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第九章第九章解析几何 9 4 直线与圆 圆与圆的位置关系直线与圆 圆与圆的位置关系 专题 1 直线与圆的位置关 系 2015银川高中教学质量检测 直线与圆的位置关系 填空题 理 16 直线 y x m 与圆 x2 y2 16 交于 不同的两点 M N 其中 O 是坐标原点 则实数 m 的取值范围是 解析 利用等价转化 数形结合等数学思想求解 由 得 两边平方化简得 8 即 cos MON 16cos MON 8 cos MON 0b 0 的左 右焦点分别为 F F 双曲线 C2 1 与椭圆 C1在第一象限的一个交点为 P 有以下四个结论 0 且三角形 PFF 的面积小于 b2 当 a b时 PF F PFF 分别以 PF FF 为直径作圆 这两个圆相内切 曲线 C1与 C2的离心率互为倒数 其中正确的有 A 4个B 3 个 C 2个D 1个 解析 对于 依题意 cos FPF 0 故 PF 2 PF 2 FF 2 0 故 PF PF 2 FF 2 2 PF PF 0 即 PF PF 2b2 故 S PFF PF PF sin FPF b2 故 正确 对于 当 a b时 c b c1 1 c2 1 联立两式 解得 x y 要证 PF F PFF 即证 PF F PFF 即证 cos PF F cos 即证 cos PF x sin PFF 过点 P 作 PP 垂直 x 轴于点 P 故 cos PF x sin PFF 可以证明 故 cos PF x sin PFF 故 正确 对于 取 PF 的中点 C2 连接 C2O 故以 PF 为直径 的圆的圆心为 C2 半径为 C2F 而以 FF 为直径的圆的圆心为 O 半径为 FO 由三角形性质易知 C2F FO C2O 故这两个圆不内切 故 错误 对于 曲线 C1的离心率 e1 曲线 C2的离心率 e2 故 e1 e2 1 故 正确 综上所述 正确的命题有 3 个 故选 B 答案 B 2015江西八所重点中学高三联考 椭圆的几何性质 选择题 理 9 已知圆 C1 x2 2cx y2 0 圆 C2 x2 2cx y2 0 椭圆 C 1 若圆 C1 C2都在椭圆内 则椭圆离心率的范围是 A B C D 解析 利用椭圆的几何性质求解 由椭圆上点到焦点的距离的最小值是 a c 得 a c c a 2c 所以离心 率 0b 0 的离心率 e 且过点 M 1 求椭圆 C的方程 2 椭圆 C长轴两端点分别为 A B 点 P 为椭圆上异于 A B 的动点 定直线 x 4 与直线 PA PB 分别交于 M N 两点 又 E 7 0 过 E M N 三点的圆是否过 x 轴上不同于点 E的定点 若经过 求出定点坐标 若不 经过 请说明理由 解 1 1 2 设 PA PB的斜率分别为 k1 k2 P x0 y0 则 k1k2 则 PA y k1 x 2 则 M 4 6k1 PB y k2 x 2 则 N 4 2k2 又 kEM 2k1 kEN kEMkEN 1 设圆过定点 F m 0 则 1 则 m 1 或 m 7 舍 故过点 E M N 三点的圆是以 MN 为直径的圆 过定点 F 1 0 2015辽宁东北育才高三第五次模拟 椭圆的几何性质 填空题 理 15 已知 A B 是椭圆 1 a b 0 长 轴的两个端点 M N 是椭圆上关于 x 轴对称的两点 直线 AM BN 的斜率分别为 k1 k2 且 k1k2 0 若 k1 k2 的最小值为 1 则椭圆的离心率为 解析 令 A a 0 B a 0 设 M acos bsin N acos bsin 故 k1 k2 故 k1 k2 又 k1 k2 的最小值 为 1 故 1 故 