湖北省武穴市实验中学七年级数学上册 3.3 整式导学案 华东师大版 .doc

湖北省武穴市实验中学七年级数学上册 3.3 整式导学案 华东师大版 目标概览 本节内容是代数式运算、整式运算的基础，是代数知识的入门，其中有关概念在今后的学习中是必备的工具。整式的有关定义及运算在全国各地的基础性试题中也常有出现，学好本节内容应明确学习目标： 1、了解单项式，多项式与整式概念 2、理解单项式的系数包括它前面的符号 3、掌握整式，多项式的次数，项与项数的概念明确它们的关系。 4、正确地区别单项式和多项式 5、会把一个多项式按某个字母升幂排列式降幂排列 6、理解把一个多项式按某一个字母升幂排列式降幂排列的原理 7、将本节知识的内涵数外延第统化，综合运用代数式、整式、单项式、多项式等概念进行有关得数的判断。思考、交流 1、下面有两组式数式： （1）3a x-y -2a3b 3x+2y 2x2-+1(2) +2 +1请同学们仔细观察，指出它们之间有什么区别？2、中国古代数学家杨辉发现了杨辉三角形，比欧美的数学家发现早了1000余年。 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 . 其实它是（a+b）1=a+b （a+b）2=a2+2ab+b （a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3等代数式 （a+b）n的运算结果中系数排列的规律 你可以发现（a+b）6=a 6+5a5b+10a4b2+10a2b4+5ab6+b6其中右边的代数式你觉得美不美？学法、指律 学习本节知识你会觉得很轻松，但不可掉以轻心阿，整式的有关定义是中学数学学习中的重要组成部分，要掌握整式的有关概念必须抓住反映这些概念的本质，我建议同学们学习过程中可采用以下方法提高学习效果： 1、自学：将课本中要求回忆的四个小题独立完成，与同学进行讨论、研究、分析； 2、分析：将单项式、多项式、整式、代数式的概念进行分析比较； 3、实践：把一个多项式按某一个字母的升幂或降幂进行排列体会它的美感；4、探索：与同学们一起探索单项式、多项式、整式、代数式之间关系？5、研究：课本中提出的注意事项告诉我们在学习过程中或解决过程中应注意的问 题；知识、导学 整式的有关概念及分类是中学代数中的重要部分，我们应把这些概念进行比较、分析。在已经学习过的代数式的基础上进行科学分类，了解代数式的研究导向，区别哪些是整式，哪些不是整式，哪些是单项式，哪些是多项式，这些问题必须阐述清楚，否则我们有些同学学到后面的相关知识时也还不明不白。 知识点一（重点）单项式及其系数与次数 正方形的面积a2，三角形的面积ah 有理数m的相反数-m，小明每月把零花钱x元捐出给希望工程，一年下来小明共捐款12x元。 这些问题中的代数式a2、ah、-m, 12x都是由数与字母的积组成的，这样的式数式叫单项式。 组成单项式的数和字母，都是单项式的因数。如单项式-3x中，-3与x都是它的因数，其中-3是数因数，x是字母因数，我们把单项式中的数因数叫单项式（或字母因数）的数字系数，简称系数，例如单项式5ab2的系数是5；-1/3x的系数是-1/3； 的系数是1/3，-abc的系数是-1，vt的系数是1 注意：（1）单项式的系数必须连同数因数前面的性质符号在内； （2）系数是1或-1时“1”还常省略不写，而-1前面的负号不能省略 （3）园周率是常数 （4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如1x2y写成5/4x2y 对于下面些单项式-4a2 -3/5x a2x3/3 -x2yz里的字母的指数 -4a2 里字母a的指数是2； -3/5x 里字母x的指数是1； a2x3/3里字母a，x的指数分别是2和3 -x2yz里字母x y z指数分别是2、1、1 我们把一个单项式里所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，如-4a2 的次数是二次，可称为二次单项式，a2x3/3的次数是五次可称为五次单项式等等，我们必须注意单项式的系数与次数的区分，在运算中，单项式的系数与次数很容易混淆如3a中的3是a的系数，3a表示a+a+a，3a的次数是1，而a3的系数为1，a3表示a a a，它的次数是3，这二个概念，务必分得清楚，判断得准确、熟练。 