相变物理习题集.pdf

1 热力学标准的相变分类 一级相变和连续相变区别 由状态方程确定临界点 范德瓦耳斯气液相变理论 克拉珀珑方程的应用 n 级相变 相变点系统的热力学势的 n 1 级导数保持连续 而其 n 级导数不连续 0 Tm Vp 0 22 Tm Vp 临界点 范德瓦尔斯气液相变理论 RTbV V a p m m 2 0 121212 SdTVdp dTSSdpVVGGG VT H V S dT dp 0 12 SSS 0 dp p S dT T S T p VT c dT dp p 0 12 VVV 0 dp p V dT T V T p T KdT dp V T V p S P T T T VK P V T c T S P P 2 钙钛矿结构 BaTiO3 的三个相变的结构变化 SrTiO3 在 100K 附近相变的结 构变化 KH2PO4 的有序化相变 容忍因子 2 OBOA RRRRt 钛酸钡六角结构在 1460OC 到熔点 1618OC 的温度范围是稳定的 在室温也可作为亚稳态存 在 但不具铁电性 在 1460OC 以下钙钛矿结构稳定 在 120oC 发生立方四方结构相变 铁 电相变 Ti 原子偏离八面体中心 低温平衡值位移 0 12 Angstrom 具有自发极化 而且其 自发极化方向可以因外电场方向的反向而反向 晶体的这种性质称为铁电性 具有铁电性的 晶体称为铁电体 B 原子位移沿四重轴 三重轴或二重轴 立方晶系三种铁电相 四方晶系 斜方晶系和三方晶系 SrTiO3 容忍因子 1 009 在 100K 发生立方四方位移型相变 氧八面体发生有规则的倾斜 角度为 1 3o 超结构的 k 矢量为原型的 1 2 1 2 1 2 氧八面体倾斜不产生电偶极矩 低温 仍旧为非极性 KH2PO4 KDP 晶体基团 PO4 四面体中间氢原子存在两个对称的偏心位置 在 123K 发生有序无序相变也是顺电铁电相变 3 什么是铁电相变 什么是铁弹相变 铁电相变 某些晶体在一定的温度范围内具有自发极化 而且其自发极化方向可以因外电场 方向的反向而反向 晶体的这种性质称为铁电性 具有铁电性的晶体称为铁电体 铁电体的重要特征之一是具有电滞回线 电滞回线的存在是判定晶体为铁电体的重要根据 铁弹体 存在应力应变回滞曲线 铁弹相与顺弹相之间的相变 铁弹相变 4 热力学亚稳区的相变 成核生长 失稳分解 简单描述失稳分解 失稳分解 的热力学条件 在经典的处理相稳定性问题时 吉布斯考虑亚稳 稳定 相需要阻挡两种无穷小的变化 第一类涨落 程度甚大 空间范围甚小的涨落 第二类涨落 程度甚小 空间范围甚大的涨落 第一类涨落 如饱和蒸汽中液滴的形成 也就是通过成核生长的过程来实现的非匀相转变 绝大部分实际观测到的结构相变属于此类 第二类涨落 如原始均匀固溶体中形成长波长周期性成分变化这一分解过程 通常称为失稳 分解 二级相变动力学 0 2 cGcG 0 5 相变的驱动力是什么 为什么在成核一生长机理相变中 要有一点过冷或过 热才能发生相变 什么情况下需过冷 什么情况下需过热 系统中自由能的下降是相变的驱动力 只要相变的驱动力足够大 这种转变就将借助于吉布 斯的第一类涨落 亦即小范围内程度甚大的涨落而开始 这种小范围的区域即为新相的胚芽 6 什么是均匀成核 均匀成核的临界核心的尺寸 成核势垒 考虑一小块稳定的新相 相在亚稳的母相 相中生成 AEFVF V 23 4 3 4 rEFrrF V EF r V 2 7 什么是非均匀成核 存在平表面的临界核心的尺寸 成核势垒 晶界面上的 成核的临界尺寸 成核势垒 蒸汽中悬浮着尘埃 液体中有杂质 固体中存在着界面 位错等缺陷 成核在这些特殊区域 更容易发生 在这种情况下 核心在系统中将不是均匀分布的 相应的成核现象被称为非均 匀成核 设过饱和母相 相中存在一个杂质 S 新相 相的核心依托着杂质的平表面形成 SS cos cos1 2 2 rA 22 sinrA S 33 coscos32 3 rV frFEFVAArF V SSSS 2 3 cos1cos2 4 1 coscos32 4 1 f cos2 在固态相变中更常见的情况是新相在母相的晶界面上成核 这种成核机制的示意见于右图 cos2 gFFb 2cos2cos1 2 g 8 JMA 方程 及其推导 9 