最新理科优化设计一轮高考模拟试卷-第三章导数及其应用 (2).pdf

第三章第三章导数及其应用 3 1 导数的概念及运算导数的概念及运算 专题 1 导数的概念与几何 意义 2015河北石家庄二中一模 导数的概念与几何意义 填空题 理 15 函数 f x 若方程 1 2 1 ln 1 f x mx 恰有四个不相等的实数根 则实数 m 的取值范围是 1 2 解析 如图 在同一坐标系中作出 y f x 与 y mx 的图象 设过点 C的直线与曲线 y lnx x 1 相 1 2 0 1 2 切于点 A x0 y0 则由 y 知切线的斜率 kAC 切线方程为 y y0 x x0 将点 C 的坐标代入切线方程 1 1 0 1 0 得 y0 0 x0 化简得 y0 1 2 1 0 1 2 于是由 lnx0得 x0 则 kAC 又 kBC 所以满足条件的实数 m 的取值范围是 m 1 2 e 1 e 1 2 1 2 1 e 答案 1 2 1 e 2015江西师大附中 鹰潭一中 宜春中学高三联考 导数的概念与几何意义 选择题 理 12 已知实 数 a b c d满足 1 其中 e 是自然对数的底数 则 a c 2 b d 2的最小值为 2e 1 1 A 8B 10C 12D 18 解析 b a 2ea d 2 c 点 a b 的轨迹是曲线 y x 2ex 点 c d 的轨迹是直线 y 2 x 设直线 y x m 与曲线 y x 2ex相切于点 x0 y0 则有 1 2 1 x0 0 结合图形 图略 可知 在曲线 y x 2ex上所有的点中 点 0 e 0 2 到直线 y 2 x 即 x y 2 0 的距离最近 该距离等于 2 a c 2 b d 2可视为点 a b 与 c d 间 0 2 2 2 2 的距离的平方 因此所求的最小值等于 2 2 8 故选 A 2 答案 A 2015河北石家庄一模 导数的概念与几何意义 填空题 理 15 设过曲线 f x ex x e 为自然对数的底 数 上任意一点处的切线为 l1 总存在过曲线 g x ax 2cos x 上一点处的切线 l2 使得 l1 l2 则实数 a 的取值范围为 解析 设 l1与曲线 f x 相切于点 P x1 y1 l2与曲线 g x 相切于点 Q x2 y2 则 f x ex 1 f x1 e 1 1 g x a 2sin x g x2 a 2sin x2 因为 l1 l2 所以 1 a 2sin x2 1 即 a 2sin x2 2 2 因为e 1 1 e 1 1 0 1 解 1 由 f x x2 alnx得 f x 2x 2 2 2 因为 f x 在 2 3 上单调递增 则 f x 2x 0在 2 3 上恒成立 2 2 即 a 2x2在 2 3 上恒成立 设 g x 2x2 2 2 则 g x 4x1 1 1 2 1 2 f x1 f x2 x1 x2 而 f x1 f x2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 x1 x2 2 2 1 2 2 1 22 1 2 故欲证 f x1 f x2 x1 x2 只需证 1 2 2 1 2 2 1 22 1 2 即证 ax1x2 2 1 2 1 2 4 1 2 设 t u t t2 t 0 1 2 4 则 u t 2t 4 2 令 u t 0得 t 列表如下 3 2 t 0 3 2 3 2 3 2 u t 0 u t 极小值 3 3 4 u t 3 4 a 3 4 3 108 x1x2 a 2 1 2 1 2 f x1 f x2 x1 x2 即 1 1 2 1 2 当 a 4 时 k 1 2015河北石家庄高三质检一 导数与函数的极值 解答题 理 22 已知函数 f x ln x x2 ax a R 1 若 a 3 求 f x 的单调区间 2 若 f x 有两个极值点 x1 x2 记过点 A x1 f x1 B x2 f x2 的直线的斜率为 k 问是否存在 a 使 k 2 2 若存在 求出 a 的值 若不存在 请说明理由 解 1 当 a 