10.9与柱体、锥体、台体、球有关的性质.doc

10.10与柱体、锥体、台体、球有关的性质【知识网络】 1、柱体、锥体、台体、球的有关性质；2、展开图及内接、外接问题； 3、不规则的图形的有关计算。【典型例题】例1：（1）一个棱柱是正四棱柱的条件是 （ ）A、底面是正方形，有两个侧面是矩形 B、底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C、底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直 D、每个侧面都是全等矩形的四棱柱答案：D。解析：正四棱柱的条件是底面为正方形的直棱柱。（2）底面是正三角形，且每个侧面是等腰三角形的三棱锥是 （ ）A、一定是正三棱锥 B、一定是正四面体 C、不是斜三棱锥 D、可能是斜三棱锥答案：D。解析：只须考察一个正三角形绕其一边抬起后所构成的三棱锥就知道（3）在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，若G、E分别为BB1，C1D1的中点，点F是正方形ADD1A1的中心，则四边形BGEF在正方体六个面上的射影图形面积的最大值为_。 答案：。解析：考察在三组对面上的投影即可。（4）棱锥的高为16cm,底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为 答案： 11cm 。解析：。 （5）把半径为r的四只小球全部放入一个大球内，则大球半径的最小值为_。答案：()r。解析：四只小球的球心组成正四面体形状，即。例2：已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形,两条侧棱长为, 试求第三条侧棱长的取值范围答案：: 如图, 四面体ABCD中,AB=BC=CA=1, DA=DC=, 只有棱DB的长x是可变的 在三角形ACD中, M为AC的中点, MD= MB=由MF-MBBD0)，用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是 。答案：。解析：有四种情况：边长为5a的边重合，表面积为；边长为4a的边重合，表面积为；边长为3a的边重合，表面积为；两个相同的直三棱柱竖直放在一起，表面积为。，。7如图所示，把边长为的正方形剪去图中阴影部分，沿图中的线折成一个正三棱锥，求出此棱锥的底面积，侧面积和高.答案：如图所示，DEF是正三角形，又由对称性知，FDC=15，又FD=FC（都是底边），FDC是底角为15的等腰三角形。取DC中心M，连MF，则MFDC，在RtFDM中，底面积为：。 FCD=15，FCB=75，取FC中点N，连结BN，则BNFC。在RtBNC中，BCN=75，。S侧=。如图所示，过B作BO面EFD于O，则O是EFD的中心，连EO，在RtEOB中，。8如图，已知四边形ABCD为矩形，PA平面ABCD于A，PC平面AEFG，且分别交PB、PC、PD于E、F、G，（1），求证：面PAB面PAD； （2）求证：A、E、F、G四点共圆。答案：（1），ADAB，ADPA，且PAAB=A，AD面PAB， 又AD面PAD，面PAB面PAD， （2）易知CD面PAD， AGCD，又已知PC面AEFG，AGPC，且CD PC=C ，AG面PCD，又FG 面PCD，AGFG，即AGF=900，同理AEF=900，四边形AEFG对角线互补，四边形AEFG内接于圆，即A、E、F、G四点共圆。9如图，在三棱锥中，平面，D为BC的中点（1）判断AD与SB能否垂直，并说明理由； （2）若三棱锥的体积为，且为 钝角，求二面角的平面角的正切值；（3）在（）的条件下，求点A到平面SBC的距离答案：（1）因为SB在底面ABC上的射影AB与AD不垂直，否则与AB=AC且D为BC的中点矛盾，所以AD与SB不垂直；（2）设，则 解得 ，所以（舍），平面ABC，AB=AC，D为BC的中点 ，则是二面角SBCA的平面角在中，, 故二面角的正切值为、（3）由（2）知，平面SDA，所以平面SBC平面SDA，过点A作AESD，则AE平面SBC，于是点A到平面SBC的距离为AE,从而即A到平面SBC的距离为10已知三视图：（1）画出该几何体的直观图；（2）求该几何体的表面积答案：解：（1）（2）由题意可知，该几何体是由正四棱柱与正四棱锥构成的简单几何体由图易得：，取中点，连接，从而，所以该几何体表面积【作业本】A组1下列命题中错误的是 （ ） A圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个 B圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个 C圆台的所有平行于底面的截面是圆 D圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形答案：B。解析：只有当顶角为90时，面积才为最大。