小学奥数36个经典（11-12）.doc

第11讲 立体图形 各种涉及长方体、立方体、圆柱、圆锥等立体图形表面积与体积的计算问题，解题时考虑沿某个方向的投影常能发挥明显的作用.较为复杂的是与剪切、拼接、染色等相关联的立体几何问题.第六届：“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛第12 题（略有改动） 1用棱长是1厘米的立方块拼成如图11-1所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?【分析与解】显然，图11-1的图形朝上的面与朝下的面的面积相等，都等于33=9个小正方形的面积，朝左的面和朝右的面的面积也相等，等于7个小正方形的面积；朝前的面和朝后的面的面积也相等，都等于7个小正方形的面积，因此，该图形的表面积等于(9+7+7)2=46个小正方形的面积，而每个小正方形面积为l平方厘米，所以该图形表面积是46平方厘米 2如图11-2，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2的长方体，那么它的表面积减少了百分之几?【分析与解】 原来正方体的表面积为5 56=150 现在立体图形的表面积截了两个面向我们的侧面，它们的面积为(32)2=12，12150=0.08=8即表面积减少了百分之八 3如图11-3，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?【分析与解】 我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积 现在一共切了(3-1)+(4-1)+(5-1)=9刀，而原正方体一个面的面积1l=1(平方米)，所以表面积增加了921=18(平方米)原来正方体的表面积为61=6(平方米)，所以现在的这些小长方体的表积之和为6+18=24(平方米)4图11-4中是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具它的表面积是多少平方厘米?【分析与解】原正方体的表面积是446=96(平方厘米)每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分总的来看，每一个面都增加了4个边长是1厘米的正方形 从而，它的表面积是96+46=120平方厘米 5图11-5是一个边长为2厘米的正方体在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体小间；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，边长为厘米那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米? 【分析与解】 因为每挖一次，都在原来的基础上，少了1个面，多出了5个面，即增加了4个面 所以，最后得到的立体图形的表面积是：226+1l4+4+4=29.25(平方厘米)6有大、中、小3个正方形水池，它们的内边长分别是6米、3米、2米把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4米如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米【分析与解】 放在中水池里的碎石的体积为330.06：0.54立方米； 放在小水池里的碎石的体积为220.04=0.16立方米； 则两堆碎石的体积和为0.54+0.16=0.7立方米，现在放到底面积为66=36平方米的大水池中，则使大水池的水面升高0.736=米=厘米=厘米 7如图11-6，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2米的正方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器这个容器的体积是多少立方厘米?【分析与解】 容器的底面积是(13-4)(9-4)=45(平方厘米)，高为2 厘米，所以容器得体积为：452=90(立方厘米) 8今有一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体问剩下的体积是多少立方厘米?【分析与解】 本题首先要确定三次切下的正方体的棱长，因为21：15：12=7：5：4，为了叙述方便，我们先考虑长、宽、高分别为7厘米、5厘米、4厘米的长方体. 易知第一次切下的正方体的棱长应为4厘米，第二次切下的正方体棱长为3厘米时符合要求，第三次切下的正方体的棱长为2厘米时符合要求于是，在长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体中，第一、二、三次切下的正方体的棱长为12厘米、9厘米、6厘米 所以剩下的体积应为：211512-()=1107(立方厘米) 9如图11-7，有一个圆柱和一个圆锥，它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米那么，圆锥体积与圆柱体积的比是多少?【分析与解】 圆锥的体积是，圆柱的体积是所以，圆锥体积与圆柱体积的比是. 10张大爷去年用长2米、宽1米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤今年改用长3米宽2米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形的粮囤问：今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍?