考数学试题理科第 20 题为例 从多种建立方 法来感悟如何适当选择坐标原点以建系 以飨读者 2008 年广东高考数学试题理科第 20 题 如图 1 所示 四棱锥PABCD 的底面ABCD是半径为R的圆 的内接四边形 其中BD是圆的直径 60ABD 45BDC PD垂直底面ABCD 2 2PDR EF 分别是PBCD 上的 点 且 PEDF EBFC 过点E作BC的平行线交PC于G 1 求BD与平面ABP所成角 的正弦值 2 证明 EFG 是直角三角形 3 当 1 2 PE EB 时 求EFG 的面积 建立空间直角坐标系首先选择坐标原点 在本题中选择坐标原点有五种之多 解法如下 一 一 以点以点 A A 为原点为原点建系建系 解析解析由BD是圆的直径可知 AB AD 以点 A 为原点建立空间直角坐标系 如图 2 在Rt BAD 中 60ABD 3ABR ADR 则 0 0 0 A 0 0 B R 0 3 0 DR 0 3 2 2 PRR 0 0 ABR 0 3 2 2 APRR 3 0 BDRR 设平面 ABP 的法向量为 nx y z 由 0 0 AB n AP n 即 0 0 0 0 3 2 2 0 Rx y z RRx y z E F C P G A B 图 1 D z y x C F P E G B A D 图 2 发表于 2008 年 广东教育 高中 第 7 8 期 数海泛舟 一道立体几何题与坐标系的选择 数中有数 12 即 0 32 20 x yz 令2 2y 则可得3z 故 0 2 2 3 n 故 sin cos n BD n BD n BD 02 60 11 2 R R 66 11 点评点评充分利用圆面内直径 BD 所对的圆周角为直角这一性质 在二维垂直关系的基础上发展建立 以 A 为原点的三维两两垂直关系的空间直角坐标系 继而取点写坐标 求向量 计算线面角的正弦值 二二 以点以点 D D 为原点为原点建系建系 解析解析以点 D 为原点建立空间直角坐标系 如图 3 由BD是圆的直径可知 AB AD 故y轴 AB 在Rt BAD 中 60ABD 3ABR ADR 则 3 0 0 AR 3 0 BR R 0 0 0 D 0 0 2 2 PR 0 0 ABR 3 0 2 2 APRR 3 0 BDRR 设平面 ABP 的法向量为 nx y z 由 0 0 AB n AP n 即 0 0 0 3 0 2 2 0 Rx y z RRx y z 即 0 32 20 y xz 令2 2x 则可得3z 故 2 2 0 3 n 故sin cos n BD n BD n BD 2 600 11 2 R R 66 11 点评点评充分利用已知条件 PD 圆面 发展建立以 D 为原点的空间直角坐标系 继而取点写坐标 求向量 计算线面角的正弦值 z y x C F P E G B A D 图 3 发表于 2008 年 广东教育 高中 第 7 8 期 数海泛舟 一道立体几何题与坐标系的选择 数中有数 13 三三 以点以点 C C 为原点为原点建系建系 解析解析由BD是圆的直径可知 BC CD 以点 C 为原点建立空间直角坐标系 如图 4 在Rt BCD 中 45BDC 2BCCDR 则 0 2 0 BR 2 0 0 DR 2 0 2 2 PRR 而求 A 点坐标需费些周折 在ADC 中 先由余弦定理求 AC 长 AC 2220 322675RRR COS 23R 23R 62 2 R 再由正弦定理求出 sinACD 0 sinsin75 ADAC ACD 0 sin75 sin AD ACD AC 3 2 1 cos 2 ACD 设 AAA A xyz 则 cos A xACACD 62 4 R sin A yACACD 3 26 4 R 0 A z 623 26 0 44 ARR 故 2626 0 44 ABRR 3 263 26 2 2 44 APRRR 2 2 0 BDRR 设平面 ABP 的法向量为 nx y z 由 0 0 AB n AP n 即 2626 0 0 44 3 263 26 2 2 0 44 RRx y z RRRx y z 即 26 26 3 26 3 26 8 20 xy xyz 令26x 26y 则可得6z y B x z C F P E G A D 图 4 发表于 2008 年 广东教育 高中 第 7 8 期 数海泛舟 一道立体几何题与坐标系的选择 数中有数 14 故 26 