(绝密试题)弹性力学与有限元分析试题及其答案.pdf

1 2012 年度弹性力学与有限元分析复习题及其答案 绝密试题 2012 年度弹性力学与有限元分析复习题及其答案 绝密试题 一 填空题一 填空题 1 弹性力学研究弹性体由于受外力作用 边界约束或温度改变等原因而发生的应力 形变和位移 2 在弹性力学中规定 线应变以伸长时为正 缩短时为负 与正应力的正负号规定相 适应 3 在弹性力学中规定 切应变以直角变小时为正 变大时为负 与切应力的正负号规 定相适应 4 物体受外力以后 其内部将发生内力 它的集度称为应力 与物体的形变和材料强 度直接有关的 是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量 也就是正应力 和切应力 应力及其分量的量纲是 L 1MT 2 5 弹性力学的基本假定为连续性 完全弹性 均匀性 各向同性 6 平面问题分为平面应力问题和平面应变问题 7 已知一点处的应力分量100 x MPa 50 y MPa 5010 xy MPa 则主应力 1 150MPa 2 0MPa 1 6135 8 已知一点处的应力分量 200 x MPa 0 y MPa 400 xy MPa 则主应力 1 512 MPa 2 312 MPa 1 37 57 9 已知一点处的应力分量 2000 x MPa 1000 y MPa 400 xy MPa 则主应力 1 1052 MPa 2 2052 MPa 1 82 32 10 在弹性力学里分析问题 要考虑静力学 几何学和物理学三方面条件 分别建立三 套方程 11 表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程 12 边界条件表示边界上位移与约束 或应力与面力之间的关系式 分为位移边界条件 应力边界条件和混合边界条件 13 按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法 14 有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构 然后再用结构力学位移法进行求解 其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分 15 每个单元的位移一般总是包含着两部分 一部分是由本单元的形变引起的 另一部 分是由于其他单元发生了形变而连带引起的 16 每个单元的应变一般总是包含着两部分 一部分是与该单元中各点的位置坐标有关 的 是各点不相同的 即所谓变量应变 另一部分是与位置坐标无关的 是各点相 同的 即所谓常量应变 17 为了能从有限单元法得出正确的解答 位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量 应变 还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性 18 为了使得单元内部的位移保持连续 必须把位移模式取为坐标的单值连续函数 为 2 了使得相邻单元的位移保持连续 就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时 也能在整个公共边界上具有相同的位移 19 在有限单元法中 单元的形函数 Ni在 i 结点 Ni 1 在其他结点 Ni 0 及 Ni 1 20 为了提高有限单元法分析的精度 一般可以采用两种方法 一是将单元的尺寸减小 以便较好地反映位移和应力变化情况 二是采用包含更高次项的位移模式 使位移 和应力的精度提高 二 判断题二 判断题 请在正确命题后的括号内打 在错误命题后的括号内打 1 连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满 不留下任何空隙 2 均匀性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满 不留下任何空隙 3 连续性假定是指整个物体是由同一材料组成的 4 平面应力问题与平面应变问题的物理方程是完全相同的 5 如果某一问题中 0 zyzxz 只存在平面应力分量 x y xy 且它们不沿 z 方向变化 仅为 x y 的函数 此问题是平面应力问题 6 如果某一问题中 0 zyzxz 只存在平面应变分量 x y xy 且它们不沿 z 方向变化 仅为 x y 的函数 此问题是平面应变问题 7 表示应力分量与面力分量之间关系的方程为平衡微分方程 8 表示位移分量与应力分量之间关系的方程为物理方程 9 当物体的形变分量完全确定时 