第3_4章综合练习题.pdf

1 第 3 4 章 综合练习题 第 3 4 章 综合练习题 一 填空题 一 填空题 1 设A与B相似 B与 1 1 2 相似 则A的特征值是 2 已知 2 1 1 A1 2 1 1 1 2 有二重特征值 1 则A的另一个特征值是 3 二元二次型 1 1212 2 x1 3 f x x xx 5 2x 的矩阵是 4 若矩阵A的一个特征值为 0 则A 5 二次型 222 1231231223 3524f x xxxxxx xx x 的矩阵A 6 设A为 3 阶矩阵 其特征值分别为 1 2 1 则A 2 A的特征值是 1 A 的特征值分别为 A的特征值分别为 7 已知矩阵 2 0 0 0 0 1 0 1 A x 与 2 0 0 00 0 01 By 相似 则x y 8 已知三阶矩阵 11 0 20 4 2 1 Ax 的特征值为 1 2 3 则x 9 300 020 001 A 的特征值为 2 A 的特征值为 10 用配方法把二次型 323121 2 3 2 2 2 1 62252xxxxxxxxx 化成标准形为 二 单项选择题 二 单项选择题 1 设 12 都是n阶矩阵A的属于不同特征值的特征向量 则 A 0 2 T 1 B 1 2 T 1 C 12 与线性相关与线性相关 D 12 与线性无关与线性无关 2 设n阶矩阵A与B相似 则 A A B rr B A 与 B 和同一个对角矩阵相似 C BEAE D A 与 B 的特征向量相同 3 设A为n阶可逆矩阵 与A有相同特征值的是 2 A 1 A B T A C A D 2 A 4 以下四个矩阵 正定的是 A 1 1 0 1 2 0 0 0 3 B 1 2 0 2 1 0 0 0 2 C 1 2 0 2 4 0 0 0 1 D 2 0 0 0 1 2 0 2 3 5 A与B都是n阶矩阵 且都可逆 则 A 必存在可逆n阶矩阵P 使BAPP 1 B 必存在可逆n阶矩阵C 使 T C ACB C 必存在可逆n阶矩阵P与Q 使BPAQ D A与B都与同一个对角矩阵相似 6 设 4 5 2 A5 7 3 6 9 4 则 A 的属于特征值0 0 的特征向量是 A A 1 1 1 2 T B B 2 1 2 3 T C C 3 1 0 1 T D D 4 1 1 1 T 7 二次型 21 2 3 2 2 2 1321 62 6 2 x x x fxxxxx 是 A 正定的 B 负定的 C 半正定的 D 半负定的 8 设A为n阶实对称阵 B为n阶可逆阵 Q为n阶正交阵 则以下与A有相同的特征值的是 A 1T B Q AQB B 11 T T BQ AQB C TT B Q AQB D TT BQ AQB 9 设矩阵A与B相似 则必有 A A B 都不可逆 B A B有相同的特征值 C A B均与同一个对角矩阵相似 D 矩阵EA 与EB 相等 10 设A是三阶矩阵 1 0 2 1 3 1 是A的三个特征值 对应的特征向量分别为 123 则使得 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 PAP 成立的P是 A 123 B 132 C 321 D 312 11 A与B是两个相似的n阶矩阵 则 A 存在非奇异矩阵P 使 1 P APB B 存在对角矩阵D 使A与B都相似与D C 0AB D EAEB 12 如果 则矩阵A与B相似 A AB B r Ar B C A与B有相同的特征多项式 D n阶矩阵A与B有相同的特征值 且n个特征值各不相同 3 13 A是n阶正定矩阵的充分必要条件是 A 0A B 存在n阶矩阵C 使 T AC C C 负惯性指数为零 D 各阶顺序主子式均为正数 14 若A为设n阶矩阵 则下列结论正确的是 A A的任n个特征向量线性无关 B A的属于不同特征值的特征向量线性无关 C A的属于不同特征值的特征向量正交 D A的任n个特征向量线性相关 15 若n阶方阵A与B的特征值完全相同 且A与B都有n个线性无关的特征向量 则 A AB B AB 但0AB C A相似于B D A与B不一定相似 但AB 16 设矩阵 ab A ba 其中0ab 22 1ab 则A为 A 正定矩阵 B 初等矩阵 C 正交矩阵 D 以上都不对 17 设三阶方阵 A 的特征值分别为 1 0 2 则下列结论正确的是 A A 可逆 B A 可对角化 C A 正定 D A 为正交矩阵 18 下列关于相似矩阵论述哪个是不正确的 A 相似矩阵有相同的特征值 B 相似矩阵行列式的值相等 C 相似矩阵的秩相等 D 相似矩阵的特征向量相同 19 设方阵 A 可逆 则下列结论正确的是 A A 的特征值都大于零 B A 的特征值都小于零 C A 的特征值不全为零 D A 的特征值都不为零 20 下列关于 n 阶方阵 A 可对角化的论断 不正确的结论是 A A 有 n 个不同的特征值则 A 可对角化 B A 有 n 个线性无关的特征向量 则 A 可对角化 C A 为实对称矩阵 则 A 可对角化 D A 的特征值都不为零 则 A 可对角化 三 完成以下各题 三 完成以下各题 1 设A B都是n阶矩阵 证明 如果A与B相似 那么BAT 2 若方阵 2 AA 则称A为幂等矩阵 证明 幂等矩阵的特征值只能是 0 和 1 3 已知 3 阶矩阵A的特征值为 1 1 2 又矩阵 32 5BAA 求 1 B 2 5AE 4 设A为n阶实对称矩阵 且 2 AO 证明AO 5 设A为实对称矩阵 证明 A是正定矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵V 使得 T AV V 4 6 设二次型的矩阵为 11 12 125 t At t値为何时 A是正定的 7 证明 如果n阶矩阵A B 是正定矩阵 那么A