【分析与解】底面周长是3，半径是，所以今年粮囤底面积是，高是2 同理，去年粮囤底面积是，高是1因此，今年粮囤容积是去年粮囤容积的4.5倍 11一个盛有水的圆柱形容器底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米今将一个底面半径为2厘米，高为18厘米的铁圆柱垂直放人容器中求这时容器的水深是多少厘米?【分析与解】若铁圆柱体能完全浸入水中，则水深与容积底面积的乘积应等于原有水的体积与圆柱体在水中体积之和，因而水深为：（厘米）；它比铁圆柱体的高度要小，那么铁圆柱体没有完全浸入水中此时容器与铁圆柱组成一个类似于下图的立体图形 底面积为，水的体积保持不变为 所以有水深为(厘米)，小于容器的高度20厘米，显然水没有溢出于是厘米即为所求的水深 12如图ll-8，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体问这个物体的表面积是多少平方米?(取314)【分析与解】 物体的表面积恰好等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积，即 即这个物体的表面积是32.97平方米 13某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织条如图11-9所示在三个方向上加固所用尼龙编织条的长分别为365厘米、405厘米、485厘米若每个尼龙条加固时接头处都重叠5厘米，则这个长方体包装箱的体积是多少立方米?【分析与解】 长方体中，高+宽=+(365-5)=180，高+长=(405-5)=200，长+宽=(485-5)=240，-得 长-宽=20，+得 长=130，则宽=110，代入得高=70，所以长方体得体积为：7011030=1001000(立方厘米)=1.001(立方米)14有甲、乙、丙3种大小不同的正方体木块，其中甲的棱长是乙的棱长的，乙的棱长是丙的棱长的如果用甲、乙、丙3种木块拼成一个体积尽可能小的大正体，每种至少用一块，那么最少需要这3种木块一共多少块?【分析与解】设甲的棱长为1，则乙的棱长为2，丙的棱长为3显然，大正方体棱长不可能是4，否则无法放下乙和丙各一个 于是，大正方体的棱长至少是5事实上，用甲、乙、丙三种木块可以拼成棱长为5的大正方体，其中丙种木块只能用1块；乙种木块至多用7块(使总的块数尽可能少)；甲种木块需用：555-1333-7222=42(块)因此，用甲、乙、丙三种木块拼成体积最小的大正方体，至少需要这三种木块一共1+7+42=50(块)15有6个相同的棱长分别是3厘米、4厘米、5厘米的长方体，把它们的某划面染上红色，使得有的长方体只有1个面是红色的，有的长方体恰有2个面是红色的，有的长方体恰有3个面是红色的，有的长方体恰有4个面是红色的，有的长方体恰有5个面是红色的，还有一个长方体6个面都是红色的，染色后把所有长；方体分割成棱长为1厘米的小正方体分割完毕后，恰有一面是红色的小正方体；最多有多少个? 【分析与解】一面染红的长方体，显然应将45的长方体染红，这时产生20个一面染成红色的小正方体，个数最多 二面染红的长方体，显然应将两个45的长方体染红，这时产生40个一面染成红色的小正方体，个数最多 三面染红的长方体，显然应将45，45，43的面染红，于是产生4(5+5+3-4)=36个一面染成红色的小正方体，其他方法得出的一面染成红色的正方体均少于36个 四面染红的长方体，显然应将45，45，43，43的面染红，产生4(5+5+3+3-24)=32个一面染成红色的正方体，其他方法得到的一面染成红色的小正方体均少于32个 五面染红的长方体，应只留一个35的面不染，这时就产生(3-2)(5-2)+(4-1)(5+5+3+3-24)=27个一面染成红色的小正方体，其他染法得到的一面染成红色的小正方体均少于27 六面染红的长方体，产生2(3-2)(5-2)+(5-2)(4-2)+(4-2)(3-2)=22个一面染成红色的小正方体 于是最多得到：22+27+32+36+40+20=177个一面染成红色的小正方体第12讲 几何综合（一）几何图形的设计与构造涉及比例与整数分解，需要添加辅助线、寻找规律或利用对称性解的较为复杂的直线形和圆的周长与面积计算问题 1今有9盆花要在平地上摆成9行，其中每盆花都有3行通过，而且每行都通过3盆花请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行.【分析与解】 如下图所示，我们给出四种不同的排法 2已知如图12-1，一个六边形的6个内角都是120，其连续四边的长依次是1、9、9、5厘米求这个六边形的周长 【分析与解】 如下图所示，将六边形的六条边分别延长，相交至三点，并将其标上字母， 因为BAF=120，而么IAF=180-BAF=60又EFA=120，而IFA=180-EFA：60，则IAF为等边三角形 同理BCG、EHD、IGH均为等边三角形 在IAF中，有IA=IF=AF=9(厘米)， 在BGC中，有BG=GC=BC=1(厘米)，有IA+AB+BG=IG=9+9+1=19，即为大正三角形的边长，所以有IG=IH=GH=19(厘米) 则EH=IH-IF-FE=19-9-5=5(厘米)，在EDH中，DH=EH=5(厘米)，所以CD=GH-GC-DH=19-1-5=13(厘米)于是，原图中六边形的周长为1+9+9+5+5+13=42(厘米)3图12-2中共有16条线段，每两条相邻的线段都是互相垂直的为了计算出这个图形的周长，最少要量出多少条线段的长度?