位移分量却不能完全确定 10 当物体的位移分量完全确定时 形变分量即完全确定 11 按应力求解平面问题时常采用位移法和应力法 12 按应力求解平面问题 最后可以归纳为求解一个应力函数 13 在有限单元法中 结点力是指单元对结点的作用力 14 在有限单元法中 结点力是指结点对单元的作用力 15 在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变 三 简答题三 简答题 1 简述材料力学和弹性力学在研究对象 研究方法方面的异同点 在研究对象方面 材料力学基本上只研究杆状构件 也就是长度远大于高度和宽度 的构件 而弹性力学除了对杆状构件作进一步的 较精确的分析外 还对非杆状结构 例如板和壳 以及挡土墙 堤坝 地基等实体结构加以研究 在研究方法方面 材料力学研究杆状构件 除了从静力学 几何学 物理学三方面 进行分析以外 大都引用了一些关于构件的形变状态或应力分布的假定 这就大简化了 数学推演 但是 得出的解答往往是近似的 弹性力学研究杆状构件 一般都不必引用 3 那些假定 因而得出的结果就比较精确 并且可以用来校核材料力学里得出的近似解答 2 简述弹性力学的研究方法 答答 在弹性体区域内部 考虑静力学 几何学和物理学三方面条件 分别建立三套方程 即根据微分体的平衡条件 建立平衡微分方程 根据微分线段上形变与位移之间的几何 关系 建立几何方程 根据应力与形变之间的物理关系 建立物理方程 此外 在弹性 体的边界上还要建立边界条件 在给定面力的边界上 根据边界上微分体的平衡条件 建立应力边界条件 在给定约束的边界上 根据边界上的约束条件建立位移边界条件 求解弹性力学问题 即在边界条件下根据平衡微分方程 几何方程 物理方程求解应力 分量 形变分量和位移分量 3 弹性力学中应力如何表示 正负如何规定 答答 弹性力学中正应力用 表示 并加上一个下标字母 表明这个正应力的作用面与作 用方向 切应力用 表示 并加上两个下标字母 前一个字母表明作用面垂直于哪一个 坐标轴 后一个字母表明作用方向沿着哪一个坐标轴 并规定作用在正面上的应力以沿 坐标轴正方向为正 沿坐标轴负方向为负 相反 作用在负面上的应力以沿坐标轴负方 向为正 沿坐标轴正方向为负 4 简述平面应力问题与平面应变问题的区别 答答 平面应力问题是指很薄的等厚度薄板 只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变 化的面力 同时 体力也平行于板面并且不沿厚度变化 对应的应力分量只有 x y xy 而平面应变问题是指很长的柱形体 在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变 化的面力 同时体力也平行于横截面并且不沿长度变化 对应的位移分量只有 u 和 v 5 简述圣维南原理 如果把物体的一小部分边界上的面力 变换为分布不同但静力等效的面力 主矢 量相同 对于同一点的主矩也相同 那么 近处的应力分布将有显著的改变 但是远 处所受的影响可以不计 6 简述按应力求解平面问题时的逆解法 答答 所谓逆解法 就是先设定各种形式的 满足相容方程的应力函数 并由应力分量与 应力函数之间的关系求得应力分量 然后再根据应力边界条件和弹性体的边界形状 看 这些应力分量对应于边界上什么样的面力 从而可以得知所选取的应力函数可以解决的 问题 7 以三节点三角形单元为例 简述有限单元法求解离散化结构的具体步骤 1 取三角形单元的结点位移为基本未知量 2 应用插值公式 由单元的结点位移求出单元的位移函数 3 应用几何方程 由单元的位移函数求出单元的应变 4 应用物理方程 由单元的应变求出单元的应力 5 应用虚功方程 由单元的应力出单元的结点力 4 6 应用虚功方程 将单元中的各种外力荷载向结点移置 求出单元的结点荷载 7 列出各结点的平衡方程 组成整个结构的平衡方程组 8 为了保证有限单元法解答的收敛性 位移模式应满足哪些条件 答答 为了保证有限单元法解答的收敛性 位移模式应满足下列条件 1 位移模式必须 能反映单元的刚体位移 2 位移模式必须能反映单元的常量应变 3 位移模式应尽 可能反映位移的连续性 9 在有限单元法中 为什么要求位移模式必须能反映单元的刚体位移 每个单元的位移一般总是包含着两部分 一部分是由本单元的形变引起的 另一部 分是本单元的形变无关的 即刚体位移 它是由于其他单元发生了形变而连带引起的 甚至在弹性体的某些部位 例如在靠近悬臂梁的自由端处 单元的形变很小 单元的位 移主要是由于其他单元发生形变而引起的刚体位移 因此 为了正确反映单元的位移形 