26 6 n 故sin cos n BD n BD n BD 26 2 26 2 0 222 RR R 66 11 点评点评与建立以 A 为原点的空间直角坐标系的道理相同 但用远水去解近火 稍显迂回繁杂 四四 以点以点 B B 为原点为原点建系建系 解析解析以点 B 为原点建立空间直角坐标系 如图 5 由BD是圆的直径可知 CB CD 故y轴 CD 在Rt BAD 中 60ABD ABR 在 Rt BCD 中 45DBC 0 105ABC D 点坐标为 00 2 cos45 2 sin45 0DRR 即 2 2 0DRR 22 2 2RRPR A 点坐标为 00 cos105 sin105 0A RR 即 2626 0 44 ARR 0 0 0 B 2626 0 44 ARRB AP 3 263 26 2 2 44 RRR 2 2 0BRDR 设平面 ABP 的法向量为 nx y z 由 0 0 BA n AP n 即 2626 0 44 3 263 26 2 2 0 44 0 RR RRR x y z x y z 即 26 26 0 3 26 3 26 8 20 xy xyz y B x z C F P E G A D 图 5 发表于 2008 年 广东教育 高中 第 7 8 期 数海泛舟 一道立体几何题与坐标系的选择 数中有数 15 令26x 26 y 则可得6z 故 26 62 6 n 故sin cos n BD n BD n BD 26 2 62 20 222 RR R 66 11 点评点评建立以 B 为原点的空间直角坐标系 利用几何性质及三角函数求 D A 及有关点的坐标 继 而求向量 计算线面角的正弦 五五 以以圆心圆心 O O 为原点为原点建系建系 解析解析以圆心 O 为原点 OD 所在的直线为x轴 如图 6 建立空间直角坐标系 连接 AO 由已知 条件可知 0 120AOD 则 00 cos120 sin120 0 A RR 即 3 0 22 R AR 0 0 BR 0 0 D R 0 2 2 P RR 3 0 22 R ABR 33 2 2 22 R APRR 2 0 0 BDR 设平面 ABP 的法向量为 nx y z 由 0 0 AB n AP n 即 3 0 0 22 33 2 2 0 22 R Rx y z R RRx y z 即 30 334 20 xy xyz 令3x 1y 则可得 6 2 z 故 6 3 1 2 n 故sin cos n BD n BD n BD 2 300 22 2 2 R R 66 11 点评点评充分利用圆的中心对称性 建立以O为原点的空间直角坐标系 利用几何性质及三角函数求 O y B x z C F P E G A D 图 6 发表于 2008 年 广东教育 高中 第 7 8 期 数海泛舟 一道立体几何题与坐标系的选择 数中有数 16 出 D A 及有关点的坐标 继而求向量 计算线面角的正弦 在解答完第 1 问后 用刚才的五种建系方法进而求解第 2 3 问 我们选择以点 C 为原点建系为例 来求解第 2 3 问 图 7 证明证明设 PEDF EBFC 由 EG BC 故 PG GC 由 0 2 0 BR 0 0 0 C 2 0 0 DR 2 0 2 2 PRR 则 222 2 111 RRR E 22 2 0 11 RR G 2 0 0 1 R F 2 0 0 1 R EG 2 2 0 0 1 R GF 0EG GF EGGF 第 3 问的解法如下 解析解析以 C 为原点为例 接第 2 问得 2 1 R EG 2 2 1 R GF 由已知 1 2 PE EB 可得 1 2 1 2 EFG SEGGF 2 2 122 22 2 11 1 RR R 2 4 9 R 六六 建系小结建系小结 本题在建立空间直角坐标系时例举五种 即分别以A D C B O为原点建系 以点A为 原点建系时 解答第 1 问不难 但在解第 2 3 问时运算量加大 有一定难度 同学们可以 验证 若以点C为原点建系时 解答第 1 问运算量较大 而解第 2 3 问时却较顺利 若选 择原点建立在B D O上 解答 3 小问相比之下都较容易 最为简易的是选择原点建立在O上 3 小问的解答才显得简单些 同学们可以验证 运用建立空间直角坐标系来解决立体几何问题时 部分学生认为方法简单 动辄建系取点求向量 由于建系不合理 结果越算越难 半途而废 主要原因有 1 建系不合理 2 点坐标求错 