3时 f x lnx x2 3x f x 的定义域为 0 f x 2x 3 1 1 2 2 3 当 0 x1时 f x 0 1 2 当 x 1 时 f x 0 1 2 f x 的单调递增区间为 1 单调递减区间为 0 1 2 1 2 1 2 f x 2x a 1 1 2 2 令 u x 2x2 ax 1 则方程 u x 0 的判别式 a2 8 1 当 0 即 2 a0 在 0 上恒成立 22 f x 在 0 上单调递增 此时 f x 无极值 2 当 0 即 a 2时 f x 0 在 0 上恒成立 2 f x 在 0 上单调递增 此时 f x 无极值 3 当 0 即 a2时 22 方程 u x 0 有两个实数根 x1 x2 2 8 4 2 8 4 若 a 2 则 x1 x20 在 0 上恒成立 2 f x 在 0 上单调递增 此时 f x 无极值 若 a 2 u x 0 的两个根 x1 0 x2 0 且 x10 f x 在 0 x1 和 x2 上单调递增 当 x x1 x2 时 f x 0 f x 在 x1 x2 上单调递减 则 f x 在 x x1处取得极大值 在 x x2处取得极小值 且 x1 x2 x1x2 所以 k 2 1 2 1 2 1 2 ln 1 2 1 1 ln 2 2 2 2 1 2 x1 x2 a ln 1 ln 2 1 2 ln 1 ln 2 1 2 2 2 2 即 ln 1 ln 2 1 2 2 1 1 2 即 ln 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 令 t 0 1 则上式等价于 lnt 1 2 1 1 令 g t t 1 lnt t 1 则 g t lnt 1 lnt 1 1 令 m t lnt 则 m t m 1 1 0 即 g t 0在 0 1 恒成立 g t 在 0 1 上单调递增 g t 0 函数 f x 在 R 上单调递增 当 a 0 时 由 f x ex a 0 得 x lna 则当 x lna 时 f x 0 f x 单调递增 综上所述 当 a 0 时 函数 f x 的单调递增区间为 当 a 0时 函数 f x 的单调递增区间为 lna 单调递减区间为 lna 2 由 1 知当 a0时 由函数 f x b对任意 x R 都成立得 b f x min f x min f lna 2a alna b 2a alna ab 2a2 a2lna 设 g a 2a2 a2lna a 0 则 g a 4a 2alna a 3a 2alna 由于 a 0 令 g a 0得 lna a 3 2 e 3 2 当 a 0 时 g a 0 g a 单调递增 当 a 时 g a 0 g a 单调递减 e 3 2 e 3 2 g a max 即 a b 时 ab 的最大值为 e3 2 e 3 2 1 2e 3 2 e3 2 2015江西师大附中 鹰潭一中 宜春中学高三联考 选择题 理 9 设函数 y f x 在 a b 上的导函数 为 f x f x 在 a b 上的导函数为 f x 若在 a b 上 f x 0 恒成立 则称函数 f x 在 a b 上为 凸函数 已知 f x x4 x3 x2在 1 3 上为 凸函数 则实数 m 的取值范围是 1 12 6 3 2 A B 31 9 31 9 5 C 2 D 2 解析 依题意得 f x x3 x2 3x 当 x 1 3 时 f x x2 mx 3x 恒成立 函数 y x 在区间 1 3 2 3 3 1 3 上是增函数 因此 m 3 2 即实数 m的取值范围是 2 故选 D 3 3 答案 D 2015江西九校高三联考 导数与函数的最值 选择题 理 12 已知 R 上的不间断函数 g x 满足 当 x 0 时 g x 0恒成立 对任意的 x R 都有 g x g x 又函数 f x 满足 对任意的 x R 都有 f x f x 成立 当 x 0 时 f x x3 3x 若关于 x 的不等式 33 g f x g a2 a 2 对 x 3 3 恒成立 则 a 的取值范围为 