e 答案 专题 3 直线与椭圆的位置关 系 2015东北三省三校高三第一次联考 直线与椭圆的位置关系 解答题 理 20 已知椭圆 1 a b 0 的 左 右焦点为 F1 F2 点 A 2 在椭圆上 且 AF1与 x 轴垂直 1 求椭圆方程 2 过 A 作直线与椭圆交于另外一点 B 求 AOB 面积的最大值 解 1 由已知得 c 2 a 2 b2 4 故椭圆方程为 1 2 当 AB斜率不存在时 S AOB 2 2 2 当 AB 斜率存在时 设其方程为 y k x 2 联立 消去 y得 2k2 1 x2 4 2k kx 2 2k 2 8 0 由已知得 16 2k 2k2 8 2k2 1 2k 2 4 8 2k 2 0 即 k 则 AB 又 点 O 到直线 AB 的距离 d S ABC AB d k 2k2 1 2 2k2 1 1 2 2 2 2 0 0 2 此时 S AOB 0 2 综上所述 当 AB 斜率不存在或斜率为零时 AOB 面积取最大值为 2 2015银川一中高三二模 直线与椭圆的位置关系 解答题 理 20 设直线 l y k x 1 与椭圆 x2 3y2 a2 a 0 相交于 A B 两个不同的点 与 x轴相交于点 C 记 O 为坐标原点 1 证明 a2 2 若 2 求 OAB的面积取得最大值时的椭圆方程 解 1 证明 依题意 直线 l显然不平行于坐标轴 故 y k x 1 可化为 x y 1 将 x y 1代入 x2 3y2 a2 消去 x得 y2 y 1 a2 0 由直线 l与椭圆相交于两个不同的点 得 4 1 a2 0 整理得 a2 3 即 a2 2 设 A x1 y1 B x2 y2 由 得 y1 y2 因为 2 得 y1 2y2 代入上式得 y2 于是 OAB的面积 S OC y1 y2 y2 其中 上式取等号的条件是 3k2 1 即 k 由 y2 可得 y2 将 k y2 及 k y2 这两组值分别代入 均可解出 a2 5 所以 OAB的面积取得最大值的椭圆方程是 x2 3y2 5 2015银川二中高三一模 直线与椭圆的位置关系 解答题 理 20 如图 点 P 0 1 是椭圆 C1 1 a b 0 的一个顶点 C1的长轴是圆 C2 x2 y2 4 的直径 l1 l2是过点 P 且 互相垂直的两条直线 其中 l1交圆 C2于 A B 两点 l1交椭圆 C1于另一点 D 1 求椭圆 C1的方程 2 求 ABD面积的最大值及取得最大值时直线 l1的方程 解 1 由题意得 椭圆 C1的方程为 y2 1 2 设 A x1 y1 B x2 y2 P x0 y0 由题意知直线 l1的斜率存在 不妨设其为 k 则直线 l1的方程为 y kx 1 则点 O到直线 l1的距离为 d 又圆 C2 x2 y2 4 AB 2 2 又 l1 l2 直线 l2的方程为 x ky k 0 联立消去 y整理得 4 k2 x2 8kx 0 故 x0 代入 l2的方程得 y0 PD 设 ABD 的面积为 S 则 S AB PD S 当且仅当 即 k 时 等号成立 当 k 时 ABD 的面积取得最大值 此时直线 l1的方程为 y x 1 9 6 双曲线双曲线 专题 2 双曲线的几何性 质 2015江西重点中学盟校高三第一次联考 双曲线的几何性质 选择题 理 7 已知 F1 F2分别是双曲线 1 a 0 b 0 的左 右焦点 过点 F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M 若点 M在以线段 F1F2为直径的圆外 则双曲线离心率的取值范围是 A 1 B C 2 D 2 解析 如图所示 过点 F2 c 0 且与 y x平行的直线方程为 y x c 与另一条渐近线 y x 联立得 x y 即点 M 所以 