D6习题答案.pdf

习题答案 机动目录上页下页返回结束 第六章 定积分的应用 第六六章 6 2 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 3 6 1 2 2yx 1 1 解解 为确定积分限 解方程组 解得交点坐标为 1 2 3 32 Axx dx 依题意画图如下 1 3 1 3 所求图形面积的积分表达式为 2 3yx 2 4yx 机动目录上页下页返回结束 2 3yx 2 解解 为确定积分限 解方程组 解得交点坐标为 1 2 3 6 x 2yx 0 y 2 3yx 3 33 取 x 为积分变量 3 取 y 为积分变量 ln ln b y a Ae dy ln ln ab 机动目录上页下页返回结束 所求图形面积的积分表达式为 3 22 3 1 4 3 Ayydy 3 2 3 4 4 3 ydy 解解 y x lnya 1 0 lnyb lnyx 所求图形面积的积分表达式为 积分区间为 2 3yx 2 4yx x y 0 4 3 3 解方程组 2 1 2 yx 2 2 2 2 得交点坐标 22 8xy 取 x 为积分变量 考虑到图形的对称性 所求面积为 依题意画图如下 机动目录上页下页返回结束 2 22 1 0 1 2 8 2 Axxdx 2 2sinxt 令 23 2 4 0 0 1 28cos 3 tdtx 4 0 1 8 sin2 2 tt 8 3 116 8 423 4 2 3 2 2 4 2 2 2 3 A 4 6 3 2 2 2 2 x y 0 1 A 2 A 3 242 2 0 12sin 1 sin att dt 0 4 a Aydx 0 32 2 4sin3 cos sin atat dt 242 2 0 12sincosattdt 2 3 15 3 1 12 4 2 26 4 2 2 a 3cos 解解 2 3 8 a 由于对称性 所求图形的面积为 1cos 4 解解 依题意作图如下 机动目录上页下页返回结束 为确定积分限 解方程组 得 3 3 o x 3 由于对称性 22 32 0 3 11 2 1 cos 3cos 22 Add 所求图形的面积为 a 5 3 0 1 cos2 12cos 2 d 解解 2 3 1 cos2 9 2 d 得 5 4 1r 2 2cos2r 6 2 64 0 6 11 4 12cos2 22 Add 由于对称性 所求图形的面积为 机动目录上页下页返回结束 22 32 0 3 11 2 1 cos 3cos 22 Add 依题意作图如下 为确定积分限 解方程组 4 6 1 4 sin2 122 13 4 1224 23 3 2 x y 0 3 1 0 3 3 x 由于对称性 所求图形的面积为 6 0 1 cos2 2 4 2 t dt 23 33 6 0 2 3 42sin2 3 tt 22 6 0 2 2 cos tdt 3 3 2sinxt 令 6 解解 1 22 0 2 43 Axxdx 依题意作图如下 22 4xy 为确定积分限 解方程组 2 3yx 得交点坐标 1 3 1 3 取 x 为积分变量 机动目录上页下页返回结束 2 22 4xy 2 3yx y x 绕 y 轴旋转所成旋转体体积为 2 2 3 x dy 2 2 3 4 ydy 7 165 3 32 3 2 0 y Vx dy 3 2 3 1 4 3 yy 由于对称性 所求旋转体的体积为 解解 依题意画图如下 3 0 1 3 ydy 23 0 1 2 3 y 机动目录上页下页返回结束 3 2 2 22 4xy 2 3yx y x x y 0 2 1 516yx 2 2 516yx 4 4 44 22 12 00 2 x Vy dxy dx 4 2222 0 2 516 516 xxdx 22 2 0 404 cos tdt 2 160 1 640 2 2 4 2 0 4016x dx 4sinxt 令 机动目录上页下页返回结束 8 解解 依题意画图如下 由于对称性 所求旋转体的体积为 2222 22 00 2 RaRa y Vx dya dy 22 22 222 0 0 2 Ra Ra Rydya y 22 232 0 1 2 3 Ra R yya y 3 22 2 4 3 Ra x y a 22 Ra R 9 解解 依题意画图如下 以 x 为积分变量 4 0 2 cossin Axx dx 绕 x 轴旋转所成旋转体的体积为 4 0 2 sincos xx 机动目录上页下页返回结束 y o x xsin xcos 2 4 22 2 1 22 2 21 22 44 00 2 cossin x Vxdxxdx 22 4 0 2 cossin xx dx 4 0 2cos2xdx 所求面积为 4 0 sin2 x 考虑到对称性 考虑到对称性 11 22 yx x 10 3 2 1 3 yxx 解解 2 1 dsy dx 2 11 1 22 xdx x 1 1 1 2 4 xdx x 机动目录上页下页返回结束 2 11 4 xdx x 11 2 x dx x 3 1 sds 3 1 11 2 x dx x 3 1 12 2 23 xx x 4 2 3 3 11 解解 依题意作图如下 2 8 sa 取 的值 先建立摆线的弧长公式00 0 2 s tt 0 t 0 22 0 0 1 cos sin t s tatatdt 0 0 2sin 2 t t adt 0 0 2 1 cos t at dt 再根据1 3确定 0 0 4 cos 2 t t a 0 4 1 cos 2 t a 00 M xy 0 2 t 机动目录上页下页返回结束 x y oa 2 摆线一拱弧长 分摆线第一拱的弧长为1 3 令 即得于是 所以 设 2 OMa 0 2s ta 0 4 1 cos 2 2 t aa 0 1 cos 22 t 0 2 3 t 0 23 32 xa 0 13 1 22 yaa 233 322 M aa 故 显然 M 6 3 定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用 1 机动目录上页下页返回结束 解解 依题意建立坐标系如图示 x y 0 x xdx A B 10 10 15 2330 xy 2 dWx y dx 2 2 10 3 xxdx 15 0 WdW 15 0 2 10 3 x xdx 1875 则直线AB的方程为 将水池内深度为 x 到 x dx 这层水吸出 所作的功为 从而有 吨米 依题意建立坐标系如图示 2 解 解 x y x xdx R 0 R 2 dWx 将水池内深度为 x 到 x dx 这层水吸出 所作的功为 y dx 22 xRxdx 0 R WdW 将水全吸出需作功 22 0 R x Rxdx 4 1 4 R 依题意设下降高度为 h 则有 即有 机动目录上页下页返回结束 44 11 1 42 4 hR 4 2 R h 依题意建立坐标系如图示 3 解解 椭圆的方程为 a x 0 y bb x xdx 22 22 1 xy ab dFx ydx 22 b