河南省十所示范性高中联考高二数学试题 理（含解析）新人教A版.doc

2015届河南省十所示范性高中联考高二下数学理卷【试卷综析】本试卷是高二期中考试卷，但是命题模式与高考一致，考查了高考考纲上的诸多热点问题，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生基本数学素养的考查。知识考查注重基础、注重常规，也有综合性较强的问题，选做部分又充分考虑了不同学生的差异，体现了学生学习的自主性要求。试题重点考查：函数、三角函数、数列、立体几何、概率、解析几何、不等式等，涉及到的基本数学思想有数形结合、函数与方程、转化与化归、分类讨论等，试题题目新颖，难度非常适合初次接触高考的高二学生使用。 本试卷试题分试题卷和答题卡两部分，试题卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题），共4页；答题卡共6页，满分为150，考试时间为120分钟。考生作答时，请按要求把答案涂、写在答题卡规定的范围内，超出答题框或在试题卷上的答案无效。考试结束只收答题卡。第卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）（1）满足，且的集合的个数是（a）1 （b）2 （c）3 （d）4【知识点】子集；几何的运算【答案解析】b 解析：由，知，又所以满足题意的有：，共两个，故选：b【思路点拨】先根据已知确定几何m中的元素，进而用列举法确定满足条件的m的个数。(2) 若复数为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（a） -2 （b） 4 （c） 6 （d）-6【知识点】复数的分类；复数的除法运算【答案解析】d 解析：，若复数是纯虚数，则，所以，故选d【思路点拨】根据复数的除法运算把复数化成一般形式，再根据纯虚数的定义计算出的值即可。（3）已知平面向量且，则实数的值为（a） （b） （c） （d）【知识点】向量的坐标运算；向量垂直的充要条件【答案解析】c 解析：，由，得即，解得，故选：c【思路点拨】运用向量的坐标运算求出的坐标，再根据的充要条件列出关于的方程，解方程即得答案。（4）已知，则（a） （b） （c） （d）【知识点】三角函数的诱导公式；同角三角函数的基本关系式【答案解析】d 解析：由诱导公式得：，因为所以，则，所以，故选：d【思路点拨】由诱导公式可先将已知条件化简，得到的值，再依据得到的值，再把化简即得到答案。（5）下列各命题正确的命题是“若都是奇数，则是偶数”的逆否命题是“若不是偶数，则都不是奇数”；“，”的否定是“”；在中，,则的面积为6；“函数在上是增函数”的充要条件是“”。（a） （b） （c） （d）【知识点】命题；命题的否定；命题真假的判断【答案解析】a 解析：错误，“都是”的否定应该是“不都是”，而不是“都不是”；正确，特称命题的否定是全称命题；正确，由得，则 错误，由题意可知：恒成立，得解得：故选：a【思路点拨】记清原词语的否定词语和含有量词的命题的否定形式是判断这类命题真假的关键，利用三角形的面积公式即可判断出真假，把函数的单调性转化成导数的正负，结合二次函数的相关知识即可解决。（6）若是2和8的等比中项，则圆锥曲线的离心率是（a） （b） （c）或 （d）或【知识点】等比中项；离心率【答案解析】c 解析：是2和8的等比中项，当时，表示焦点在y轴上的椭圆，离心率；当时，表示焦点在x轴上的双曲线，离心率，故选：c【思路点拨】由等比中项的定义可求出的值，因为值有两个，所以要分类讨论，根据取值的不同对应的曲线形状不同，分别带入各自的离心率公式里计算即可。（7）某几何体的三视图如图，它的表面积为 （a） （b） （c） （d）【知识点】由三视图求面积、体积【答案解析】b 由三视图知几何体是一个四棱锥，一条侧棱与底面垂直且侧棱的长度是2，底面是一个边长为1的正方形，四棱锥包括5个面，其中有一个正方形，4个侧面分别是两对全等的直角三角形，正方形的面积是11=1，与底面垂直的侧面的两个三角形的面积和是另外两个面也是两个全等的直角三角形，两条直角边长分别是1和，面积和是，所以四棱锥的表面积是，故选：b【思路点拨】由三视图知几何体是一个四棱锥，一条侧棱与底面垂直且侧棱的长度是2，底面是一个边长为1的正方形，不与底面垂直的两个侧面也是两个全等的直角三角形，两条直角边长分别是1和，求出各个图形的面积，加总得到结果。（8）设不等式表示的平面区域为d，若圆经过区域d上的点，则的取值范围是（a） （b） （c） （d）【知识点】线性规划【答案解析】d 由图可知：当半径r满足时，圆c经过区域d上的点，而，所以当时，圆c经过区域d上的点，故选：d【思路点拨】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的mnp及其内部，而圆c表示以（-1，-1）为圆心且半径为r的圆观察图形，可得半径rcm或rcp时，圆c不经过区域d上的点，由此结合平面内两点之间的距离公式，即可得到r的取值范围。