3 不会求法向量 4 有关概念错误 如 线面角 5 思路不清晰 6 计算错误等 所以 在求 解立体几何题时 具体问题具体分析 审好题 立好足 建好系 一句话 要提高解题效率 能否恰 当建立空间直角坐标系显得尤为重要 y B x z C F P E G A D 图 7 发表于 2008 年 广东教育 高中 第 7 8 期 数海泛舟 一道立体几何题与坐标系的选择 数中有数 17 吹尽黄沙始到金吹尽黄沙始到金 浅析函数的奇偶性 函数的奇偶性是函数重要性质之一 是函数自变量与函数值之间具有某种特定的对应关系的一种 性质 函数的奇偶性可帮助我们进一步了解各种函数图像特征 加深对函数的认识 把握好函数的奇 偶性的内部本质 对处理与它有关的数学问题常给我们带来方便 在高中课本中 仅对函数的奇偶性作如下描述 一般地 对于函数 xf 如果对于函数定义域内任意一个x 都有 fxf x 那么函数 xf 就叫做偶函数 若 xfxf 那么函数 xf就叫做奇函数 同学们仅满足于表面上的认识还远远不够 其内部含金量还是很高的 短短两行字 隐含大文 章 下面略举几例加以说明 并附加练习 以飨读者 一一 奇偶函数的奇偶函数的定义域定义域 例例 1 1 定义在 2 6 a a 上的函数 xf是偶函数 则实数a的取值为 A 2a B 4a C 6a D 3a 解析解析由定义可知 2 2 60 6 aa aa 解得3a 选 D 掘金掘金 1 1 由函数的奇偶性定义可知 函数具有奇偶性的一个必要条件是 对于定义域内的任意一个 x 则x 也一定是定义域内的一个自变量 即定义域关于原点对称 比如函数 2 1 1 yxx 1 1 1 x yx x 的定义域不关于原点对称 故都不具备奇偶性 似是而非 练习练习一一已知 2 3f xaxbxa b 是偶函数 定义域为 1 2 aa 则a b 答案 1 0 3 ab 二 二 奇偶函数的奇偶函数的特性特性 例例 2 2 已知 22 21 x x aa f x 是 R 上的奇函数 则a 解析解析若按定义需利用 xfxf 即 2222 2121 xx xx aaaa 恒成立来解出a的值 发表于 2008 年 广东教育 高中 第 9 期 数海泛舟 吹尽黄沙始到金 浅析函数的奇偶性 数中有数 18 显得麻烦 若抓住 xf在R上是奇函数满足性质 0 0f 来求解 则易得1a 掘金掘金 2 2 若奇函数 xf在0 x 处有定义 则 0 0f 读者自己思考证明 若一个函数 xf既是奇函数 又是偶函数 则定义域关于原点对称 且 0f x 由 fxf x fxf x 可推出 练习二练习二定义在R上的函数 yf x 对任意实数 12 x x都有 1212 f xxf xf x 成立 则函 数 yf x 为 函数 填写奇偶性 若又满足 1212 f xxf xf x 成立 则函数 yf x 为 函数 填写奇偶性 且 f x 答案 奇 既是奇函数又是偶函数 0 三 三 判断判断或或证明方法证明方法 例例 3 3 判断函数 2 lg 1 f xxx 的奇偶性 解析解析此函数的定义域为 R fxf x lg 2 1x x lg 2 1x x lg1 0 fxf x 即 xf是奇函数 掘金掘金 3 3 判断函数的奇偶性 需先看定义域是否关于原点对称 再看能否有与奇偶性的定义相等价 的形式 0fxf x 或 0f xfx 或 1 f x fx 出现 练习三练习三若函数 2 1 sin R 2 f xxx 则 f x是 A 最小正周期为 2 的奇函数 B 最小正周期为 的奇函数 C 最小正周期为 2的偶函数 D 最小正周期为 的偶函数 简解简解通过观察确定奇偶性容易 再用检验法找出最小正周期为 故选D 例例 4 4 已知函数 2 f xaxbxh x 是偶函数 那么 32 g xaxbxxh x 是 A 奇函数 B 偶函数 C 既是奇函数又是偶函数 D 非奇非偶函数 解析解析注意到 xf定义域必关于原点对称 且 g xx f x 故 g x是奇函数 选 A 掘金掘金 4 4 设 xf g x的定义域分别是 1 D 2 D 12 DDD D为非空数集 那么在它们 发表于 2008 年 广东教育 高中 第 9 期 数海泛舟 吹尽黄沙始到金 浅析函数的奇偶性 数中有数 19 的公共定义域D上 若 xf g x均为奇函数 则 xf g x为奇函数 暂且简称奇 奇 奇 与此类似的还有奇 奇 偶 偶 偶 偶 偶 偶 偶 奇 偶 奇等 请读者思考证明 