A a 0或 a 1B 0 a 1 C 1 a 1D a R 解析 依题意 当 x 0 时 f x 3 x 1 x 1 若 x 0 1 则 f x 0 f x 的最小 33 值是 f 1 2 f 0 f 0 f x 的最大值是 0 由 f x f x 得 f x f x 当 x 2 时 x 333333 0 f x 的最大值 最小值分别是 0 2 函数 f x 的最大值 最小值分别是 2 0 因此函数 f x 在 33 0 2 上的最大值 最小值分别为 2 2 由 f x f x 得 f 2 x f x f x 函数 f x 是以 2 3333 为周期的函数 因此函数 f x 的最大值 最小值分别为 2 2 函数 f x 在 x 3 3 上的最大值 最小 3 值分别为 2 2 由已知得 g x 在 0 上是增函数 函数 g x 是偶函数 且 a2 a 2 a 1 2 1 0 因此不等 式 g f x g f x g a2 a 2 即 f x a2 a 2 a2 a 2 2 解得 a 0 或 a 1 故选 A 答案 A 2015河北唐山一模 导数与函数的最值 选择题 理 11 直线 y a 分别与曲线 y 2 x 1 y x ln x 交 于 A B 两点 则 AB 的最小值为 A 3B 2C D 32 4 3 2 解析 在坐标平面内画出函数 f x 2 x 1 与函数 g x x lnx 的图象如图所示 设直线 y a 交函数 g x 的图象于点 B x0 a 直线 x x0交函数 f x 的图象于点 C x0 y0 则有 2 即 AB BC 2 x0 1 x0 1 2 1 2 lnx0 x0 lnx0 1 设 h x x lnx 1 x 0 则 h x 所以 h x 在 0 1 上单调递减 在 1 上单 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 调递增 h x 在 x 1处取得最小值 h 1 1 即 AB 的最小值为 故选 D 1 2 3 2 3 2 答案 D 2015江西南昌一模 导数与函数的最值 选择题 理 12 设函数 f x x a 2 ln x2 2a 2 其中 x 0 a R 存在 x0使得 f x0 成立 则实数 a 的值是 4 5 A B C D 1 1 5 2 5 1 2 解析 利用等价转化思想求解 f x 的几何意义是点 A x 2lnx x 0 B a 2a 之间的距离的平方 存在 x0 使 f x0 f x min 而点 A 在曲线 y 2lnx x 0上 点 B 在直线 y 2x 上 平移直线 y 2x 使之与曲线 4 5 4 5 y 2lnx x 0相切时 切点到直线 y 2x的距离的平方即为 f x 的最小值 由 y 2 x 1 所以切点坐标为 2 1 0 f x min 成立 此时 a 的值为直线 y 2x 与 y x 1 的交点横坐标 所以 a 故选 A 2 5 2 4 5 1 2 1 5 答案 A 2015江西赣州高三摸底考试 导数与函数的最值 选择题 理 12 已知函数 f x a 3 x ax3在 1 1 上 的最小值为 3 则实数 a 的取值范围是 A 1 B 12 C 1 12 D 3 2 12 解析 当 a 0 时 f x 3x x 1 1 显然满足 故 a 0 满足题意 排除 A B 当 a 时 f x x3 x f x 3 2 3 2 9 2 9 2 x2 x2 1 9 2 9 2 所以 f x 在 1 1 上单调递减 所以 f x min f 1 3 满足条件 排除 C 故选 D 3 2 9 2 答案 D 3 3 导数的综合应用导数的综合应用 专题 2 利用导数研究函数的零点或方程 的根 2015河北石家庄二中一模 利用导数研究函数的零点或方程的根 解答题 理 21 已知关于 x 的函数 g x aln x a R f x x2 g x 2 1 试求函数 g x 的单调区间 2 若 f x 在 0 1 内有极值 试求 a 的取值范围 3 当 a 0时 若 f x 有唯一的零点 