简述朗道理论 序参量和对称破缺 单个序参量的朗道二级相变理论的数学 描述 朗道二级相变理论的极化率与温度关系 朗道二级相变理论给出的序参量 比热 极化率相关的临界指数 朗道为研究超导 发展出了朗道相变理论 它不仅可以用来描述相变 还是研究有序态的出 发点 朗道理论的大致外观 1 很少有相变可以严格计算 然而在没有解出完整问题的情况下 还是可以获得许多信息 比如 相变的级数 弹性 涨落等等 2 朗道理论可以用来理解相变的行为 不是关于相变的存在性 3 应用对称性考察有序相的性质和相变 4 应用序参量的性质理解对称破缺态 得到广义刚度 5 朗道理论是一个平均场理论 6 可以应用朗道理论计算物理量 比如结构因子 指出涨落导致的朗道理论失效 在二级 相变点附近的微小温区 临界区 失效 7 研究相变的一些定性问题 比如涨落效应 不同自由度的序参量耦合导致的相变级数的 改变 结合考虑自由能的奇异性和相变的发生 突出了 对称破缺 和 有序相出现 引入序参量 适用于连续相变 经过适当变化 也可以推广到一些一级相变中 432 0 BCAaTp 42 0 pBTTpaTpTp C 2 1 2 B TTpa C 临界指数 2 1 2 2 22 0 pBTTpa T pa T T S C 熵连续 p p T S Tc 比热跃变 hVpBTTpa TpTp C 42 0 外场条件 0 hT h 2 12 2 pBTTpa V h C C C C C TT TTpa V TT TTpa V 4 2 10 朗道理论在弱一级相变的应用 朗道 德冯谢亚理论 给出三个特征温度 朗道 德让理论的三个特征温度 朗道 德冯谢亚理论 642 0 DBTTa C 朗道 德让理论 432 0 BCTTpa C 11 朗道理论中 序参量与应变存在耦合 对相变的影响 相变附近的模量随着 温度的变化关系 2 int 42 0 2 1 KFBTTpa C 耦合项 gCF 2 int 222 int kF x F int 系统不受外力的平衡条件 0 模量在相变点处存在跃变 12 朗道二级相变理论的四个条件 1 存在唯一的热力学函数 可以同时描述高温相和低温相 对于高温相的所有对称操作不 变 2 有单一序参量 对应高温相的不可约表示 但不能是恒等表示 3 热力学函数可以表示为序参量的级数展开 对应不可约表示的基函数 是平衡态势 对于其他 1 不只一个序参量 2 有一个序参量 但是是可约表示 13 均匀体系序参量涨落的温度依赖关系 非均匀体系序参量涨落的温度依赖关 系 朗道理论给出的关联函数形式推导 朗道自由能情形下的涨落耗散定理 均匀 2 2 2 2 2 2 1 TcTaTcTa Tk TcTaV Tk V W BB 2 expexp 2 TcTaV TkB 不均匀 hrBrD rTTaTprTp C 4 2 2 0 2 TcTaV TkB 2 2 2 2 1 1 DkTTaV Tk kTTVa Tk C B CC B kkk 关联函数 rrrrG 0 1 11 2 rGrRrR V ee V ee V eee e R kRk k Rki k rRik kRk ikr k k Rkki kk ikr k k kk Rkki kk ikr k k kk k ikr k r e D kT r e D kTkd kl e D kT kd DkTcTa kTe DkTcTa e V kT rG rlrikr ikr k ikr 44 2 2 3 3 22 3 3 22 关联长度 C TTa D 2 2 3 2 aD BT T TT C C C 涨落耗散 给定系统对于外界很小扰动的响应 直接联系于系统处于热平衡时的涨落 本质上 涨落耗散定理将热平衡涨落与非平衡的量相联系 定义极化率 h 则 21 kTV 正比于涨落 14 钛酸钡三个相变的唯象理论中应变与极化耦合项 出现的依据是什么 电致伸缩效应 压电效应 lkji e ijkllkmmklji e ijji p ij PPPPPPeqPPeec 4 1 2 1 2 1 2 1 0 15 给出郎道理论中 均匀系统序参量的弛豫的推导 解释临界慢化 42 0 TpBTTaTp C dt d 3 2 2 BTTa dt d C 0 2 12 2 BTTa dt d C 0 exp 0 t C C C C TT