或发掘出更多 简易判断方法 练习四练习四已知函数 2 1 cos2 sinf xxx Rx 则 f x是 A 最小正周期为 的奇函数 B 最小正周期为 的偶函数 C 最小正周期为 2 的奇函数 D 最小正周期为 2 的偶函数 简解简解观察到偶 偶 偶 偶 偶 偶 所以确定为偶函数 再用检验法找出最小正周期为 2 故选 D 四 四 图图像 像 性质及综合性质及综合应用应用 例例 5 5 若函数 xf是定义在 R 上的偶函数 在 0 上是减函数 且 2 0f 则使得 0f x 的x的取值范围是 解析解析因 xf是偶函数且 2 0f 故 2 0f 所以函数 xf必过 2 0 A与 2 0 B 又在 0 上是减函数 且偶函 数的图像关于y轴对称 可采用数形结合法 画出一个符合条件的 样图 如图 1 易得使 0f x 成立的x的取值范围是 2 2 掘金掘金 5 5 由于选择题 填空题不需要写解题过程 故需用恰当方 法来求解这两类题目 以达到省时省力 准确 高效的目的 奇偶函数的性质 偶函数的图像关于y轴对称 奇函数的图像关于原点对称 这也是判断奇偶 函数的依据 奇偶性与单调性 奇函数在对称区间 ba 与 a b上增减性相同 偶函数在对称区间 ba 与 a b上增减性相反 请读者思考证明 或发掘出更多简易判断方法 若函数 xf的定义域关于原点对称 则有 11 22 f xf xfxf xfx 即该函数 2 2 y x A B O 图 1 发表于 2008 年 广东教育 高中 第 9 期 数海泛舟 吹尽黄沙始到金 浅析函数的奇偶性 数中有数 20 xf可表示为一个偶函数 1 2 f xfx 与一个奇函数 1 2 f xfx 的和 若函数 g x xf f g x的定义域都是关于原点对称的 则 ug x yf u 都是 奇函数时 yf g x 是奇函数 ug x yf u 都是偶函数 或者一奇一偶时 yf g x 是偶函数 练习五练习五函数 0 yf xx 是奇函数 在 0 上单调递增 若 1 0f 求不等式 1 0 2 f x x 的解集 简解简解 奇函数 xf在 0 单调递增 xf在 0 也单调递增 又 1 0f 由 1 1 ff 得 1 0f 当 1 0 1 x 时 0f x 当 1 0 1 x 时 0f x 又 2 1111 1 241616 x xx 欲使 1 0 2 f x x 成立 则必有 1 0 1 2 x x 即 1 0 1 2 x x 解之得 x 117 0 4 x 或 1 2 x 4 171 例例 6 6 函数 f x g x分别是R上的奇函数 偶函数 且满足 2 2f xg xxx 求 f x 与 g x的解析式 解析解析将x 代替x得 2 2fxgxxx f x是奇函数 g x是偶函数 2 2f xg xxx 联立已知条件 解出 2f xx 2 g xx 掘金掘金 6 6 运用方程思想看待问题 就是将问题转化为方程问题来解决 或者为了 求出什么 通过构 造方程来达到解题的目的 本题就是通过x 代替x得到一个新的方程 练习六练习六 2008 年安徽卷理第 11 题改编 若函数 f x g x分别为 R 上的奇函数 偶函数 且 满足 0 x f xg xaa 且1 a 对 0 2 3 gff 0 3 2 gff 0 2 3 gff 发表于 2008 年 广东教育 高中 第 9 期 数海泛舟 吹尽黄沙始到金 浅析函数的奇偶性 数中有数 21 3 0 2 f g f 正确的有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 简解简解将x 代替x得 x fxgxa f x是奇函数 g x是偶函数 x f xg xa 联立已知条件解出 2 xx aa g x 2 xx aa f x 故 0 1g 其 次 当1a 时 xf在 R 上单调递增 易得0 0 2 3 fff 可得 0 2 3 gff 3 0 2 f g f 当01a 时 xf在 R 上单调递减 易得 3 2 0 0fff 可得 0 2 3 gff 3 0 2 f g f 综 合得 0 2 3 gff 选 B 例例 7 7 函数 f x的定义域为 0 DxR x 且满足对于任意 12 x xD 有 1212 f x xf xf x 1 求 f 1 的值 2 判断 f x的奇偶性并证明 3 如果 4 1f 31 26 3fxfx 且 f x在 0 上是增函数 求x的取值范围 