x0 试求 x0 注 x 为取整函数 表示不超过 x 的最大整数 如 0 3 0 2 6 2 1 4 2 以下数据供参考 ln 2 0 693 1 ln 3 1 990 ln 5 1 609 ln 7 1 946 解 1 由题意可知 g x 的定义域为 0 g x 2 2 2 2 若 a 0 则 g x 0 在 0 上恒成立 g x 在 0 上单调递减 若 a 0 则由 g x 0 得 x 当 x 时 g x 0 2 0 2 2 g x 在上单调递减 在上单调递增 0 2 2 2 f x x2 g x f x 的定义域也为 0 且 f x 2x 2 2 2 3 2 2 令 h x 2x3 ax 2 x 0 则 h x 6x2 a 当 a 0时 h x 0恒成立 h x 为 0 上的增函数 又 h 0 20 在 0 1 内 h x 至少存在一个变号零点 x0 且 x0也是 f x 的变号零点 此时 f x 在 0 1 内有极值 当 a 0 时 h x 2 x3 1 ax 0 在 0 1 上恒成立 即在 0 1 上 f x 0 由 2 及 f 1 3 知当 x 0 1 时 f x 0 x0 1 又由 及 式知 f x 在 1 上只有一个极小值点 记为 x1 且当 x 1 x1 时 f x 单调递减 当 x x1 时 f x 单调递增 则 x1即为 x0 0 0 0 0 2 0 2 0 ln 0 0 2 3 0 0 2 0 消去 a得 2lnx0 1 3 3 0 1 当 a 0时 令 t1 x 2lnx x 1 t2 x 1 x 1 3 3 1 则在 1 上 t1 x 为增函数 t2 x 为减函数 且 t1 2 2ln22 1 t2 3 7 5 10 7 3 26 2 x0 3 x0 2 2015江西九校高三联考 利用导数研究函数的零点或方程的根 解答题 理 21 已知函数 f x aln x 2x g x x2 2 a x 2 a ln x 其中 a R 1 判断 f x 的单调性 2 若 g x 在其定义域内为增函数 求正实数 a 的取值范围 3 若函数 F x f x g x 存在两个零点 m n 0 m0 a 0时 2x a 0 即 f x 0时 f x 在上单调递增 在上单调递减 0 2 2 2 g x x2 2 a x 2 a lnx x 0 g x 2x 2 a 2 2 2 2 2 若 g x 0 在 x 0上恒成立 则 2x2 2 a x 2 a 0 恒成立 a 6 2恒成立 1 1 1 而当 x 0 时 2 a 2 1 1 1 3 设 F x 在 x0 F x0 的切线平行于 x 轴 其中 F x 2lnx x2 ax 结合题意 有 2ln 2 0 2ln 2 0 2 0 2 0 2 0 0 得 2ln m n m n a m n a 2x0 由 得 a 2x0 2ln 2 0 ln 2 2 1 1 设 t 0 1 式变为 lnt 0 t 0 1 2 1 1 设 h t lnt t 0 1 2 1 1 h t 0 1 2 1 2 1 1 2 1 2 4 1 2 1 2 1 2 函数 h t lnt 在 0 1 上单调递增 2 1 1 因此 h t h 1 0 也就是 ln 此式与 矛盾 2 1 1 F x 在 x0 F x0 的切线不能平行于 x 轴 2015河北石家庄高三质检二 利用导数研究函数的零点或方程的根 选择题 理 11 已知函数 f x 的 定义域为 4a 3 3 2a2 a R 且 y f 2x 3 是偶函数 又 g x x3 ax2 存在 x0 k Z 使得 2 1 4 1 2 g x0 x0 则满足条件的实数 k 的个数为 A 3B 2C 4D 1 解析 利用偶函数求解 a的值 结合零点存在定理 导数等求解 由于函数 f x 的定义域为 4a 3 3 2a2 所以 4a 3 3 2a2 解得 3 a 1 又函数 y f 2x 3 是偶函数 所以 4a 3 2x 3 3 2a2 2a x0 当 x 时 h x 取得极小值 且 h 0 所以函数 2 10 6 2 10 6 