(9)阅读如图所示的程序框图，若 输出的s是126，则处应填（a）？ （b）？ （c）？ （d）？ 【知识点】含循环结构的程序框图【答案解析】b 解析：第一次循环，进入下一次循环；第二次循环，进入下一次循环；第三次循环，进入下一次循环；第四次循环，进入下一次循环；第五次循环，进入下一次循环；第六次循环，循环结束，即判断框中的条件不成立了，所以框中的条件应该是，故选：b【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出变量s的值，要确定进行循环的条件，可模拟程序的运行，对每次循环中各变量的值进行分析，不难得到题目要求的结果（10）已知等差数列的前项和为，又知且，则为（a） 33 （b）46 （c）48 （d）50【知识点】定积分的计算；等差数列前n项和的性质【答案解析】c 解析：，即，由等差数列的前n项和性质知：成等差数列，所以,所以，故选：c【思路点拨】由微积分基本定理结合定积分的性质和已知，可以计算出的值，再利用等差数列前n项和的性质逐步求出最后结果，要记清前n项和的性质，不要出现“成等差数列”这样的错误。（11）已知三棱锥内接于球，,，则球的表面积为（a） (b) (c) (d)【知识点】球内接多面体；球的表面积和体积【答案解析】a 解析：因为三棱锥内接于球，所以点a在平面bcd内的投影是的外接圆的圆心，设此点为，则球心在直线上，由bcd60，根据正弦定理得：圆的直径，所以，连接，则，所以，设球的半径为r，则 ,由,得：，所以球的表面积为，故：a【思路点拨】根据题中所给条件，找到球心的位置是解题的关键。事实上，由已知，可得球心在过a点的与的外接圆的圆心的直线上，再根据球心到三棱锥的四个距离相等，列出有关球的半径的方程，解出半径，代入球的表面积公式中就可求得球的表面积。（12）已知函数的图像分别与直线交于两点，则的最小值为（a） 2 （b） （c） 2+ （d）【知识点】用导数求最值【答案解析】c 由题意，且，令，则，令，则，当时，当时，在上单调递减，在上单调递增，时，故选：c【思路点拨】由题意，解出点a,b的坐标，表示出，构造函数，用导数确定函数的单调性，求出极值点，即可求出的最大值。第卷（非选择题，共90分）填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分） （13）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法有_种。（用数字做答）【知识点】有限制条件的排列问题【答案解析】36 解析：甲、乙二人不能担任文娱委员，先从除甲乙之外的其余3人中选出1人担任文娱委员，再从剩下4人中选2人担任学习委员和体育委员，不同的选法共有=343=36种,故答案为：36【思路点拨】由题意知本题是一个有约束条件的排列组合问题，先从除甲与乙之外的其余3人中选出1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，写出即可。（14）、已知，若向区域上随机投一点p，则点p落入区域a的概率是_。【知识点】【答案解析】 解析：，作出对应的平面区域，得到如图的rtobc，其中b（6，0），c（0，6）又作出a对应的平面区域，得到曲线下方、直线x=4左边，x轴上方的平面区域，其面积为， rtobc的面积为s=， 向区域上随机投一点p，则点p落入区域a的概率是 故答案为：【思路点拨】作出对应的平面区域，得到rtobc，而a表示的平面区域是在区域内部，位于曲线下方、直线x=4左边且在x轴上方的平面区域利用定积分公式算出a对应的平面区域的面积s1,再计算出rtobc的面积s，结合几何概型计算公式即可算出所求的概率。（15）我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点，且法向量为的直线方程为，化简得，类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为_.【知识点】归纳推理；向量的垂直关系【答案解析】 解析：根据法向量的定义，若为平面的法向量，则，任取平面内一点p（x，y，z），则=（1-x，2-y，3-z），（x-1）+2（y-2）+（3-z）=0,即：,故答案为：【思路点拨】类比求曲线方程的方法，我们可以用坐标法，求空间坐标系中平面的方程任取平面内一点p，根据法向量的定义，将点a，p的坐标代入数量积中并化简即可得平面方程。(16)、设函数，若不相等的实数满足，则的取值范围是_.