2、设M为正四面体ABCD高线AH上一点，连结MB，MC，若BMC=90，则的值为 （ ）A、 B、 C、 D、1答案：D。解析：设四面体的棱长为a，MH=x，则MC2=MB2=MH2+BH2=，在RtBMC中，由MB2+MC2=BC2得，解得，AM=MH=AH，即。3如果球的内接正方体的表面积为，那么球的体积等于 （ ）A B C D答案：A。解析：，即。4四面体的一条棱长为x，其它各棱长为1，若把四面体的体积V表示成x的函数f(x)，则f(x)的增区间为 ，减区间为 。答案：（0， 。解析：，利用不等式或导数即可判断。5设P是平面外一点，且P到平面内的四边形的四条边的距离都相等，则四边形是 。答案：圆外切四边形。解析：P在内的射影到各边的距离相等。6已知一个圆锥的底面半径为，高为，在其中有一个高为的内接圆柱，（1）求圆柱的侧面积；（2）为何值时，圆柱的侧面积最大？答案：解：（1）过圆锥及内接的圆柱的轴作截面，如图：因为，所以，从而（2）因为，所以当时，最大，从而当即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大7一块边长为10的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积与的函数关系式,并求出函数的定义域.答案：解:如图,设所截等腰三角形的底边边长为. 在中, , 所以, 于是 依题意函数的定义域为 8. 从边长为2a的正方形铁片的四个角各截去一个边长为x的正方形（如图），再将四边向上折起，做成一个无盖的长方体铁盒，要求长方体的高度x与底面正方形的边长的比值不超过常数t。 （1）把铁盒的容积V表示成x的函数，并指出其定义域； （2）x值何值时，容积V有最大值？答案：（1）V=(2a-2x)2x=4x(a-x)2,由得 （2）由 ，等号成立的条件是2x=a-x,即当；当 时，上式中等号不成立，此时，取V=4x(a-x)2,在 上是增函数，当 时，V有最大值。B组1、下列三个命题，其中正确的有 （ ） （1）、用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 （2）、两个底面平行且相似，其余各面是梯形的多面体是棱台 （3）、有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台A0个 B1个 C2个 D3个答案：A。解析：A中截面是否平行于底面不确定，B、C中没有侧棱交于同一点这一条件。2一个平面多边形的斜二侧图形的面积是，则这个多边形的面积是 （ ）A B C D答案：C。解析：取特殊例子进行分析。3若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是 （ ）A、 B、 C、 D、以上都有可能答案：D。解析：分别为下列三种情况：有一个边长为1的正三角形，则将其作为底面，考虑其侧棱长，共有四种情况：两边为1，一边为2；一边为1，两边长为2；三边全为2。显然只有最后一种是可能的。如果这些三角形中，不存在边长为1的正三角形，则只有两种可能情况：四面体的6条棱中，只有一组相对棱的长度为1，其余棱长全为2；只有一条棱长为1，其余棱长全为2。4点P在直径为2的球面上，过P作两两垂直的三条弦，若其中一条弦长是另一条弦长的2倍，则这三条弦长之和为最大值是 答案：。解析：设三边长为x,2x,y，则，令。5在底面边长为6、高为14的正三棱柱内放入相同的n个球，使球半径尽量大，则n。答案：4。解析：。6如图，正三棱锥的侧面是边长为的正三角形，是的中点，是的中点，求绕旋转一周所得旋转体的体积 答案：解：如图，连接，由题意得，又是的中点，所以，又作，垂足为，则，所以，则所求旋转体的体积：7FEGABCD如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面BEFG所截而得到的。其中AB=4，BC=1，AE=3，DF=4。求异面直线EF与BC所成的角；求截面与底面所成二面角的正切值； 答案：（1）过E作交DF于H点，又EH=BC=1=FH，即EF与BC所成的角为。（2）由已知得EFGB为平行四边形，延长FG、DC相交于N，连结BN。过C作于M，连结GM，则为所求二面角的平面角。FHEGNMCBAD在中，8如图所示，已知BB1，CC1是RtABC所在平面同侧的两条相等的斜线段，它们与平面ABC所成的角均为60，且BB1/CC1，线段BB1的端点B1在平面ABC上的射影M恰是BC的中点，已知BC=2cm，ACB=90.求异面直线AB1与BC1所成的角；若二面角AB1BC为30，求三棱锥C1ABC的体积；（3）求直线AB1与平面BCC1B1所成角的正切值.答案：B1M平面ABC，B1MAC。又ACBC，AC平面BB1C1C。ACBC1，B1BM为BB1与平面ABC所成的角B1BM=60，BM=1，B1B=2，四边形B1BCC1为菱形，B1CBC1，BC1平面B1CA。BC1AB