态 位移模式必须能反映该单元的刚体位移 10 在有限单元法中 为什么要求位移模式必须能反映单元的常量应变 答答 每个单元的应变一般总是包含着两部分 一部分是与该单元中各点的位置坐标有关 的 是各点不相同的 即所谓变量应变 另一部分是与位置坐标无关的 是各点相同的 即所谓常量应变 而且 当单元的尺寸较小时 单元中各点的应变趋于相等 也就是单 元的应变趋于均匀 因而常量应变就成为应变的主要部分 因此 为了正确反映单元的 形变状态 位移模式必须能反映该单元的常量应变 11 在平面三结点三角形单元中 能否选取如下的位移模式并说明理由 1 yxyxu 3 2 21 2 654 yxyxv 2 2 32 2 1 yxyxyxu 2 65 2 4 yxyxyxv 答答 1 不能采用 因为位移模式没有反映全部的刚体位移和常量应变项 对坐标 x y 不对等 在单元边界上的连续性条件也未能完全满足 2 不能采用 因为 位移模式没有反映刚体位移和常量应变项 在单元边界上 的连续性条件也不满足 四 分析计算题四 分析计算题 1 试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件 并考虑下列平面问题的 应力分量是否可能在弹性体中存在 1 ByAx x DyCx y FyEx xy 2 22 yxA x 22 yxB y Cxy xy 其中 A B C D E F 为常数 解解 应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件 1 在区域内的平衡微分方程 5 0 0 xy yx xyy yx x 2 在区域内的相容方程 0 2 2 2 2 yx yx 3 在边界上的应力 边界条件 sflm sfml y s xyy x s yxx 4 对于多连体的位移单值条件 1 此组应力分量满足相容方程 为了满足平衡微分方程 必须 A F D E 此 外还应满足应力边界条件 2 为了满足相容方程 其系数必须满足 A B 0 为了满足平衡微分方程 其系 数必须满足 A B C 2 上两式是矛盾的 因此 此组应力分量不可能存在 2 已知应力分量 3 1 2 xCQxy x 2 22 3 xyC y yxCyC xy 2 3 3 2 体力不计 Q 为 常数 试利用平衡微分方程求系数 C1 C2 C3 解解 将所给应力分量代入平衡微分方程 0 0 xy yx xyy yx x 得 023 033 32 2 3 2 2 2 1 2 xyCxyC xCyCxCQy 即 023 033 32 2 2 2 31 xyCC yCQxCC 由 x y 的任意性 得 023 03 03 32 2 31 CC CQ CC 由此解得 6 1 Q C 3 2 Q C 2 3 Q C 3 已知应力分量q x q y 0 xy 判断该应力分量是否满足平衡微分方程和 相容方程 解解 将已知应力分量q x q y 0 xy 代入平衡微分方程 6 0 0 Y xy X yx xyy yx x 可知 已知应力分量q x q y 0 xy 一般不满足平衡微分方程 只有体力忽略 不计时才满足 按应力求解平面应力问题的相容方程 yxxy xy xyyx 2 2 2 2 2 1 2 将已知应力分量q x q y 0 xy 代入上式 可知满足相容方程 按应力求解平面应变问题的相容方程 yxxy xy xyyx 2 2 2 2 2 1 2 1 1 将已知应力分量q x q y 0 xy 代入上式 可知满足相容方程 4 试写出平面问题的应变分量存在的必要条件 并考虑下列平面问题的应变分量是否 可能存在 1 Axy x 3 By y 2 DyC xy 2 2 Ay x yBx y 2 Cxy xy 3 0 x 0 y Cxy xy 其中 A B C D 为常数 解解 应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件 即 yxxy xyy x 2 2 2 2 2 将以上应变分量代入上面的形变协调方程 可知 1 相容 2 CByA 22 1 分 这组应力分量若存在 则须满足 B 0 2A C 3 0 C 这组应力分量若存在 则须满足 C 0 则0 x 0 y 0 xy 1 分 5 证明应力函数 2 by 能满足相容方程 并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解 决什么问题 体力不计 0 b l 2l 2 h 2 h 2 x O 7 解解 将应力函数 2 by 代入相容方程 02 4 4 22 4 4 4 