河北省衡水二中高二数学上学期期中试卷 文（含解析）.doc

2015-2016学年河北省衡水二中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1复数z满足（1+2i）=4+3i，则z等于( )a2ib2+ic1+2id12i2若a=x|x|1，b=x|1，定义ab=x|xab且xab，则ab=( )abcd（0，13下列命题错误的是( )a命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y20”b若命题，则p：xr，x2x+10cabc中，sinasinb是ab的充要条件d若向量，满足0，则与的夹角为钝角4在数列an中，a1=2，an+1=an+ln（1+），则an=( )a2+lnnb2+（n1）lnnc2+nlnnd1+n+lnn5若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于m，n两点，则|mn|的最大值为( )a1bcd26给定函数y=f（x）的图象如下列图中，经过原点和（1，1），且对任意an（0，1），由关系式an+1=f（an）得到数列an，满足an+1an（nn*），则该函数的图象为( )abcd7已知三个正态分布密度函数（xr，i=1，2，3）的图象如图所示，则( )a12=3，1=23b12=3，1=23c1=23，12=3d12=3，1=238设ab0，则a+的最小值为( )a2b3c4d3+29已知f（n）=1+（nn*），计算得f（2）=，f（4）2，f（8），f（16）3，f（32），由此推算：当n2时，有( )af（2n）（nn*）bf（2n）（nn*）cf（2n）（nn*）df（2n）（nn*）10已知实数变量xy满足，且目标函数z=3xy的最大值为4，则实数m的值为( )abc2d111已知函数f（x）=在r上满足：对任意x1x2，都有f（x1）f（x2），则实数a的取值范围是( )a（，2b（，2c19在三棱锥pabc中，pab是等边三角形，paac，pbbc（1）证明：abpc；（2）若pc=2，且平面pac平面pbc，求三棱锥pabc的体积20某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究，在饲料充足的前提下，兴趣小组对饲养时间x（单位：月）与这种鱼类的平均体重y（单位：千克）得到一组观测值，如下表：xi（月）12345yi（千克）0.50.91.72.12.8（1）在给出的坐标系中，画出关于x，y两个相关变量的散点图（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归直线方程（3）预测饲养满12个月时，这种鱼的平均体重（单位：千克）（参考公式：=，=）21“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目选手面对18号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：2030；3040（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示（1）写出22列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关；说明你的理由；（下面的临界值表供参考）p（k2k0）0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.879（2）现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手，并抽取3名幸运选手，求3名幸运选手中至少有一人在2030岁之间的概率（参考公式：其中n=a+b+c+d）22已知数列an中，a1=1，an+1=（nn*）（1）求a2，a3；（2）求证：+是等比数列，并求an的通项公式an；（3）数列bn满足bn=（3n1）an，数列bn的前n项和为tn，若不等式（1）ntn+对一切nn*恒成立，求的取值范围2015-2016学年河北省衡水二中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1复数z满足（1+2i）=4+3i，则z等于( )a2ib2+ic1+2id12i【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】数系的扩充和复数【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出【解答】解：（1+2i）=4+3i，=2i，z=2+i故选：b【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题2若a=x|x|1，b=x|1，定义ab=x|xab且xab，则ab=( )abcd（0，1【考点】交、并、补集的混合运算【专题】常规题型；新定义【分析】本题要抓住ab=x|xab且xab中x所满足的条件，然后求出ab、ab的解集，最后再求出（ab）（ab）解集即为所求【解答】解：a=x|x|1，b=x|1，b=x|0x1，ab=x|0x1，故选b【点评】理解题目ab中x所满足的条件是关键，同时要会求绝对值不等式和分式不等式的解集，会求两个集合的交集、并集3下列命题错误的是( )a命