2 10 6 2 10 6 h x 有三个零点 又 h 1 0 h 0 0 h 0 h 1 0 所以 k 1 0 1 即满足条件的实数 1 2 1 2 3 2 k有 3个 故选 A 答案 A 2015河北石家庄高三质检二 利用导数研究函数的零点或方程的根 解答题 理 21 已知 f x xln x 1 2 mx2 x m R 1 当 m 2时 求函数 f x 的所有零点 2 若 f x 有两个极值点 x1 x2 且 x1e2 e 为自然对数的底数 解 1 当 m 2 时 f x xlnx x2 x x lnx x 1 x 0 设 g x lnx x 1 x 0 则 g x 1 0 1 于是 g x 在 0 上为增函数 又 g 1 0 所以 g x 有唯一零点 x 1 从而函数 f x 有唯一零点 x 1 2 欲证 x1x2 e2 需证 lnx1 lnx2 2 若 f x 有两个极值点 x1 x2 即函数 f x 有两个零点 又 f x lnx mx 所以 x1 x2是方程 f x 0 的两个不同实根 于是有解得 m ln 1 1 0 ln 2 2 0 ln 1 ln 2 1 2 另一方面 由得 lnx2 lnx1 m x2 x1 ln 1 1 0 ln 2 2 0 从而可得 ln 2 ln 1 2 1 ln 1 ln 2 1 2 于是 lnx1 lnx2 ln 2 ln 1 2 1 2 1 1 2 1 ln 2 1 2 1 1 又 0 x11 2 1 因此 lnx1 lnx2 t 1 1 ln 1 要证 lnx1 lnx2 2 即证 2 t 1 1 ln 1 即证当 t 1 时 lnt 2 1 1 设函数 h t lnt t 1 2 1 1 则 h t 0 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 所以 h t 为 1 上的增函数 因为 h 1 0 因此 h t h 1 0 于是 当 t 1 时 有 lnt 2 1 1 所以 lnx1 lnx2 2成立 即 x1x2 e2 专题 3 利用导数解决不等式的有关 问题 2015河北衡水中学二模 利用导数解决不等式的有关问题 解答题 理 21 已知函数 f x ln 且 f x 在 x 处的切线方程为 y g x 1 1 2 1 求 y g x 的解析式 2 证明 当 x 0 时 恒有 f x g x 3 证明 若 ai 0 且ai 1 则 1 i n i n N 1 a1 1 a1 a2 1 a2 an 1 an n 2 1 n n 解 1 f x 2 1 1 1 2 2 1 3 f x 在 x 处的切线的斜率 k f 又 f ln 1 2 1 2 6 5 1 2 5 2 f x 在 x 处的切线方程为 y ln 即 y g x x ln 1 2 5 2 6 5 1 2 6 5 3 5 5 2 2 证明 令 t x f x g x lnx ln x 0 1 6 5 3 5 5 2 t x 2 1 3 6 5 6 3 5 2 6 5 5 3 1 2 6 2 8 10 5 3 当 0 x 时 t x 时 t x 0 t x min t 0 1 2 1 2 故 t x 0 即 ln x ln 1 6 5 3 5 5 2 3 证明 先求 f x 在点处的切线方程 1 ln 1 由 1 知 f 1 3 1 2 故 f x 在点处的切线方程为 y ln 1 ln 1 1 3 2 1 1 即 y x ln 3 1 2 1 2 1 2 1 再证 f x x ln 3 2 1 1 2 1 2 1 令 h x lnx ln x 0 1 3 2 1 1 2 1 2 1 h x 2 1 3 3 2 1 3 3 2 1 2 3 2 1 2 1 3 1 3 2 2 2 3 3 2 1 0 x 时 h x 时 h x 0 h x min h 0 1 1 f x x ln 3 2 1 1 2 1 2 1 ai 0 lnai ln 1 3 2 1 1 2 1 2 1 lnai nln nln 1 ai 1 ai n