yyxx 可知 所给应力函数 2 by 能满足相容方程 由于不计体力 对应的应力分量为 b y x 2 2 2 0 2 2 x y 0 2 yx xy 对于图示的矩形板和坐标系 当板内发生上述应力时 根据边界条件 上下左右四 个边上的面力分别为 上边 2 h y 0 l 1 m 0 2 h y xyx f 0 2 h y yy f 下边 2 h y 0 l 1 m 0 2 hy xyx f 0 2 hy yy f 左边 2 l x 1 l 0 m bf l x xx 2 2 0 2 l x xyy f 右边 2 l x 1 l 0 m bf l x xx 2 2 0 2 l x xyy f 可见 上下两边没有面力 而左右两边分别受有向左和向右的均布面力 2b 因此 应力函数 2 by 能解决矩形板在 x 方向受均布拉力 b 0 和均布压力 b 0 的问题 6 证明应力函数axy 能满足相容方程 并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解 决什么问题 体力不计 0 a l 2l 2 h 2 h 2 y x O 8 O x y b q g 解解 将应力函数axy 代入相容方程 02 4 4 22 4 4 4 yyxx 可知 所给应力函数axy 能满足相容方程 由于不计体力 对应的应力分量为 0 2 2 y x 0 2 2 x y a yx xy 2 对于图示的矩形板和坐标系 当板内发生上述应力时 根据边界条件 上下左右四 个边上的面力分别为 上边 2 h y 0 l 1 m af h y xyx 2 0 2 h y yy f 下边 2 h y 0 l 1 m af h y xyx 2 0 2 hy yy f 左边 2 l x 1 l 0 m 0 2 l x xx f af l x xyy 2 右边 2 l x 1 l 0 m 0 2 l x xx f af l x xyy 2 可见 在左右两边分别受有向下和向上的均布面力 a 而在上下两边分别受有向右 和向左的均布面力 a 因此 应力函数 axy 能解决矩形板受均布剪力的问题 7 如图所示的矩形截面的长坚柱 密度为 在一边侧面上受均布剪力 试求应力分 量 解解 根据结构的特点和受力情况 可以假定纵向纤维互不挤压 即设0 x 由此可知 0 2 2 y x 将上式对 y 积分两次 可得如下应力函数表达式 21 xfyxfyx 将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得 0 4 2 4 4 1 4 dx xfd dx xfd y 9 这是 y 的线性方程 但相容方程要求它有无数多的解 全柱内的 y 值都应该满足它 可见它的系数和自由项都应该等于零 即 0 4 1 4 dx xfd 0 4 2 4 dx xfd 这两个方程要求 ICxBxAxxf 23 1 KJxExDxxf 23 2 代入应力函数表达式 并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后 便得 2323 ExDxCxBxAxy 对应应力分量为 0 2 2 y x gyEDxBAxy x y 26 26 2 2 CBxAx yx xy 23 2 2 以上常数可以根据边界条件确定 左边 0 x 1 l 0 m 沿 y 方向无面力 所以有 0 0 C xxy 右边 bx 1 l 0 m 沿 y 方向的面力为 q 所以有 qBbAb bxxy 23 2 上边 0 y 0 l 1 m 没有水平面力 这就要求 xy 在这部分边界上合成的主 矢量和主矩均为零 即 0 0 0 dx y b xy 将 xy 的表达式代入 并考虑到 C 0 则有 0 23 23 0 23 0 2 BbAbBxAxdxBxAx b b 而00 0 0 dx y b xy 自然满足 又由于在这部分边界上没有垂直面力 这就要求 y 在这部 分边界上合成的主矢量和主矩均为零 即 0 0 0 dx y b y 0 0 0 xdx y b y 将 y 的表达式代入 则有 02323 26 2 0 2 0 EbDbExDxdxEDx b b 10 022 26 23 0 23 0 EbDbExDxxdxEDx b b 由此可得 2 b q A b q B 0 C 0 D 0 E 应力分量为 0 x gy b x b y q y 312 23b x b x q xy 虽然上述结果并不严格满足上端面处 y 0 的边界条件 但按照圣维南原理 在稍远 离 y 0 处这一结果应是适用的 8 证明 如果体力分量虽然不是常量 