OM 因为点 M在以线段 F1F2为直径的圆外 所以 c 得 2 所以双曲线离心率 e 2 故选 D 答案 D 2015辽宁大连高三双基测试 双曲线的几何性质 选择题 理 11 已知离心率 e 的双曲线 C 1 a b b 0 右焦点为 F O 为坐标原点 以 OF 为直径的圆与双曲线 C 的一条渐近线相交于 O A 两 点 若 AOF的面积为 4 则 a的值为 A 2B 3C 4D 5 解析 依题意得 OA AF 焦点 F到渐近线的距离 AF b S OAF ab 4 又 e 因此 a 2b 2b2 8 b 2 a 4 故选 C 答案 C 2015东北三省四市教研联合体高三模拟二 双曲线的几何性质 选择题 理 11 已知双曲线 1 a 0 b 0 与函数 y x 0 的图象交于点 P 若函数 y 在点 P 处的切线过双曲线左焦点 F 1 0 则 双曲线的离心率是 A B C D 解析 利用导数求出点 P的坐标 利用双曲线的基本量建立方程组求解 设 P x0 则函数 y 在点 P 处 的切线方程为 y x x0 代入点 F 1 0 解得 x0 1 所以 P 1 1 在双曲线上 则 1 又 c2 a2 b2 1 解得 a 舍去 所以离心率 e 故选 A 答案 A 2015银川高中教学质量检测 双曲线的几何性质 填空题 理 13 已知双曲线 1 a b 0 的一条渐近线 方程为 2x 3y 0 则双曲线的离心率是 解析 由题意可得 则离心率 e 答案 2015辽宁东北育才高三第五次模拟 双曲线的几何性质 选择题 理 8 已知双曲线 C y2 1 的左 右 焦点分别为 F1 F2 过点 F2的直线与双曲线 C的右支相交于 P Q 两点 则点 P 的横坐标为 2 则 PF1Q 的周长为 A 4B C 5D 解析 依题意 a b 1 故 c 2 故 F1 2 0 F2 2 0 由于点 P 的横坐标为 2 可知 PQ x 轴 将 x 2 代入 y2 1 中 解得 y 故 PF2 QF2 故 PF1 QF1 故 PF1Q 的周长为 故选 D 答案 D 2015东北三省三校高三二模 双曲线的几何性质 选择题 理 11 已知双曲线 1 a 0 b 0 的左 右 焦点分别为 F1 F2 以 F1F2为直径的圆被直线 1 截得的弦长为 a 则双曲线的离心率为 A 3B 2C D 解析 依题意 原点到直线 1 的距离等于 于是有 c2 即 c2 2c4 5a2c2 2a4 0 2e4 5e2 2 0 e2 2 2e2 1 0 e 1 解得 e 所以双曲线的离心率是 故选 D 答案 D 2015东北三省三校高三第一次联考 双曲线的几何性质 选择题 理 8 设双曲线的一个焦点为 F 虚 轴的一个端点为 B 焦点 F 到一条渐近线的距离为 d 若 FB d 则双曲线离心率的取值范围是 A 1 B C 1 3 D 解析 不妨设 F c 0 B 0 b 则 FB 设双曲线的渐近线方程为 bx ay 0 则点 F c 0 到渐近线的距离 d b 依题意得 b 故 2b2 a2 3b2 则 1 故 e 又 e 1 所以 e 1 故选 A 答案 A 2015银川一中高三二模 双曲线的几何性质 选择题 理 12 设双曲线 1 a 0 b 0 的右焦点为 F 过 点 F 作与 x轴垂直的直线 l交两渐近线于 A B 两点 且与双曲线在第一象限的交点为 P 设 O 为坐标 原点 若 R 则该双曲线的离心率为 A B C D 解析 依题意得 P A B 由 所以 2 2 1 4 1 c 2b a b 所以双曲线的离心率是 e 故选 A 答案 A 9 7 抛物线抛物线 专题 1 抛物线的定义与标准方 程 2015东北三省三校高三第一次联考 抛物线的定义与标准方程 选择题 理 3 点 M 1 1 