n3 n2 1 n i 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2015江西师大附中 鹰潭一中 宜春中学高三联考 利用导数研究函数的零点或方程的根 解答题 理 21 设函数 f x 1 ax ln x 1 bx 其中 a和 b 是实数 曲线 y f x 恒与 x 轴相切于坐标原点 1 求常数 b 的值 2 当 0 x 1 时 关于 x的不等式 f x 0 恒成立 求实数 a 的取值范围 3 求证 对于任意的正整数 n 不等式 e 恒成立 1 1 1 1 1 解 1 对 f x 求导得 f x aln 1 x b 1 1 根据条件知 f 0 0 所以 1 b 0 b 1 2 由 1 得 f x 1 ax ln 1 x x 0 x 1 f x aln 1 x 1 1 1 f x 1 1 1 1 2 2 1 1 2 当 a 时 由于 0 x 1 有 f x 0 1 2 2 1 1 2 于是 f x 在 0 1 上单调递增 从而 f x f 0 0 因此 f x 在 0 1 上单调递增 即 f x f 0 0 而且仅有 f 0 0 当 a 时 由于 0 x 1 有 f x 0 1 3 2 1 1 2 于是 f x 在 0 1 上单调递减 从而 f x f 0 0 因此 f x 在 0 1 上单调递减 即 f x f 0 0 而且仅有 f 0 0 当 a 时 令 m 1 2 1 3 2 1 当 0 x m 时 f 0 2 1 1 2 于是 f x 在 0 m 上单调递减 从而 f x f 0 0 因此 f x 在 0 m 上单调递减 即 f x f 0 0 而且仅有 f 0 0 综上可知 所求实数 a 的取值范围是 1 2 3 对要证明的不等式等价变形如下 对于任意的正整数 n 不等式 nln 1 n 1 ln恒成立 1 1 1 1 并且继续作如下等价变形 nln 1 n 1 ln lnln 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ln 1 1 1 0 对于 p 相当于 2 中 a 0 情形 有 f x 在 0 1 上单调递减 即 f x f 0 0而且仅有 f 0 0 取 x 得对于任意正整数 n 都有 ln0成立 1 1 1 1 1 1 因此对于任意正整数 n 不等式 e0 2 a 0 若 g x ax 1 求 a的取值范围 解 1 证明 令 p x f x ex x 1 则 p x ex 1 在 1 0 内 p x 0 p x 单调递增 所以 p x 的最小值为 p 0 0 即 f x 0 所以 f x 在 1 内单调递增 所以 f x f 1 0 2 令 h x g x ax 1 则 h x e x a 2 1 令 q x e x a 则 q x 2 1 1 e 2 1 2 由 1 得 q x 0 h x 单调递增 在 0 上 h x 1时 h 0 0 x 1 0 时 h x e x a 1 a 0 2 1 2 1 解得 x 1 0 1 1 即 x 时 h x 0 与 h x 0 恒成立矛盾 当 0 a0 x 0 时 h x e x a 1 a 0 2 1 2 1 解得 x 0 1 1 即 x 时 h x 0 h x 单调递增 0 1 1 又 h 0 0 所以此时 h x 0 与 h x 0 恒成立矛盾 综上所述 a 的取值为 1 2015江西南昌一模 利用导数研究函数的零点或方程的根 解答题 理 21 已知函数 f x ln 1 ax a 0 2 2 1 当 a 时 求 f x 的极值 1 2 2 若 a f x 存在两个极值点 x1 x2 试比较 f x1 f x2 与 f 0 的大小 1 2 1 3 求证 n n 2 n N e 1 2 解 1 f x ln 定义域 x 2 f x 1 1 2 2 2 1 1 2 0 2 0 1 2 4 2 2 2 2 2 函数在 2 2 上单调递减 在 2 上单调递增 故 f x 极小值 f 2 ln2 1 没有极大值 2 f x