不定积分的被积函数线性组合化及降幂的积分原则.pdf

第 5毒第 4期 1 9 9 7年 1 2月 济南空通高等专科学授学报 J OURNA L OF J 1 NAN COM M UNI C ATI ONS C OL LE GE v0 1 5No D 1 9 9 7 不定积分的被积函数线性组合化 及 降 幂 的 积 分 原 则 尹金 生 基霉 I 部 摘要 从 不定 积分的线性运算性 质 出发 给 出了计算 不定积分 的被 积函 数线性 组合化 降 幂的积分 原则 并结合 实侧分析 7这 一原剐在 不定积分 计算 中 的指 导 作 用 关 曼 型 墨 些丛 墨 暑 童 赶 前言 不定积分 是高 等数 学中的一个重 要 内容 关 于不定积分 的计 算 由于积 分方 法较多 各 种积分方法的使用也非常灵 活 积分过 程中若缺少一种指导 思想和解 题 思路 将给 学生 学 习掌握不定积分带来 了一定 的困难 根据多 年的教学 实践 本文 提出 了贯穿于不定 积分 计算始终的一个积分 原则 即被 积 函数线性组合化 降幂的积分原则 这一积分原则的提出使许多不定积分的计算问西有了 一 个 明 确 的 思路 1 不定积分的线性运算性 质 定 义 1设 z z 是 两个 连续 函数 是两个 任意实 数 则称 表达 式 k f 为函数 以 为组合 系数 的线性组合 由不定积分 的运算性 质 J z g z 如 z d x f g 如 得 出 d x k f f z 出 是 常 数 收稿 日期 1 9 7 0 4 2 5 维普资讯 第 4 期 尹盘生 一 不定祝分的镀j 盹 孟鼓线性组合化厦降暮的祝分碍 c J 时 5 l l 如 d x k 如 该式说明函数 以 k k 为组合系数的线性组合的不定积分等于 1 z 不定积分的相应系数的线性组合 可简述为函数线性组合的不定积分等于其不定积 分的线性组 合 不定 积分 的这 种线性 运算性质 决 定了不定积分运 算是 一种线性运算 郎 运算 J 是 一 个 线 性 算 子 2 计算不定积分的被积函数 线性组合化 降幂 的积分原则 定义 2 设 z z 均是 连续 函数 k k t 是 两个 任意常数 若 一 f 2 则称 可表示 为 z 的线性 组 合 或 称将 函数 线性 组合化 由于不定积分 的运算是 一 种线性运算 所 以计 算不 定积分时 被积 函数幂次越高越难 计算 被积函数的非线性运算形式 如乘积 乘方 开方等 就不如被积函数的线性运算形 式 f z z 容 易计 算 出不定积分 这就要求我 们在计算不 定积分时 要 遵循 一十 被 积函数降幂 线性 组合化的积 分原则 3 实例分析 例1 求f 如 分析 被积函数 一 直接计算积分有困难 需将被积函数 z 线性组台 化 事实上 我 们有 一l 2 2 1 z 一 l 与 进一 步利 用不定积分 的线性 运算性 质就 可求 出积分结 果 r r 1 解 J 南 如 J 一 1 南 如 z 一 1 一 z 酊 c g z C 例 2 求 分析 被积 函数 一C 0 这里的 4次方是一 个非线性 运算 形式 需将其降幂 转化 维普资讯 挤甫文通商等专科学拄学捏 1 9 9 7年 l 2 月第 5誊 为线 性运 算形 式 我们有 一C O S 一 解 f c o d 一 言 3 4 2 4 3 c o s 4 x d x 一百 1 3 2 n 2 x ls i c 例 3 求 2 3 分析 被积函数 c o s 2 x c o s 3 x 是两个 函 数的乘 积 是 非线 性 运算 可利 用 三 角 函 数 的 积 化 和 差 公 式 将 其 转 化 为 吉 m 5 这 样 就 转 化 为 c sz c o s S x f 一 次 幂的线性组 合 实现了降幂 线性组合化 解I C O 2 x c o j 3 x d x 一 f c o s 5 d x 21 f c o s x d 舛 c o 娴 一 吉 5 x C 例4 求 巫出 分析 被积 函效 中 是 一个 非线性运 算 需做一 个变 换将根 号去 掉 使其转化 为 线性 运算才可实施计算 因此令 一 即 t z 1 O 解令 f 即 1 t O 则 d x 2 t d t 所以原积分化 为 孚 南 z 础 一 z 再将被积 函数 t 线性组 台化 得 4 结论 争 护 z 二 d t J 1 2 f 1 一 甭 1 出 2 f d t 一 一 20一口 C 一2 厢一口 g c 维普资讯 第4 期 尹盘生t 不定租分的硅祝函数线性组合 旦垡幂的积分原堕 通过 以上几十例子的分析和计算 我们不难得出结论 被积函数的线性组合化 降幂 的积分原则在不定积分的直接积分法 两类换元积分法 分部积分法 中都有着广泛的应 用 这一积分原则的提出使许多不定积分的零散方法上升到一个统一的理论高度 这一积 分原则的正确理解和掌握 必然会对不定积分乃至定积分的计算起到积极的指导作用 主要参 考文献 遣行 晏阜 牛 宾主函托论与莲函 f r Tin 北末 蕞育出版i 王 1 9 8 8 彝太钧 非墁性 泛函分轩 济 南 山 木料 擎垃 木 出苴社 1 9 8 5 同济 太 擎应 用托 擎 未 高牛托 擎 上量 北 末 t 高牛蕞 育 出版 壮 1 9 9 2 I t 太荦托擎丰 托 擎舟轩 上罱 羊 2 版 上海 上海井擎技 术出版壮 1 8 7 8 An I nde f i ni t e I nt e g r a l Pr i nc i pl e o f M aki ng Li ne a r Combi na t i on a nd Re duc i ng Powe r of I nt e g r a nd y n Ji ns he ng ABS TRACT Ba s e d 0 n t h e q u a l i t y o f l i ne a r o p e r a t i o n a b o u t i n d e f i n i t e i n t e gr a l t h e a r t i c l e p u t s f o r wa r d a n i n d e f i n i t e i n t e g r a l p r i n c i p l e o f ma k i n g l i n e a r c o mb i n a t i o n a n d r e d u c i n g p o we r o f i n t e g r a n d I t p r o v i d e s s ome e x a mp l e s a n d a n a l y s e s t h e m i n o r d e r t o e x p l a i n i t s d i r e c t i v e f u n c t i o ns i n c a l c u l a t i n g i n d e f