TTa TT TTa 4 1 2 1 0 0 C TT 临界慢化 16 应用金兹堡 朗道理论 求出序参量随空间变化的解 孤子解 畴界 2 42 0 x KBTTa C 024 2 2 2 3 x KBTTa C 42 BTTaV C 2 2 0 K B 0 0 2 2 0 0 d B K dxx x 0 1 0 tanh 2 14 B K x x tanh 0 2 1 0 2 1 2 1 4 2 K TTa K B C 畴界能 2 3 TTC 17 固液相变 BCC 结构 层状系统的朗道理论 二维六角晶体的液固相变 二维四方点阵的液固相变 固液相变的朗道自由能 q q rqi exp 321 321 321 321 321321 3213 exp qqq qqq qqq qqq RqqqqqqC qqqC 自由能 n 次项存在的条件为 0 21 n qqq 0 1 q 不存在一次项 q qq A 2 2 321 321321 3 qqq qqqqqq C 0 321 qqq 层状系统 层状系统 lamellar system 作为一维晶体 包括磁系统 近晶相 层列型 层 状嵌段共聚物 42 2 qq C qqqq C bTTa bTTa 得不到满足要求的三次项 0 321 qqq 二维六角晶体的液固相变 实点阵 ytxtbxta 2 3 2 1 倒点阵 y t by t x t a 3 4 3 22 三个基矢 基谐波 First harmonic 构成波矢星 大小相同 夹角 60O 和 120O 3 3 2 2 1 1 i q i q i q eee 4 21321 32 4 1 cos 3 1 2 1 ccbTTaf CL 由于三次项存在 固液相变就是一级相变 如果对于二维发生的四方点阵 平均场给出连续相变 21 3 3 3 3 2 3 2 n n n Q Q n 3 体心立方 2 2 2 3 2 1 kji a kji a kji a a a a 2 2 2 3 2 1 ji a ki a kj a b b b 倒格矢 等边 夹角是六十度 六对倒格矢 n 6 3 Q BCC 3 B 63 4 三次项的作用 序参量跳变 自由能降低 18 简述林德曼熔化判据 由于液体能量的不易表达 相变考虑从固体到液体的熔化 仅仅考虑固体的能量形式 固体中的原子热振动振幅超过某一临界值 初始估计为半个晶胞长度 就会引起熔化 Gilavrry 表述为 熔化发生为 当满足条件平均的振动使得硬球原子相接触 林德曼方程蕴含的熔化临界值可以表示为 a u L 2 1 2 0 即热振动振幅的方均根值与晶体中原子间距的比值 19 简述平衡态统计理论研究相变的几个步骤 什么是热力学极限 热力学极限 在平衡态统计理论研究相变的意义 一 写出系统的总能量或者哈密顿 二 对全谱求和 计算配分函数 vi i kT vE vg kT E Z exp exp 三 根据统计与热力学关系 求出热力学量 lnTZkTF s kT sE sXZX exp 1 关于相变的信息已经包含在统计配分函数之内 只有取了 热力学极限 尖峰 断裂等突 变才明确地表现出来 20 什么是伊辛模型 伊辛模型 二元合金有序无序相变 点阵气模型的转换 以及它们的不同 伊辛模型 设有一晶体点阵 它的第 i 个格点上粒子的状态可以用一自旋 i 完全表示出来 为了最 简单地研究这一问题 作如下假设 1 自旋仅可能取两种状态 向上或者向下 分别可以表示为 i 1 和 i 1 2 仅在最近邻间存在相互作用 3 在任何状态下 系统的势能可以由最近邻对的相互作用能相加得到 N i i ij jiij hJE i 1 NNuhNNNE i 点阵气体模型 是一种非真实气体模型 按照这个模型 N 个可分辨的粒子排列在周期点阵的 N0个阵点上 每个阵点最多只能为一 个粒子占据 每个粒子仅同其最近邻的粒子发生作用 111 2 rnrs 其他距离 最近邻距离 ij ij ij ij r ru r u 0 0 2 1 2 1 rr rsrs uE 有序无序相变 实验证明 当温度 T Tc 相变温度 时 比热容 c 当 T Tc 时 合金中不同原子的占位是有序的 当 T 升高时 这种占位的有序化逐渐被破坏 当 T Tc 时 就完全被破坏 每个阵点对于各种原子来说都是等价的 因而占位是无规的 