B 也是正定矩阵 四 化二次型为标准型 四 化二次型为标准型 1 设矩阵 310 130 004 A 求一个正交阵Q 使 1 Q AQ 为对角阵 2 用配方法把二次型 3221 2 3 2 2 2 1 4242xxxxxxx 化成标准形 写出所作的可逆线性替换 3 设二次型 22 1232312 344f x x xxxx x 求 1 写出此二次型的矩阵A 2 求一个正交矩阵P 使此二次型经正交线性变换xPy 化为标准型 3 其秩和正惯性指数为多少 4 判定该二次型的正定性 4 已知二次型 22 12323121 323 43448f x x xxxx xx xx x 1 写出此二次型f的矩阵表达式矩阵表达式 2 用正交变换把此二次型f化为标准型 并写出相应的正交矩阵 3 其秩和正惯性指数为多少 4 判断该二次型f是否为正定二次型 综合练习题参考答案 综合练习题参考答案 一 填空题 一 填空题 1 1 1 2 2 4 3 1 4 4 2 4 0 5 3 1 0 1 1 2 0 2 5 6 2 1 4 1 1 1 2 1 2 1 2 7 x 0 y 1 8 x 4 9 1 2 3 1 4 9 10 2 2 2 1 yy 二 单项选择题 二 单项选择题 1 D 2 A 3 B 4 A 5 C 6 B 7 B 8 A 9 B 10 D 11 A 12 D 13 D 14 B 15 C 16 C 17 B 18 D 19 D 20 D 5 三 完成以下各题 三 完成以下各题 1 证明 A 与 B 相似 存在 n 阶可逆矩阵 P 使 1 1 1T APBBAPA PAA PPP 2 证明 设 为A的特征值 是A的属于 的一个特征向量 则A 在此式两边同乘以A 得到 22 AA AAA 因A是幂等矩阵 故 2 AA 从而 2 即 2 10 因为 是特征向量 有0 故 10 即幂等矩阵的特征值只能是 0 和 1 3 解 因为A的特征值为 1 1 2 因此 32 5BAA 的特征值分别为 4 6 12 5 AE的特征值分别 4 6 3 所以 4612288B 546372 AE 4 证明 设 是A的任一个特征值 x是A的一个属于 的特征向量 则 Axx 22 A xx 2 0A 2 0 x 0 A 是实对称矩阵 存在可逆矩阵P 使 1 12 n P APdiag 而 i 都是A的特征值 0 i 1 0P AP 0A 5 证明 A是正定矩阵 A与E合同 存在可逆矩阵V 使得 TT AV EVV V 6 解 矩阵 A 正定的充要条件为 1 0 1 1 t t 2 1t 0 A tt45 2 0 解得 0 5 4 t 7 证明 证明 由于 A B 是正定矩阵 故 A 及 B 为实对称矩阵 从而 A B 也为实对称矩阵 而且 T fx Ax T gx Bx 为正定二次型 于是对不全为零的实数 12 T n xxxx 有 T 0 x Ax T 0 x Bx 故 h T xAB x T x Ax T 0 x Bx 即二次型 h T xAB x 为正定的 故 A B 为正定矩阵 四 化二次型为标准型 四 化二次型为标准型 1 解 A 的特征方程为 det AE 400 031 013 2 4 2 0 由此得到 A 的特征值 12 4 3 2 6 对于 3 2 解齐次线性方程组 2 0EA x 解得它的一个基础解系为 T 3 0 1 1 对于 12 4 解齐次线性方程组 4 0EA x 得它的一个基础解系为 T 1 1 0 0 T 2 0 1 1 因为 321 两两正交 只须将其单位化 令 T 11 1 1 1 0 0 e T 22 2 111 0 22 e T 33 3 111 0 22 e 所以 Q 123 e e e 100 11 0 22 11 0 22 T Q AQ 4 4 2 diag 400 040 002 2 解 222 1231223 2424fxxxx xx x 2222 11222233 2 44 xx xxxx xx 22 1223 2 xxxx 令 112 223 33 2 yxx yxx yx 即 1123 223 33 2 2 xyyy xyy xy 作的可逆线性替换 xCy 其中 11 2 0 12 0 01 C 可逆 原 二次型化为标准形 22 12 fyy 3 解 1 二次型的矩阵 020 230 004 A 2 A 的特征多项式为 2 20 230 4 1 004 EA 得特征值 12 4 3 1 对 12 4 解齐次线性方程组 4 0 EA x 即 420 2100 000 x 得基础解系 1 1 2 0 T 2 1 2 1 T 正交化 11 1 2 0 T 21 221 11 0 0 1 T T T 再单位化 1 1 1 1 1 2 0 5 T r 2 2 2 0 0 1 T r 7 对 3 1 解齐次线性方程组 0 EA x 即 120 2400 005 x 得基础解系 3 2 1 0 T 再单 位化 3 3 3 1 2 1 0 5 T r 令 123 12 0 55 21 0 55 010 P 则 P 为正交矩阵 且 4 4 1 T P APdiag 作正交替换xPy 原二次型化为标准形 222 123123 44 fx x xyyy 3 二次型的秩为 3 正惯性指数为 2 4 由标准形 知 123 fx x x 二次型非正定 不定 4 解 1 矩阵表达式 123 T f x xxx Ax 其中 123 022 244 243 Xx xxA T 2 A 特征多项式 22 244 1 6 6 243 EA 得特征值 1 1 2 6 3 6 当 1 1 时 解齐次线性方程组 0EA x 即 122 2340 244 x 得基础解系 1 2 0 1 当 2 6 时 解齐次线性方程组 6 0EA x 即 622 2240