到抛物线 y ax2准线的距离为 2 则 a 的值为 A B C 或 D 解析 抛物线 y ax2的准线为 y 依题意得 2 解得 a 或 a 故选 C 答案 C 2015江西八所重点中学高三联考 抛物线的定义与标准方程 选择题 理 12 在平面直角坐标系中 点 P 是直线 l x 上一动点 定点 F 点 Q 为 PF 的中点 动点 M 满足 0 R 过点 M 作圆 x 3 2 y2 2的切线 切点分别为 S T 则的最小值是 A B C D 解析 结合图形求解 由题意可得点 M 到直线 l x 的距离等于到点 F 的距离 则点 M 的轨迹是以点 F 为焦点 直线 l x 为准线的抛物线 方程为 y2 2x 设 M x y 则点 M到圆 x 3 2 y2 2 的圆心 C 3 0 的距离 MC2 x 3 2 y2 x2 4x 9 5 当 x 2 时取 等号 cos SMT 2cos2 CMS 2 1 2sin2 CMS 2 2 2 2 2 6 5 6 当且仅当 MC 2 5时取等号 故选 A 答案 A 2015银川二中高三一模 抛物线的定义与标准方程 选择题 理 10 设 F 是抛物线 C y2 12x 的焦 点 A B C为抛物线上不同的三点 若 0 则 FA FB FC A 3B 9C 12D 18 解析 依题意 F 3 0 设 A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 则 x1 3 y1 x2 3 y2 x3 3 y3 依题意得 x1 x2 x3 9 则由抛物线定义可知 FA FB FC x1 3 x2 3 x3 3 18 故选 D 答案 D 2015东北三省四市教研联合体高三模拟一 抛物线的定义与标准方程 选择题 理 8 已知抛物线 y2 2px p 0 与椭圆 1 a b 0 有相同的焦点 F 点 A 是两曲线的一个公共点 且 AF x 轴 则椭圆的离 心率为 A 1B 1C D 解析 依题意 设椭圆的左焦点为 F 因为右焦点 F 故 F 因为 A 是两曲线的公共点 且 AF x轴 不妨设 点 A 在第一象限 故 A 由椭圆定义可知 2a AF AF 1 p 又 2c FF p 故椭圆的离心率 e 1 故选 B 答案 B 专题 2 抛物线的几何性 质 2015银川高中教学质量检测 抛物线的几何性质 选择题 理 10 点 M 1 1 到抛物线 y ax2的准线的 距离为 2 则 a A 或 B C D 4或 12 解析 将抛物线方程化为标准方程为 x2 y 准线方程为 y 则 2 解得 a 或 故选 A 答案 A 2015银川一中高三二模 抛物线的几何性质 填空题 理 15 在平面直角坐标系 xOy 中 点 A B在抛物 线 y2 4x上 满足 4 F是抛物线的焦点 则 S OFA S OFB 解析 依题意 设点 A x1 y1 B x2 y2 则有 x1x2 y1y2 y1y2 4 解得 y1y2 8 S OFA S OFB y1y2 2 答案 2 专题 3 直线与抛物线的位置关 系 2015辽宁大连高三双基测试 直线与抛物线的位置关系 解答题 理 20 已知过点 2 0 的直线 l1交抛 物线 C y2 2px于 A B 两点 直线 l2 x 2 交 x 轴于点 Q 1 设直线 QA QB 的斜率分别为 k1 k2 求 k1 k2的值 2 点 P 为抛物线 C 上异于 A B 的任意一点 直线 PA PB 交直线 l2于 M N 两点 2 求抛物线 C 的方程 解 1 设直线 l1的方程为 x my 2 点 A x1 y1 B x2 y2 联立方程组得 y2 2pmy 4p 0 y1 y2 2pm y1 y2 4p k1 k2 0 2 设点 P x0 y0 直线 PA