ln 1 ax x 2 2 1 f x 1 4 2 2 2 4 1 1 2 2 a a 1 a 1 2 1 0 1 4 1 2 1 ax2 4 1 a 0 x 2 1 f x1 f x2 ln 1 2 ln 1 2 1 1 4 1 2 1 2 4 1 2 1 2 f x1 f x2 ln 1 2a2 ln 1 2a 2 2 4 4 2 1 2 2 1 设 t 2a 1 当 a 时 t 0 1 1 2 1 设 f x1 f x2 g t lnt2 2 2 当 t 0 1 时 g t 2lnt 2 g t g 1 0 即 f x1 f x2 f 0 0恒成立 综上所述 f x1 f x2 f 0 3 证明 当 t 0 1 时 g t 2lnt 2 0 恒成立 2 即 lnt 1 0恒成立 1 设 t n 2 n N 即 ln n 1 0 1 1 n 1 lnn 1 ln2 2 ln3 3 ln4 n 1 lnn 1 2 3 n 1 ln2 ln3 ln4 lnn ln 2 3 4 n ln n ln n n n 2 n N 1 2 e 1 2 2015江西南昌二模 利用导数研究函数的零点或方程的根 解答题 理 21 已知函数 f x ln x x2 2ax 1 a为常数 1 讨论函数 f x 的单调性 2 若对任意的 a 1 都存在 x0 0 1 使得不等式 f x0 ln a m a a2 成立 求实数 m 的取值范围 2 解 1 f x 2x 2a x 0 记 g x 2x2 2ax 1 1 2 2 2 1 1 当 a 0 时 因为 x 0 所以 g x 1 0 函数 f x 在 0 上单调递增 2 当 0时 由 2 0 0 解得 x 2 2 2 2 2 2 所以函数 f x 在上单调递减 2 2 2 2 2 2 在上单调递增 0 2 2 2 2 2 2 2 由 1 知当 a 1 时 函数 f x 在 0 1 上单调递增 2 所以 x 0 1 时 函数 f x 的最大值是 f 1 2 2a 对任意的 a 1 都存在 x0 0 1 使得不等式 f x0 lna m a a2 成立 等价于对任意的 a 1 2 不等式 2 2a lna m a a2 都成立 2 即对任意的 a 1 不等式 lna ma2 m 2 a 2 0都成立 2 记 h a lna ma2 m 2 a 2 则 h 1 0 h a 2ma m 2 1 2 1 1 因为 a 1 所以 0 2 2 1 当 m 1 时 对任意 a 1 ma 1 0 2 所以 h a 0 即 h a 在 1 上单调递增 h a h 1 0 成立 2 当 m 1时 存在 a0 1 使得当 a 1 a0 时 ma 1 0 h a 0 h a 单调递减 从而 h a 0不能恒成立 2 综上 实数 m 的取值范围是 1 2015江西赣州高三摸底考试 利用导数研究函数的零点或方程的根 解答题 理 21 设函数 f x e e为自然对数的底数 曲线 y f x 在点 0 f 0 处的切线方程为 y x b 1 4 1 求 a b 的值 并求函数 y f x 的单调区间 2 设 x 0 求证 f x 1 2 8 2 4 解 1 因为 f x e 1 2 而 f 0 所以 解得 a 2 1 4 1 2 1 4 所以 f 0 因此 b 1 2 1 2 由 f x 知 e 1 2 2 当 x 1 时 f x 0 当 x 1 且 x 2 时 f x x 2 x2 4 1 1 2 因为 1 先证 ex x 2 x2 4 1 2 2 1 1 2 记 g x ex x 2 x2 4 ex x2 2x 2 2 1 1 2 g x ex 2x 2 记 u x ex 2x 2 则 u x ex 2 由此可知 u x 在 ln2 上单调递减 在 ln2 上单调递增 因为 u 1 u 2 0 u 1 u 0 0 故 g x 0 在 0 上只有一个零点 x1 1 x10 e 1 2 1 2 1 即 ex x 2 x2 4 又 1 2 1 1 2 2 1 所以 ex x 2 x2 4 x 2 x2