解析解析 1 令 12 1xx 有 1 1 1 1 fff 解得 1 0f 2 证明 令 12 1xx 有 1 1 1 1 fff 得 1 0f 令 1 1x 2 xx 有 1 fxff x 即 fxf x f x为偶函数 3 解 由已知得 64 16 4 3 4 3fff 不等式可化为 31 26 64 fxfxf f x在 0 上是增函数 上式等价于不等式组 31 26 0 31 26 64 xx xx 或 31 26 0 31 26 64 xx xx 发表于 2008 年 广东教育 高中 第 9 期 数海泛舟 吹尽黄沙始到金 浅析函数的奇偶性 数中有数 22 1 3 3 7 5 3 xx x 或 或 1 3 3 x xR 35x 或 71 33 x 或 1 3 3 x x的取值范围为 x 71 33 x 或 1 3 3 x 或35 x 掘金掘金 7 7 对于抽象函数问题 一般 先用赋值 法找特点 证奇偶性关 键就 是要想法凑 出 fxf x 的定义形式 若是偶函数 需注意其内在的对称性 不要漏解 练习七练习七 已知 yf x 是偶函数 且在 0 上是减函数 则 2 1 fx 是增函数的区间 是 简解简解画出 2 1ux 的图象 在 1 1 上 0u 在 11 上 0u 再结合 f x 的单调性 可得 2 1 fx 的单调递增区间为 1 0 1 以上仅对函数的奇偶性略作探讨 更多本质的东西及其综合应用还有待读者去挖掘 总之 学好 数学的关键是透过现象看本质 若能把数学中的概念 公式 定理等基本知识点弄通弄透 系统地 有机地存储在大脑中 学好数学指日可待 平时多开展研究性学习 这不仅能跳出 题海 还能巩 固基础知识 准确把握数学概念 掌握数学思想方法 深化数学的本质内涵 养成学求甚解的良好学 风 正所谓 吹尽黄沙始到金 字里行间取真经 发表于 2008 年 广东教育 高中 第 9 期 数海泛舟 吹尽黄沙始到金 浅析函数的奇偶性 数中有数 23 A B C D x y A1 B1 C1 D1 z 图 2 欲穷千里目 更上一层楼 再谈法向量与二面角 在普通高中课程标准实验教科书 数学 人教版 必修 2 给出了二面角 选修 2 1 给出了平面 的法向量这两个概念后 课后习题中出现了不少利用法向量来求解二面角大小的问题 近年许多省份 的高考题中也屡见不鲜 利用平面法向量解题 可以避开传统方法中的作图 证明 绕过复杂的空间想像 那么 在求平 面的法向量时 除了大家知道的一般方法外 还有其它可行方法吗 当你看图形凭经验无法判断所求二面角的大小是锐角还是钝角的时侯 能否利用两个半平面的法 向量的指向来求解呢 以上问题 笔者认为可借助向量积 又称叉积或外积 来求平面的法向量 而观察法向量的向背 再算其夹角可准确界定二面角的大小 进而解决相关问题 一 平面法向量一 平面法向量 定义定义直线l 平面 向量a为直线l的方向向量 则向量a叫 做平面 的法向量 人教版高中数学选修 2 1 103 P 如图 1 求法求法在空间直角坐标系中 平面 内存在两个不共线的向量 111 ax y z 222 bxy z 1 1 数量积求法 数量积求法 中学数学教学中的常用方法 设平面 的法向量 1 nx y 或 1 nxz 或 1 ny z 由n 得0n a 且 0n b 由此得到关于 x y 或 x z 或 y z 的方程组 解出即可得到法向量n 例例 1 1 在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D 中 求平面 1 ACD 的法向量n 解析解析建立空间直角坐标系 如图 2 则 1 0 0 A 0 1 0 C 1 D 0 0 1 1 1 0 AC 1 1 0 1 AD 设平面 1 ACD的法 向量为 1 nx y 由n 面 1 ACD 得nAC 1 nAD 有 a l 图 1 发表于 200 年 广东教育 高中 第 1 期 数海泛舟 欲穷千里目 更上一层楼 再谈法向量与二面角 数中有数 24 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 x y x y 得 1 1 x y 1 1 1 n 2 2 向量积求法 向量积求法 学生需先掌握相关基础知识 设平面 的法向量 nx y z 则 111 222 x xyz na byz xyz 111111 222222 yzzxxy yzzxxy 在上面例 1 