【分析与解】 如下图所示，我们想像某只昆虫绕图形爬行一周，回到原出发点，那么往右的路程等于往左的路程，往上的路程等于往下的路程于是只用量出往右的路程，往下的路程，再将它们的和乘以2即为所求的周长所以，最少的量出下列6段即可 4将图12-3中的三角形纸片沿虚线折叠得到图12-4，其中的粗实线图形面积与原三角形面积之比为2：3已知图12-4中3个画阴影的三角形面积之和为1，那么重叠部分的面积为多少? 【分析与解】设重叠部分的面积为x，则原三角形面积为1+2x，粗实线的面棚为1+x.因此(1+2x)：(1+x)=3：2，解得x=1，即重叠部分面积为1 5如图12-5，涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米问：大正六角星形的面积是多少平方厘米?【分析与解】 如下图所示，在正六边形ABCDEF中,与面积相等，12个组成小正六角星形，那么由6个及12个组成的正六边形的面积为1612(12+6)=24(平方厘米)而通过下图，我们知道，正六边形ABCDEF可以分成6个小正三角形，并且它们面积相等，且与六个角的面积相等，所以大正六角星形的积为24612=48(平方厘米) 6如图12-6所示，在三角形ABC中，DC=3BD，DE=EA若三角形ABC的面积是1则阴影部分的面积是多少? 【分析与解】 ABC、ADC同高，所以底的比等于面积比，那么有而E为AD中点，所以连接FD，DFE、FAE面积相等，设则的面积也为x，而，解得.所以，阴影部分面积为7如图12-7，P是三角形ABC内一点，DE平行于AB，FG平行于BC，HI平行于CA，四边形AIPD的面积是12，四边形PGCH的面积是15，四边形BEPF的面积是20那么三角形ABC的面积是多少?【分析与解】 有平行四边形AIPD与平行四边形PGCH的面积比为IP与PH的比，即为12：15=4：5 同理有FP:PG=20:15=4:3， DP:PE=12:20=3:5如图12-7(a)，连接PC、HD，有PHC的面积为DPH与PHC同底PH，同高，所以面积相等，即，而DPH与EPH的高相等，所以底的比即为面积的比，有，所以如图12-7(b)所示，连接FH、BP，如图12-7(c)所示，连接FD、AP， 有 8如图12-8，长方形的面积是小于100的整数，它的内部有三个边长是整数的正方形，号正方形的边长是长方形长的，号正方形的边长是长方形宽的那么，图中阴影部分的面积是多少?【分析与解】 有号正方形的边长为长方形长的，则图中未标号的正方形的边长为长方形长的. 而号正方形的边长为宽的，所以未标号的正方形的边长为长方形宽的. 所以在长方形中有：长=宽，则长：宽=12：8，不妨设长的为12k，宽为8k，则号正方形的边长为5k，又是整数，所以k为整数，有长方形的面积为96,不大于100所以k只能为1，即长方形的长为12，宽为8 于是，图中号正方形的边长为5，号正方形的边长为1，则未标号的正方形的边长为7，所以剩余的阴影部分的面积为： 9如图12-9，三个一样大小的正方形放在一个长方形的盒内，A和B是两个正方形重叠部分，C，D，E是空出的部分，这些部分都是长方形，它们的面积比是A：B：C：D：E=1：2：3：4：5那么这个长方形的长与宽之比是多少?【分析与解】 以下用表示E部分横向的长度，竖表示E部分竖向的长度，其他下标意义类似有：=5：4，：=l：2而+=+，所以有：=5：4：1：2而+=+对应为5+1=6，那么对应为3而A面积：B面积：C面积=1：2：3，所以=有+竖对应为6，所以=对应为3那么长方形的竖边为6+对应为9，长方形横边为+6+对应为5+6+4=15所以长方形的长与宽的比为15：9=5：3 10如图12-10，红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方形盒内，它们之间互相叠合已知露在外面的部分中，红色的面积是20，黄色的面积是14，绿色的面积是lO那么，正方形盒子的底面积是多少?【分析与解】 如下图所示，我们将黄色的正方形纸片向左推向纸盒的过缘，有露在外面的部分，黄色减少的面积等于绿色增加的面积，也就是说黄色、绿色部分露在外面部分的面积和不变 并且有变化后，黄色露出面积+红色部分面积，绿色露出面积+红色部分面积，都是小正方形纸片边长乘以大正方形盒子边长的积 所以，黄色露出面积+红色部分面积=绿色露出面积+红色部分面积，于是黄色露出面积=绿色露出面积，而它们的和为14+10=24，即黄色露出面积=绿色露出面积=12 有黄：空白=红：绿，12：空白=20：12，解得空白=7.2，所以整个正方形纸盒的底面积为12+7.2+20+12=51.2 11如图12-11，在长260厘米，宽150厘米的台球桌上，有6个球袋A，B，C，D，E，F，其中AB=EF=130厘米现在从4处沿45方向打出一球，碰到桌边后又沿45方向弹出，当再碰到桌边时，仍沿45方向弹出，如此继续下去假如球可以一直运动，直至落入某个球袋中为止，那么它将落人哪个袋中? 【分析与解】 将每个点的位置用一组数来表示，前一个数是这个点到FA的距离，后一个数是点到FD的距离，于是A的位置为(0，150)，球经过的路线为： (0,150)(150,0) (260,110) (220，150) (70，0) (0，70) (80，150) (230,0) (260，30) (140，150) (0，10) (10，0) (160，150) (260，50) (210,0) (60，150) (0，90) (90，0) (240，150) (260，130) (130，0) 因此，该球最后落入E袋 12长方形ABCD是一个弹子盘，四角有洞弹子从A出发，路线与边成45度角，