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y20”b若命题，则p：xr，x2x+10cabc中，sinasinb是ab的充要条件d若向量，满足0，则与的夹角为钝角【考点】命题的真假判断与应用【专题】综合题【分析】a我们知道：命题“若p，则q”的逆否命题是“若q，则p”，同时注意“x=y=0”的否定是“x，y中至少有一个不为0”，据此可以判断出a的真假b依据“命题：x0r，结论p成立”，则p为：“xr，结论p的反面成立”，可以判断出b的真假c由于，因此在abc中，sinasinb0ab由此可以判断出c是否正确d由向量，可得的夹角，可以判断出d是否正确【解答】解：a依据命题“若p，则q”的逆否命题是“若q，则p”，可知：命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y20”可判断出a正确b依据命题的否定法则：“命题：x0r，x0+10”的否定应是“xr，x2x+10”，故b是真命题c由于，在abc中，0a+b，0，又0ba，0ab，据以上可知：在abc中，sinasinb0ab故在abc中，sinasinb是ab的充要条件因此c正确d由向量，的夹角，向量与的夹角不一定是钝角，亦可以为平角，可以判断出d是错误的故答案是d【点评】本题综合考查了四种命题之间的关系、命题的否定、三角形中的角大小与其相应的正弦值之间的大小关系、向量的夹角，解决问题的关键是熟练掌握其有关基础知识4在数列an中，a1=2，an+1=an+ln（1+），则an=( )a2+lnnb2+（n1）lnnc2+nlnnd1+n+lnn【考点】数列的概念及简单表示法【专题】点列、递归数列与数学归纳法【分析】把递推式整理，先整理对数的真数，通分变成，用迭代法整理出结果，约分后选出正确选项【解答】解：，=故选：a【点评】数列的通项an或前n项和sn中的n通常是对任意nn成立，因此可将其中的n换成n+1或n1等，这种办法通常称迭代或递推解答本题需了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项5若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于m，n两点，则|mn|的最大值为( )a1bcd2【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象【分析】可令f（x）=|sinxcosx|求其最大值即可【解答】解：由题意知：f（x）=sinx、g（x）=cosx令f（x）=|sinxcosx|=|sin（x）|当x=+k，x=+k，即当a=+k时，函数f（x）取到最大值故选b【点评】本题主要考查三角函数的图象和函数解析式的关系属基础题6给定函数y=f（x）的图象如下列图中，经过原点和（1，1），且对任意an（0，1），由关系式an+1=f（an）得到数列an，满足an+1an（nn*），则该函数的图象为( )abcd【考点】函数的图象【专题】函数的性质及应用【分析】由关系式an+1=f（an）得到的数列an满足an+1an，即函数值恒大于自变量的值，根据点与直线之间的位置关系，我们不难得到，f（x）的图象在y=x上方逐一分析不难得到正确的答案【解答】解：由an+1=f（an）an知f（x）的图象在y=x上方结合图象可得只有a符合故选：a【点评】本题考查的知识点是点与直线的位置关系，根据“同在上（右），异在下（左）”的原则，我们可以确定将点的坐标代入直线方程后的符号，得到一个不等式，解不等式即可得到a的取值范围7已知三个正态分布密度函数（xr，i=1，2，3）的图象如图所示，则( )a12=3，1=23b12=3，1=23c1=23，12=3d12=3，1=23【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【专题】数形结合【分析】正态曲线关于x=对称，且越大图象越靠近右边，第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，又有越小图象越瘦长，得到正确的结果【解答】解：正态曲线关于x=对称，且越大图象越靠近右边，第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，只能从a，d两个答案中选一个，越小图象越瘦长，得到第二个图象的比第三个的要小，故选d【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查密度函数中两个特征数均值和标准差对曲线的位置和形状的影响，是一个基础题8设ab0，则a+的最小值为( )a2b3c4d3+2【考点】基本不等式【专题】不等式【分析】由题意可得ab0，a+=（ab）+b，由基本不等式可得【解答】解：解：ab0，ab0，a+=（ab）+b4=4当且即当（ab）=b即a=2且b=1时取等号，a+的最小值为：4故选：c【点评】本题考查基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键9已知f（n）=1+（nn*），计算得f（2）=，f（4）2，f（8），f（16）3，f（32），由此推算：当n2时，有( )af（2n）（nn*）bf（2n）（nn*）cf（2n）（nn*）df（2n）（nn*）【考点】归纳推理【专题】推理和证明【分析】根据已知中的等式f（2）=，f（4）2，