中 由 1 1 0 AC 1 1 0 1 AD 得 1 1 10 1 1 1 101 xyz nACAD 所以 1 1 1 n 在向量积求法中需先掌握以下 点 第 点在今后学习中再慢慢理解 ab adbc cd 111111 111 222222 222 xyz yzzxxy xyz yzzxxy xyz 向量积及矩阵的相关知识 其中 1 ACAD 并非 1 AC AD 请读者细心观察体会 阅读思考 把握算法 你将必有所得 点评点评掌握了以上 点 能更快速地求出平面的法向量 正所谓 技多不压身 练习练习已知空间不共线三点 1 2 3 3 4 5 2 4 7 ABC 求平面ABC的一个单位法向量 0 n 答案 0 143 1414 71414 n 二二 二二面面角角 定义定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 记作 二面角l 如图 3 其角 的范围为 0 人教版高中数学必修 2 71 P 图 3 l 发表于 200 年 广东教育 高中 第 1 期 数海泛舟 欲穷千里目 更上一层楼 再谈法向量与二面角 数中有数 25 求法求法若能在图中作出二面角的平面角来 再通过求其平面角的大小 即可知其二面角的大小 这 一传统方法这里暂且不表 下面我们重点来探讨平面的法向量所成的夹角与二面角的大小的相互关系 怎样利用公式 12 12 cos n n nn 准确 算 出二面角的大小 设两个半平面的法向量分别为 1 n 2 n 其所成的夹角为 二面角的大小为 到底 还是 呢 1 的情形 如图 4 5 由图 6 可知 点评点评两个法向量 1 n 2 n 的指向针对二面角内部而言 当两者指向其内部 或两者指 向其外部时 1 n 2 n所成的 夹角 与二面角的大小 互 补 即为所求 2 的情形 如图 7 8 由图 9 可知 点评点评两个法向量 1 n 2 n 的指向针对二面角内部而言 当一者指向其内部 另一者指 向其外部 这时 1 n 2 n所 成的夹角 与二面角的大小 相等 夹角 即为所求 如何在实际问题中把握 1 n 2 n的指向呢 方法不难 下面以 2008 年高考题为例加以说明 2 n 1 n 图 4 l 图 5 2 n 1 n l 图 6 2 n 1 n 图 7 l 2 n 1 n 图 8 l 图 9 发表于 200 年 广东教育 高中 第 1 期 数海泛舟 欲穷千里目 更上一层楼 再谈法向量与二面角 数中有数 26 例例 2 2 2008 年全国二 19 如图 正四棱柱 1111 ABCDABC D 中 1 24AAAB 点E在 1 CC 上且ECEC3 1 证明 1 AC 平面BED 求二面角 1 ADEB 的余弦值 原题为求二面角 1 ADEB 的大 小 解析解析以D为坐标原点 射线DA为x轴的正半轴 建立如图所示直角 坐标系Dxyz 证明 略 由 可知 1 AC 平面BED 故可取平面BED的法向量 1 AC 请注意 法向量 1 AC的 指向是向二面角外部的 接下来 我们要选取平面 1 ADE的法向量n 其指向应朝二面角的内部 若要满足这一要求 显 然法向量n的竖坐标必需为负数 看图易知 依题意得 0 0 D 0 1 0 21 2 0 4 EA 0 2 C 0 0 21 DE 1 2 0 4 DA 1 2 24 AC 设平面 1 ADE的法向量为 xyz n 则 021 8 2 4 204 xyz n 正合要求 故所求二面角 1 ADEB 的大小即为两个法向量的夹角 1 AC n 所以 42 14 cos 1 1 1 CAn CAn CAn 原题所求的二面角 1 ADEB 的大小为 14 arccos 42 点评点评 1 法向量n指向朝二面角的内部 而法向量 1 AC指向朝二面角的外部 这时 n 1 AC所 成的夹角 与二面角的大小 相等 夹角 即为所求 2 求平面 1 ADE的法向量n也可由DE n 1 DA n推出 412 n A B C D E A1 B1 C1 D1 A B C D E A1 B1 C1 D1 y x z 发表于 200 年 广东教育 高中 第 1 期 数海泛舟 欲穷千里目 更上一层楼 再谈法向量与二面角 数中有数 27 3 像 0 89或是 0 91这样的二面角大小 单靠经验能判断是锐角或是钝角吗 实践证明不太可靠 本题就是一例 尤其是倘若点P由 1 A向 1 D运动过程中 谁又能看得出二面角PDEB 的大小是 