（全国通用）高考数学 5.3 等比数列及其前n项和练习.doc

课时提升作业(三十一)等比数列及其前n项和(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015北京模拟)已知x,y,zr,若-1,x,y,z,-3成等比数列,则xyz的值为()a.-3b.3c.-33d.33【解析】选c.由等比中项知y2=3,所以y=3,又因为y与-1,-3符号相同,所以y=-3,y2=xz,所以xyz=y3=-33.【加固训练】(2015福州模拟)已知等比数列an的前n项和为sn=x3n-1-16,则x的值为()a.13b.-13c.12d.-12【解析】选c.当n=1时,a1=s1=x-16,当n2时,an=sn-sn-1=x3n-1-16-x3n-2-16=x(3n-1-3n-2)=2x3n-2,因为an是等比数列,所以a1=a2q=2x32-23=2x3,由得x-16=2x3,解得x=12.2.(2015青岛模拟)在正项等比数列an中,lga3+lga6+lga9=6,则a1a11的值是()a.10000b.1000c.100d.10【解析】选a.因为lga3+lga6+lga9=lg(a3a6a9)=6,所以a3a6a9=106,由等比数列性质得a1a11=a3a9=a62,所以a63=106,又已知an0,所以a6=102=100,因此a1a11=1002=10000,故选a.3.(2015长春模拟)在正项等比数列an中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n=()a.11b.12c.14d.16【解析】选c.设数列an的公比为q,由a1a2a3=4=a13q3与a4a5a6=12=a13q12可得q9=3,an-1anan+1=a13q3n-3=324,因此q3n-6=81=34=q36,所以n=14.4.已知等比数列an(nn*)中有a5a11=4a8,数列bn是等差数列,且a8=b8,则b7+b9等于()a.2b.4c.8d.16【解析】选c.b7+b9=2b8,又a5a11=4a8,所以a82=4a8,因为a80,所以a8=4,即b8=4,所以b7+b9=2b8=8.【加固训练】已知各项不为0的等差数列an,满足2a3-a72+2a11=0,数列bn是等比数列,且b7=a7,则b6b8=()a.2b.4c.8d.16【解析】选d.因为数列an是等差数列,所以a3+a11=2a7由2a3-a72+2a11=0得4a7-a72=0,又an0,所以a7=4,所以b6b8=b72=42=16.5.已知数列an的前n项和sn=an-1(a0),则an()a.一定是等差数列b.一定是等比数列c.或者是等差数列,或者是等比数列d.既不可能是等差数列,也不可能是等比数列【解析】选c.因为sn=an-1(a0),所以an=s1,n=1,sn-sn-1,n2,即an=a-1,n=1,(a-1)an-1,n2.当a=1时,an=0,数列an是一个常数列,也是等差数列;当a1时,数列an是一个等比数列.【加固训练】(2015青岛模拟)已知等比数列an的前n项和为sn=3n+1+a,nn*,则实数a的值是()a.-3b.3c.-1d.1【解题提示】由sn求an,而后由a1=s1求a.【解析】选a.当n2时,an=sn-sn-1=3n+1-3n=23n,当n=1时,a1=s1=9+a,因为an是等比数列,所以有9+a=23,解得a=-3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.设等比数列an的前n项和为sn,若sm=10,s2m=30,则s3m=.【解析】由等比数列的性质知sm,s2m-sm,s3m-s2m也成等比数列,所以10,20,s3m-30成等比数列,故10(s3m-30)=202,解得s3m=70.答案:70【加固训练】在正项等比数列an中,若1a2a4+2a42+1a4a6=81,则1a3+1a5=.【解析】因为a2a4=a32,a4a6=a52,a42=a3a5.所以1a2a4+2a42+1a4a6=1a32+2a3a5+1a52=81,即1a3+1a52=81,又a30,a50,故1a3+1a5=9.答案:97.已知等比数列an为递增数列,且a52=a10,2(an+an+2)=5an+1,则数列an的通项公式an=.【解题提示】由2(an+an+2)=5an+1得q的方程求q,由a52=a10求a1即可求解.【解析】因为2(an+an+2)=5an+1,所以2an+2anq2=5anq,即2q2-5q+2=0,解得q=2或q=12(舍去).又因为a52=a10=a5q5,所以a5=q5=25=32,所以32=a1q4,解得a1=2,所以an=22n-1=2n,故an=2n.答案:2n8.在数列an中,若an2-an-12=p(n2,nn*,p为常数),则称an为“等方差数列”.下列是对“等方差数列”的判断:若an是等方差数列,则an2是等差数列;已知数列an是等方差数列,则数列an2是等方差数列.(-1)n是等方差数列;若an是等方差数列,则akn(kn*,k为常数)也是等方差数列.其中正确命题的序号为.【解析】对于,由等方差数列的定义可知,an2是公差为p的等差数列,故正确.对于,取an=n,则数列an是等方差数列,但数列an2不是等方差数列,故错.对于,因为(-1)n2-(-1)n-12=0(n2,nn*)为常数,所以(-1)n是等方差数列,故正确.