f（8），f（16）3，f（32），我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系，归纳推断后，即可得到答案【解答】解：观察已知的等式：f（2）=，f（4）2，即f（22）f（8），即f（23），f（16）3，即f（24），归纳可得：f（2n），nn*）故选：d【点评】本题主要考查了归纳推理的问题，其一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）10已知实数变量xy满足，且目标函数z=3xy的最大值为4，则实数m的值为( )abc2d1【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】画出满足条件的平面区域，找到直线y=3xz过a点时，z取得最大值4，将a点的坐标代入直线z=3xy的方程，求出m的值即可【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由z=3xy得y=3xz，显然直线y=3xz过a点时，z取得最大值4，z=4，解得：m=1，故选：d【点评】本题考察了简单的线性规划问题，考察数形结合，是一道中档题11已知函数f（x）=在r上满足：对任意x1x2，都有f（x1）f（x2），则实数a的取值范围是( )a（，2b（，2c【点评】本题考查了长方体对角线公式和球的表面积计算等知识，属于基础题14已知集合a=x|x5，集合b=x|xa，若命题“xa”是命题“xb”的充分不必要条件，则实数a的取值的集合是 a|a5 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】转化思想；数学模型法；简易逻辑【分析】命题“xa”是命题“xb”的充分不必要条件，可得ab，即可得出【解答】解：命题“xa”是命题“xb”的充分不必要条件，ab，a5因此实数a的取值的集合是 a|a5 故答案为： a|a5 【点评】本题考查了充要条件的判定、集合之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题15f（x）是定义在r上的奇函数，且当x（0，+）时，f（x）=2016x+log2016x，则函数f（x）的零点的个数是3【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】计算题；函数思想；分析法；函数的性质及应用【分析】可知f（0）=0；再由函数零点的判定定理可判断在（0，+）上有且只有一个零点，再结合奇偶性可判断f（x）在（，0）上有且只有一个零点，从而解得【解答】解：f（x）是定义在r上的奇函数，f（0）=0；f（x）=2016x+log2016x在（0，+）上连续单调递增，且f（）0，f（1）=20160；故f（x）在（0，+）上有且只有一个零点，又f（x）是定义在r上的奇函数，f（x）在（，0）上有且只有一个零点，函数f（x）的零点的个数是3；故答案为：3【点评】本题考查了函数的性质的应用及函数的零点的判定定理的应用16下表给出了一个“三角形数阵”：依照表中数的分布规律，可猜得第10行第6个数是【考点】归纳推理【专题】推理和证明【分析】通过观察，得到每行的第一个数组成了首项为，公差为的等差数列，每行的数组成了公比为的等比数列，根据此规律求解【解答】解：观察“三角形数阵”得出：每行的第一个数组成了首项为，公差为的等差数列，每行的数组成了公比为的等比数列所以第10行第1个数为：+（101）=，则第10行第6个数为：（）61=，故答案为：【点评】此题考查的知识点是数字变化类问题，解题的关键是通过观察得出数字的排列规律求解三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知函数f（x）=m|x1|2|x+1|（）当m=5时，求不等式f（x）2的解集；（）若二次函数y=x2+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，求实数m的取值范围【考点】绝对值不等式的解法；二次函数的性质【专题】不等式的解法及应用【分析】（）当m=5时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求（）由二次函数y=x2+2x+3=（x+1）2+2在x=1取得最小值2，f（x）在x=1处取得最大值m2，故有m22，由此求得m的范围【解答】解：（）当m=5时，由f（x）2可得 ，或 ，或 解求得x1，解求得1x0，解求得x，易得不等式即43x2 解集为（2）由二次函数y=x2+2x+3=（x+1）2+2，该函数在x=1取得最小值2，因为在x=1处取得最大值m2，所以要使二次函数y=x2+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，只需m22，求得m4【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解；还考查了函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题18已知角a，b，c为abc的三个内角，其对边分别为a，b，c，若=（cos，sin），=（cos，sin），a=2，且=（1）若abc的面积s=，求b+c的值（2）求b+c的取值范围【考点】解三角形【专题】计算题【分析】（1）利用两个向量的数量积公式求出cosa=，又a（0，），可得a的值，由三角形面积及余弦定理求得 