锐角还是钝角呢 更何谈去计算其二面角的余弦值了 练习练习在上面例 2 中 取 1 A 1 D的中点P 求二面角PDEB 的余弦值 简解简解取平面BED的法向量 1 AC 指向二面角外部 而若要平面PDE的法向量n指向二面角内 部 其竖坐标仍然应为负数 依题意得 0 0 D 0 1 0 21 2 0 4 EA 0 2 C 0 1 P0 4 0 21 DE 10 4 DP 1 2 24 AC 设平面PDE的法向量为 xyz n 则 021 8 1 2 104 xyz n 合要求 故所求二面角PDEB 的大小即为 1 AC n 所以 1 1 1 46 cos 46 nAC n AC n AC 由 1 46 cos 0 46 n AC 这时 二面角PDEB 的大小为钝角 点评点评依靠两个法向量 1 n 2 n的指向 一者指向二面角内部 另一者指向二面角外部 来确定二 面角 的大小 求出法向量 把握好指向 则解决相关问题就轻而易举了 对待数学学习过程中的疑问 若从不同的层次 方向 角度进行观察 思考 分析 讨论 实践 则对事物的认知水平将会有所提高 我国古代教育家早就有 审问 慎思 明辨 的治学之道 在认 知的过程中 不断尝试 登高望远 以达目极千里 何尝不是我们读书人的乐趣之一 A1 A B C D E B1 C1 D1 y x z P 发表于 200 年 广东教育 高中 第 1 期 数海泛舟 欲穷千里目 更上一层楼 再谈法向量与二面角 数中有数 28 20092009 年广东高考数学 理科 仿真试题年广东高考数学 理科 仿真试题 本试本试题分为选择题和非选择题两部分题分为选择题和非选择题两部分 满分 满分 150 分分 考试时考试时间间 120 分钟 分钟 第一部分第一部分 选择选择题题 共 共 40 分 分 一 选择题 本大题共选择题 本大题共 8 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 40 分 在每小题给出的四个选项中 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 只有一项是符合题目要求的 1 等差数列 n a中 1 1a 5 7a 则 9 a A 13 B 15 C 6 D 8 2 若p是q的充分不必要条件 则p 是q 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 既不充分也不必要条件 D 充要条件 3 函数 f x在R上单调递增 且 1 1f 则不等式 1 1f x 的解集为 A 0 x x B 0 x x C 1x x D 1x x 4 当yx 满足条件1xy 时 变量 22 11uxy 的取值范围是 A 2 2 B 2 2 C 1 2 D 1 2 5 将 4 名大学生分配到 2 个企业去实习 如果每个企业至少分配到1名学生 则不同的 分配方案种数共有 A 8 B 14 C 20 D 32 6 如图 三棱锥的各面均为全等的正三角形 圆锥的底面 为三角形的内切圆 则下列说法错误的是 A 三棱锥与圆锥的体积之比为3 3 B 三棱锥与圆锥的侧面积之比为3 3 F E B A D C 发表于 200 年 广东教育 高中 第 6 期 2009 年广东高考数学 理科 仿真试题 2009 年广东高考数学 理科 仿真试题 数中有数 29 C 该几何体的主视图周边轮廓应为正三角形 D 该几何体的俯视图周边轮廓应为正三角形 7 设动点M N 不重合 在椭圆 22 169144xy 上 椭圆的中心为O 且0O M O N 则O到弦MN的距离OH等于 A 3 20 B 4 15 C 5 12 D 15 4 8 已知非零向量AB与AC满足0 BC AC AC AB AB 且 2 1 AC AC AB AB 则ABC 为 A 三边均不相等的三角形 B 直角三角形 C 等腰非等边三角形 D 等边三角形 第二部分第二部分 非选择非选择题题 共 共 110 分 分 二二 填空题 本大题共填空题 本大题共 7 小题 考生作答小题 考生作答 6 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 30 分 分 一 必做题 一 必做题 9 12 题 题 9 在ABC 中 0

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