但却是有势的力 即体力分量可以表示为 x V fx y V fy 其中 V 是势函数 则应力分量亦可用应力函数表示为 V y x 2 2 V x y 2 2 yx xy 2 试导出相应的相容方程 证明证明 在体力为有势力的情况下 按应力求解应力边界问题时 应力分量 x y xy 应当满足平衡微分方程 0 0 y V xy x V yx xyy yx x 1 分 还应满足相容方程 y f x f yx y x yx 1 2 2 2 2 对于平面应力问题 y f x f yx y x yx 1 1 2 2 2 2 对于平面应变问题 并在边界上满足应力边界条件 1 分 对于多连体 有时还必须考虑位移单值条件 首先考察平衡微分方程 将其改写为 0 0 x V y y V x xy y yx x 这是一个齐次微分方程组 为了求得通解 将其中第一个方程改写为 yxx y V x 11 根据微分方程理论 一定存在某一函数 A x y 使得 y A V x x A yx 同样 将第二个方程改写为 yxy x V y 1 分 可见也一定存在某一函数 B x y 使得 x B V y y B yx 由此得 y B x A 因而又一定存在某一函数 yx 使得 y A x B 代入以上各式 得应力分量 V y x 2 2 V x y 2 2 yx xy 2 为了使上述应力分量能同量满足相容方程 应力函数 yx 必须满足一定的方程 将上述应力分量代入平面应力问题的相容方程 得 V yx V x V yyx 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 V yx V yxxyyx 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 12 简写为 V 24 1 将上述应力分量代入平面应变问题的相容方程 得 V yx V x V yyx 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 V yx V yxxyyx 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 简写为 12 V 24 1 21 9 如图所示三角形悬臂梁只受重力作用 而梁的密度为 试用纯三次的应力函数求 解 解解 纯三次的应力函数为 3223 dycxyybxax 相应的应力分量表达式为 dycxxf y xx 62 2 2 gybyaxyf x yy 26 2 2 cybx yx xy 22 2 这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的 现在来考察 如果适当选择各个系数 是否能满足应力边界条件 上边 0 y 0 l 1 m 没有水平面力 所以有 02 0 bx yxy 对上端面的任意 x 值都应成立 可见 0 b 同时 该边界上没有竖直面力 所以有 06 0 ax yy 对上端面的任意 x 值都应成立 可见 0 a 因此 应力分量可以简化为 dycx x 62 gy y cy xy 2 斜面 tanxy sin 2 cos l coscos m 没有面力 所以有 0 0 tan tan xy xyy xy yxx lm ml 由第一个方程 得 0sintan6sin4costan2sintan62 dxcxcxdxcx O x y g 13 对斜面的任意 x 值都应成立 这就要求 0tan64 dc 由第二个方程 得 0sinsintan2costansintan2 gxcxgxcx 对斜面的任意 x 值都应成立 这就要求 0tan2 gc 1 分 由此解得 cot 2 1 gc 1 分 2 cot 3 1 gd 从而应力分量为 2 cot2cotgygx x gy y cotgy xy 设三角形悬臂梁的长为 l 高为 h 则 l h tan 根据力的平衡 固定端对梁的约束 反力沿 x 方向的分量为 0 沿 y 方向的分量为glh 2 1 因此 所求 x 在这部分边界上 合成的主矢应为零 xy 应当合成为反力glh 2 1 0cotcotcot2cot 22 0 2 0 ghglhdygygldy h lx h x glhghdygydy hh lx xy 2 1 cot 2 1 cot 2 00 可见 所求应力分量满足梁固定端的边界条件 10 设有楔形体如图所示 左面铅直 右面与铅直面成角 下端作为无限长 承受重 力及液体压力 楔形体的密度为 1 液体的密度为 2 试求应力分量 解解 采用半逆解法 首先应用量纲分析方法来