【知识点】函数的零点；分段函数；韦达定理【答案解析】 解析：做出函数的图像，结合二次函数的性质可知，中必然有两个关于的对称轴x=3对称，不妨设为x2和x3，由韦达定理得：，而一定在3x+4上，所以0又抛物线开口向上，最小值为f(3)=-3，即，即，故答案为：【思路点拨】做出函数的图像，结合二次函数的性质，用数形结合的思想方法，可以得出这个结论，问题就转化为分析的范围，还是由图可知，一定大于二次函数的最小值，否则就不会有不相等的实数，满足，进而列出有关不等式，解出的范围，加6就是的范围。三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（17）（本小题满分12分） 在中，角的对边分别为，若，且，（）求的值；（）若，求的面积。【知识点】三角恒等变换；解三角形；三角形面积公式【答案解析】解：（）， （）由（1）可得在中，由正弦定理， 所以 的面积为【思路点拨】（1）根据同角三角函数的基本关系利用求得的值，将角看做，用两角差的余弦公式展开，带入数据计算即可。由正弦定理解出的值，再代入三角形面积公式即可。(18) （本小题满分12分）已知数列是等差数列，且满足：，；数列满足：（）求和；（）记数列，若的前项和为，求。【知识点】等差数列的通项公式；迭加法求通项公式；数列求和【答案解析】解：（）在等差数列中， ； 又，当时， 又适合上式， （）， 【思路点拨】（1）由已知条件可列出有关数列的首项和公差的方程组，解方程得出具体值，代入等差数列的通项公式中就可求出，而则可用迭加法，结合等差数列的前项和公式求得。将（1）中的结果代入中，化简，根据的通项公式的特点，可以把任何一项裂成两项，用裂项相消法即可求得数列的前项和。（19）（本小题满分12分）aa1bcdb1c1 已知直三棱柱中，,点d在ab上，（i）若d是ab的中点，求证：/平面；（）当时，求二面角的余弦值。【知识点】线面平行的判定；求二面角【答案解析】解：（）证明：连接，交于，则是的中点，aa1bcdb1c1连接是中点，为的中位线， 平面，平面， 平面（） ，所以如图，以为原点建立空间直角坐标系则，设，点在线段上，且，即所以，平面bcd的一个法向量为：设平面b1 cd的法向量为，由 ， 得 ， 所以，设二面角的大小为， 所以二面角的余弦值为【思路点拨】(1)要证明直线和平面平行，可优先考虑线面平行的判定定理，即证明直线和平面内的某条线平行，注意到已知条件中有中点的相关信息，故可尝试用中位线定理证明两条线平行。由已知条件可建立恰当的坐标系，用向量法求二面角的大小，即求出两个平面的法向量，利用法向量夹角的余弦值求二面角的余弦值。(本小题满分12分）已知直线：和直线，若抛物线上的点到直线和直线的距离之和的最小值为2.（i）求抛物线的方程；（）直线过抛物线的焦点与抛物线交于两点，且都垂直于直线，垂足为,直线与轴的交点为，求证：为定值。【知识点】抛物线的定义、性质、标准方程；直线和圆锥曲线的综合问题【答案解析】解：（i） 为抛物线的准线，焦点为，由抛物线的定义知，抛物线上的点到直线的距离等于其到焦点的距离，抛物线上的点到直线的距离与到焦点的距离之和的最小值为焦点到直线的距离，所以，所以抛物线的方程为 （）设，设:，联立，得所以，因为，点到直线的距离所以，又 即为定值4.【思路点拨】（i）利用抛物线的定义，可以把到准线的距离转化为到焦点的距离，进而列出有关的方程，解出的值，即可解出抛物线的方程；（ii）处理直线和圆锥曲线的相交关系时，一般采用“设而不求”的思想，设出点的坐标，将直线与抛物线方程联立方程组，消去后利用韦达定理分别表示出的面积，代入计算并化简即可得结果。（本小题满分12分） 已知函数，其中为常数。（i）当时，求函数的极值；（ii）当时，证明：对任意的正偶数，当时，有。【知识点】用导数求极值；导数的应用【答案解析】（）解：由已知得函数的定义域为，当 时， ，所以 当 时，由 得 ， （舍），此时 当时， 单调递减；当时， ，单调递增 在 处取得极小值，极小值为 （）证明：当时，当时，对任意的正偶数 ，恒有，故只需证明 令 ，则 ， 当时，故在上单调递增，因此当时，即成立故当时，有 即 【思路点拨】（）将带入函数解析式中，求出函数的定义域和导数，在定义域中解导数等于0的根，并判断左右两端的导数符号，进而确定极值点是极大值点还是极小值点，代入函数中解得极值。（）把代入函数解析式中，则解析式中只含有参数n，观察式子可以发现当时，对任意的正偶数 ，恒有，故只需证明，再转化为成立，进而转化为的最小值大于等于零恒成立，然后利用导数求出函数的最小值，证明此最小值大于等于零即可。请考试在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时用2b铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，pa为圆o的切线，a为切点，po交圆o于b,c两点，pa=10，pb=5,的角平分线与bc和圆o分别交于点d和e，（）求证;（）求的值.【知识点】比例线段；相似三角形的性质【答案解析】解（） 为圆的切线，又为公共角， ， （）为圆的切线,是过点的割线,， 又，又由（）知，连接，则，