这种相变称为有序 无序相变 ABABBBBBAAAA NNNE 21 伊辛模型在相互作用为零时 自由能的表达式 一维伊辛模型在自由边界条 件下的自由能 一维伊辛模型在循环边界条件下的自由能 一维伊辛模型的关联 函数 N N N N N N i i h hh hhh hhh hhh h EhTZ N N i i i i cosh 2 exp exp exp exp exp exp exp exp exp exp exp exp exp 11 2 1 1 111 21 21 1 21 12 cosh 2ln cosh 2lnln hTNk hTkZTkhTF B N BB 自由边界条件 k J KT N N N N N N i i h hh hhh hhh hhh h EhTZ N N i i i i cosh 2 exp exp exp exp exp exp exp exp exp exp exp exp exp 11 2 1 1 111 21 21 1 21 12 1 cosh 22 13221 NKK K N KeeeZ i NN cosh 2ln cosh 22ln 1 lim KkTK N kT F N N 自由能是温度的解析函数 没有奇点 T 0 T 除外 一维伊辛模型没有相变 关联函数 k N N KKK kjkjkjjjjjj N KKK kjj N kjj K Z Z KKK eee Z eee Z i NN i NN tanh 1 1 13221 13221 112211 周期边界条件 i i i i i NN N i ii N i ii N i i N i ii h J h J h J hJ EhTZ 112121 1 1 1 1 11 1 2 exp 2 exp 2 exp exp exp 111 2 exp iiii T ii h JT hJJ JhJ TT TT T expexp expexp 1111 1111 111 11 133221 12 N T N T N T N TT TTrT TTTTZ N i NN Z 4exp sinh cosh ln ln 1ln ln 2 JhhJTNk NTk Tk ZTkhTF B N B N N B B 22 什么是点渗流 什么是键渗流 什么是波茨模型 三参量波茨模型的平均场 理论 点渗流 用绝缘球和导电球堆成一个立体 设定格点被导电球占据的概率为 P 也就是导电球在总球数的比例 P 如果 P 太小 一定不会出现通路 如果 P 1 整个立体就是一个导体 考虑系统的自旋被限制于一个平面内 每个自旋取被 q 等分的自旋取向 角度为 1 1 0 2 qn q n 1 自旋可以有 q 种取态 i 2 可以仅在最近邻间存在相互作用 3 在任何状态下 系统的势能可以由对的相互作用能相加得到 0 1 jiJE ij ji i i ii i i nnkTnJz N F ln 2 1 2 23 伊辛模型的平均场理论 并给出的序参量 比热 极化率相关的临界指数 ij jjiiji ijjjii jj ij jiii ij jiij J J JE int N i i ij ji hmmJE i 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 22 2 2 m NJz hJzm hm Nz J z Jm hmJJm hmmJE N i i N i i N i i N i i ijij i N i i ij ji i N N i i N i i hJzm NJzm hJzm NJzm NJzm hJzmhTZ i i cosh 2 2 exp exp 2 exp 2 exp 2 1 2 2 1 cosh 2ln 2 cosh 2 2 exp ln 1 ln 1 2 2 hJzmTk Jzm hJzm NJzm Tk N ZTk N hTf B N B B tanh hJzmhTm 2 1 0 TTTm C 1 0 CC TTTTT 0 0 CC TTTTTc 3 24 伊辛模型的布拉格威廉近似 序参量 N NN m 1 2 1 1 2 1 ln ln mNmN N k NNN N kS 1 ln ln NNNNN 22 2 1 JNzmmJE ij 2ln1ln11ln1 2