y y1 x x1 当 x 2 时 yM 同理 yN 因为 2 4 yNyM 2 2 2 2 解得 p 抛物线 C 的方程为 y2 x 2015江西重点中学盟校高三第一次联考 直线与抛物线的位置关系 解答题 理 20 已知抛物线 C x2 2py p 0 的焦点为 F 过 F 的直线 l 交抛物线 C 于点 A B 当直线 l的倾斜角是 45 时 AB 的中垂线交 y轴于点 Q 0 5 1 求 p 的值 2 以 AB为直径的圆交 x 轴于点 M N 记劣弧的长度为 S 当直线 l绕 F 旋转时 求的最大值 解 1 F 当 l的倾斜角为 45 时 l 的方程为 y x 设 A x1 y1 B x2 y2 得 x2 2px p2 0 x1 x2 2p y1 y2 x1 x2 p 3p 得 AB 的中点为 D AB 的中垂线为 y p x p 令 x 0 得 y p 5 p 2 2 设 l 的方程为 y kx 1 代入 x2 4y 得 x2 4kx 4 0 AB y1 y2 2 k x1 x2 4 4k2 4 AB的中点为 D 2k 2k2 1 令 MDN 2a S 2a AB a AB a D到 x轴的距离 DE 2k2 1 cos 1 当 k2 0 时 cos 取最小值 的最大值为 故的最大值为 2015东北三省四市教研联合体高三模拟二 直线与抛物线的位置关系 选择题 理 8 已知直线 y 2 x 1 与抛物线 C y2 4x 交于 A B 两点 点 M 1 m 若 0 则 m A B C D 0 解析 求出点 A B的坐标 利用数量积的坐标运算建立方程求解 联立直线 y 2 x 1 和抛物线 C y2 4x 解得 A 2 2 B 所以 3 2 m 2 m m 0 化简得 m2 m 0 0 m 故选 B 答案 B 2015辽宁重点中学协作体高考模拟 直线与抛物线的位置关系 选择题 理 11 抛物线 y2 4x 直线 l 经过该抛物线的焦点 F 与抛物线交于 A B 两点 A点在第一象限 且 4 则三角形 AOB O 为坐标原点 的面积为 A B C D 解析 依题意 设直线 AB x my 1 点 A x1 y1 B x2 y2 y1 0 则由消去 x 得 y2 4my 4 0 y1 y2 4m y1y2 4 由 4得 y1 y2 4y2 y1 3y2 0 联立 解得 y2 所以 y1 y2 4y2 因此 AOB的面积等于 OF y1 y2 故选 C 答案 C 2015东北三省三校高三二模 直线与抛物线的位置关系 解答题 理 20 设 F 是抛物线 C y2 4x 的焦 点 P 是 C上一点 斜率为 1的直线 l 交 C 于不同两点 A B l不过 P 点 且 PAB 重心的纵坐标为 1 记直线 PA PB的斜率分别为 k1 k2 求 k1 k2的值 2 求的最大值 解 1 设直线 l的方程为 y x b 将其代入 C y2 4x得 x2 2 b 2 x b2 0 由题可知 16 b 1 0 令 A x1 y1 B x2 y2 则 x1 x2 2 b 2 x1x2 b2 y1 y2 x1 x2 2b 2 b 2 2b 4 因为 PAB 重心的纵坐标为 所以 y1 y2 yP 2 所以 yP 2 xP 1 k1 k2 y1 2 x2 1 y2 2 x1 1 x1 b 2 x2 1 x2 b 2 x1 1 2x1x2 b 1 x1 x2 2 b 2 2b2 2 b 1 b 2 2 b 2 0 所以 k1 k2 0 2 由 16 b 1 0得 b 1 又 l 不过 P 点 则 b 3 令 t b 3 则 t 2 且 t 6 则 当且仅当 t 即 t 2 b 2 3时 取得最大值 2015辽宁东北育才高三第五次模拟 直线与抛物线的位置关系 解答题 理 21