一元函数积分学经典习题.pdf

一 求下列不定积分 1 解 2 解 3 解 方法一 令 方法二 二 求下列不定积分 1 解 2 解 令 x tan t 3 解 令 4 a 0 解 令 5 解 令 6 解 令 三 求下列不定积分 1 解 2 解 令 四 求下列不定积分 1 解 2 解 五 求下列不定积分 1 解 2 解 3 解 4 解 六 求下列不定积分 1 解 2 解 3 解 七 设 求 解 考虑连续性 所以 c 1 c1 c1 1 c 八 设 a b 为不同时为零的常数 求 f x 解 令 所以 九 设当 x 0 时 连续 求 解 c 十 设 求 f x 解 令 所以 所以 十一 求下列不定积分 1 解 令 2 解 令 3 解 4 a 0 解 十二 求下列不定积分 1 解 2 解 一 若 f x 在 a b 上连续 证明 对于任意选定的连续函数 x 均有 则 f x 0 证明 假设 f 0 a 0 因为 f x 在 a b 上连续 所 以存在 0 使得在 上 f x 0 令 m 按以下方法 定义 a b 上 x 在 上 x 其它地方 x 0 所以 和 矛盾 所以 f x 0 二 设 为任意实数 证明 证明 先证 令 t 所以 于是 所以 所以 同理 三 已知 f x 在 0 1 上连续 对任意 x y 都有 f x f y 0 0 t 0 证明 对于满足 0 1 的任何 有 证明 令 x 这是因为 t x 且 f x 单减 所以 立即得到 六 设 f x 在 a b 上二阶可导 且 0 证明 证明 x t a b 令 所以 二边积分 七 设 f x 在 0 1 上连续 且单调不增 证明 任给 0 1 有 证明 方法一 令 或令 所以 F x 单增 又因为 F 0 0 所以 F 1 F 0 0 即 即 方法二 由积分中值定理 存在 0 使 由积分中值定理 存在 1 使 因为 所以 八 设 f x 在 a b 上具有二阶连续导数 且 证明 在 a b 内 存在一点 使 证明 对于函数 用泰勒公式展开 t x a b 1 1 中令 x a t b 得到 2 1 中令 x b t a 得到 3 3 2 得到 于是 注 因为需要证明的等式中包含 其中二阶导数相应于 b a 的三次 幂 所以将 泰勒展开 若导数的阶数和幂指数相同 一般直接将 f x 泰勒 展开 九 设 f 连续 证明 证明 所以 2 即 十 设 f x 在 a b 上连续 在 a b 内存在而且可积 f a f b 0 试 证 a x b 证明 所以 即 即 所以 即 a x 0 因为 f 0 f 1 0 x0 0 1 使 f x0 f x 所以 1 在 0 x0 上用拉格朗日定理 在 x0 1 上用拉格朗日定理 所以 因为 所以 由 1 得 十二 设 f x 在 a b 上连续 且 f x 0 则 证明 将 lnx 在 x0用台劳公式展开 1 令 x f t 代入 1 将上式两边取 最后一项为0 得 十三 设 f x 在 0 1 上有一阶连续导数 且 f 1 f 0 1 试证 证明 十四 设函数 f x 在 0 2 上连续 且 0 a 0 证明 0 2 使 f a 解 因为 f x 在 0 2 上连续 所以 f x 在 0 2 上连续 所以 0 2 取 使 f max f