对于,若an2-an-12=p(p2,nn*),则akn2-ak(n-1)2=(akn2-akn-12)+(akn-12-akn-22)+(akn-k+12-ak(n-1)2)=kp为常数,故正确.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015北京模拟)已知等比数列an的所有项均为正数,首项a1=1,且a4,3a3,a5成等差数列.(1)求数列an的通项公式.(2)数列an+1-an的前n项和为sn,若sn=2n-1(nn*),求实数的值.【解析】(1)设数列an的公比为q,由条件得q3,3q2,q4成等差数列,所以6q2=q3+q4,解得q=-3,或q=2,由数列an的所有项均为正数,则q=2,数列an的通项公式为an=2n-1(nn*).(2)记bn=an+1-an,则bn=2n-2n-1=(2-)2n-1,若=2,bn=0,sn=0不符合条件;若2,则bn+1bn=2,数列bn为等比数列,首项为2-,公比为2.此时sn=2-1-2(1-2n)=(2-)(2n-1),又sn=2n-1(nn*),所以=1.【方法技巧】等差数列与等比数列的联系与区别等差数列等比数列不同点(1)强调每一项与前一项的差(2)a1和d可以为0(3)任意两实数的等差中项唯一(4)当m+n=p+q(m,n,p,qn*)时am+an=ap+aq(1)强调每一项与前一项的比(2)a1与q均不为0(3)两同号实数(不为0)的等比中项有两个值(4)当m+n=p+q(m,n,p,qn*)时aman=apaq相同点(1)都强调每一项与其前一项的关系(2)结果都必须是常数(3)数列都可以由a1,d或a1,q确定联系(1)若an为正项等比数列,则logman为等差数列,其中m0,且m1(2)an为等差数列,则ban为等比数列(3)非零常数列既是等差数列又是等比数列10.(2015合肥模拟)数列an的前n项和记为sn,a1=t,点(sn,an+1)在直线y=3x+1上,nn*.(1)当实数t为何值时,数列an是等比数列.(2)在(1)的结论下,设bn=log4an+1,cn=an+bn,tn是数列cn的前n项和,求tn.【解题提示】由(sn,an+1)在y=3x+1上得sn与an+1的关系,再由sn-sn-1=an得an+1与an的关系,而后求解.【解析】(1)因为点(sn,an+1)在直线y=3x+1上,所以an+1=3sn+1,an=3sn-1+1(n1,且nn*),an+1-an=3(sn-sn-1)=3an,所以an+1=4an,n1,a2=3s1+1=3a1+1=3t+1,所以当t=1时,a2=4a1,数列an是等比数列.(2)在(1)的结论下,an+1=4an,an+1=4n,bn=log4an+1=n,cn=an+bn=4n-1+n,tn=c1+c2+cn=(40+1)+(41+2)+(4n-1+n)=(1+4+42+4n-1)+(1+2+3+n)=4n-13+n(n+1)2.(20分钟40分)1.(5分)(2013新课标全国卷)设首项为1,公比为23的等比数列an的前n项和为sn,则()a.sn=2an-1b.sn=3an-2c.sn=4-3and.sn=3-2an【解析】选d.方法一:在等比数列an中,sn=a1-anq1-q=1-an231-23=3-2an.方法二:在等比数列an中,a1=1,q=23,所以an=123n-1=23n-1.sn=11-23n1-23=31-23n=31-2323n-1=3-2an.2.(5分)(2015黄冈模拟)在等比数列an中,“8a2-a5=0”是“an为递增数列”的()a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.既不充分又不必要条件d.充要条件【解析】选c.由8a2-a5=0,得到a5=8a2.又a5=q3a2,则q=2,而a10时,数列an为递增数列,a10,nn*,且a3-a2=8,又a1,a5的等比中项为16.(1)求数列an的通项公式.(2)设bn=log4an,数列bn的前n项和为sn,是否存在正整数k,使得1s1+1s2+1s3+1snk对任意nn*恒成立.若存在,求出正整数k的最小值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)设数列an的公比为q,由题意可得a3=16,因为a3-a2=8,则a2=8,所以q=2,a1=4,所以an=2n+1.(2)因为bn=log42n+1=n+12,所以sn=b1+b2+bn=n(n+3)4.因为1sn=4n(n+3)=431n-1n+3,所以1s1+1s2+1s3+1sn=4311-14+12-15+13-16+1n-1n+3=431+12+13-1n+1-1n+2-1n+32293.故存在k的最小值为3,对任意的nn*都有1s1+1s2+1s3+1sn0).数列bn满足bn=anan+1(nn*).(1)若an是等差数列,且b3=12,求a的值及an的通项公式.(2)若an是等比数列,求bn的前n项和sn.(3)当bn是公比为a-1的等比数列时,an能否为等比数列?若能,求出a的值;若不能,请说明理由.【解析】(1)因为an是等差数列,a1=1,a2=a,所以an=1+(n-1)(a-1).又因为b3=12,所以a3a4=12,即(2a-1)(3a-2)=12.解得a=2或a=-56.因为a0,所以a=2.所以an=n.(2)因为数列an是等比数列,a1=1,a2=a(a0),所以an=an-1.所以bn