b+c的值（2）由正弦定理求得b+c=4sin（b+），根据b+的范围求出sin（b+）的范围，即可得到b+c的取值范围【解答】解：（1）=（cos，sin），=（cos，sin），且 =（cos，sin）（cos，sin）=cos2+sin2=cosa=，即cosa=，又a（0，），a= 又由sabc=bcsina=，所以bc=4由余弦定理得：a2=b2+c22bccos=b2+c2+bc，16=（b+c）2，故 b+c=4（2）由正弦定理得：=4，又b+c=a=，b+c=4sinb+4sinc=4sinb+4sin（b）=4sin（b+），0b，则b+，则sin（b+）1，即b+c的取值范围是（2，4 【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，正弦定理及余弦定理，二倍角公式，根据三角函数的值求角，以及正弦函数的定义域和值域，综合性较强19在三棱锥pabc中，pab是等边三角形，paac，pbbc（1）证明：abpc；（2）若pc=2，且平面pac平面pbc，求三棱锥pabc的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定【专题】空间位置关系与距离【分析】（1）求出ac和bc，取ab中点m，连结pm，cm，说明abpm，abmc，证明ab平面pmc，然后证明abpc（2）在平面pac内作adpc，垂足为d，连结bd，证明abd为等腰直角三角形，设ab=pa=pb=a，求解a，然后求解底面面积以及体积即可【解答】解：（1）证明：在rtpac和rtpbc中取ab中点m，连结pm，cm，则abpm，abmc，ab平面pmc，而pc平面pmc，abpc（2）在平面pac内作adpc，垂足为d，连结bd平面pac平面pbc，ad平面pbc，又bd平面pbc，adbd，又rtpacrtpbc，ad=bd，abd为等腰直角三角形 设ab=pa=pb=a，则在rtpac中：由paac=pcad，得，解得，（13分）【点评】本题考查几何体的体积的求法，直线与平面垂直的判定与性质的应用，考查空间想象能力以及计算能力20某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究，在饲料充足的前提下，兴趣小组对饲养时间x（单位：月）与这种鱼类的平均体重y（单位：千克）得到一组观测值，如下表：xi（月）12345yi（千克）0.50.91.72.12.8（1）在给出的坐标系中，画出关于x，y两个相关变量的散点图（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归直线方程（3）预测饲养满12个月时，这种鱼的平均体重（单位：千克）（参考公式：=，=）【考点】线性回归方程【专题】计算题；概率与统计【分析】（1）利用所给数据，可得散点图；（2）利用公式，计算回归系数，即可得到回归方程；（3）x=12代入回归方程，即可得到结论【解答】解：（1）散点图如图所示（2）由题设=3，=1.6，=0.58，a=0.14故回归直线方程为y=0.58x0.14（3）当x=12时，y=0.58120.14=6.82饲养满12个月时，这种鱼的平均体重约为6.82千克【点评】本题考查回归分析的初步运用，考查学生的计算能力，属于中档题21“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目选手面对18号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：2030；3040（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示（1）写出22列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关；说明你的理由；（下面的临界值表供参考）p（k2k0）0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.879（2）现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手，并抽取3名幸运选手，求3名幸运选手中至少有一人在2030岁之间的概率（参考公式：其中n=a+b+c+d）【考点】独立性检验【专题】概率与统计【分析】（1）根据所给的二维条形图得到列联表，利用公式求出k2=32.706，即可得出结论；（2）按照分层抽样方法可知：2030（岁）抽取：6=2（人）；3040（岁）抽取：6=4（人），在上述抽取的6名选手中，年龄在2030（岁）有2人，年龄在3040（岁）有4人，利用列举法求出基本事件数，即可求出至少有一人年龄在2030岁之间的概率【解答】解：（1）根据所给的二维条形图得到列联表，正确错误合计2030（岁）1030403040（岁）107080合计20100120根据列联表所给的数据代入观测值的公式得到k2=332.706有10.10=90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关（2）按照分层抽样方法可知：2030（岁）抽取：6=2（人）；3040（岁）抽取：6=4（人） 在上述抽取的6名选手中，年龄在2030（岁）有2人，年龄在3040（岁）有4人年