思维升华：（1）已知球的半经r则球的体积为4/3r3,此时4/3r3是一个单项式此单项式的系数是 ，次数是 。 （2）1/x是一个单项式吗？ 知识点二（重点、难点）多项式及其次数。 本节内容概念繁多，涉及到多项式的定义，多项式的组成，一个特定多项式的名称，一个多项式的次数，学习过程中要理清头绪，尤其要注意多项式的次数与其组成部分的单项式的次数之间的关系。 形如2a+2b a2- r2 x+21等代数式都是由几个单项式相加而成的，象这样几个单项式的和叫做多项式，在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项，叫做常数项，例如多项式3x2- 2x+5有三项，它们分别是3x2 - 2x +5其中+5是常数项。 一个多项式含有几项，就叫几项式，如2a+2b是一次二项式， a2- r2 是二次项式，x+21是一次二项式，3x2- 2x+5是二次三项式m2-2mn+n2也是二次三项式。在多项式里，次数最高的项的次数，就表示这个多项式的次数，如：2a+2b是一次二项式， a2-r2是二次二项式，x+21是一次二项式，3x2-2x+5是二次三项式m2-2mn+n2也是二次三项式。 注意：（1）单项式的次数与其中的字母的指数之间的关系。 （2）多项式的次数不是所有组成项式的次数之和。 （3）多项式的每一项都包括它前面的符号 （4）多项式写成几个单项式的和可以联想成有理数加法中“省略加号的有理 数的代数和”的形成。 能力拓展：我们已经懂得单项式的系数与次数概念，也已经懂得多项式的项，多项式的次数如何确定，请大家想一想，为什么我们不谈多项式的系数等问题？ 知识点三、整式 数学的学习、研究有一个方向问题，二十一世纪信息量大量增加，知识的宽度与深度越来越明显加宽与加深，专业化越来越突出，在代数式的研究方向上也出现了两个方面。形如r2、a+b、r3、r2h、等代数式与+、等代数式之间有着明显的区别，在前一组代数式中有的只含加、减、乘运算。（乘方可以看作特殊的乘法运算）有的虽然含有除法运算，但除式中不含有字母。象这样的代数式就叫整式，后一组的代数式都含有除法运算，并且除式中都含有字母，这样的代数式就不是整式，我们本期只研究整式的有关内容，对于后一组的代数式的定义及运算今后我们再研究。 经过比较分析：单项式是整式，几个单项式的和仍然是整式，所以多项式也是整式，这就是说 ：整式这括单项式和多项式，反过来也可以说单项式和多项式统称为整式，这三者之间的关系可表示为： 单项式 整式 多项式探究思考：整式的值一定是整数吗？形如+1等非整式的值一定不是整数吗？我们可以作进一步分析：如整式x2+1当x=时整式x2+1=+1=不是整数，如非整式+1当x=时+1=4+4+1=9这个非整式的值是整数。知识点四：（难点）升幂排列与降幂排列为了便于计算加强书写的规律性，根据加法交换律，要把多项式按照一定的规律整理成整齐的形式，把一个多项式按照某一个字母的指数从大到小（或从小到大）的顺序来排列，这样排列的多项式，叫做按照这个字母的降幂（或升幂）排列这种整理的方法叫排幂。如x-5-2x2+7x3可以排成二种形式：按字母x的降幂排列：7x3-2x2+x-5按字母x的升幂排列：-5+x-2x2+7x3代数式里的字母都表示数，每个单项式表示的也是数，所以我们可以象有理数加法一样交换多项式里各项的顺序在移动多项式中的单项式的项时，要常 它的每项的性质符号一起移动，如果第一项省略掉性质符号“+”移到后面时，就要补上这个“+”号；如果原来的中间项移到第一项性质符号是正的，也可以省略掉“+”号，但性质符号是“”号就不能省略，如x-5-2x2+7x3中7x3项移到第一项可以省略到“+”号-5这个常数项移到第一项就不能省略“”号x这个一次项移到最后一项或中间哪个位置时前面要加上“+”号 如果一个多项式中有几个字母，就按指定的字母升幂或降幂排列。 如把3x2y+4xy2-x3-5y3 -x3+3x2y+4xy2-5y3 按y的降幂排列为：-5y3+4xy2+3x2y -x3 按x的升幂排列为：-5y3+4xy2+3x2y -x3 按x的降幂排列为：-x3+3x2y +4xy2 -5y3 注意事项：（1）重新排列多项式时，每一项一定要连同它前面的符号一起移动；（2）含有两个以上字母的多项式，常常按照某中某一个字母升幂排列或降幂排列。 知识点五（难点）升降幂排列的原理 为了方便计算及多项式排列的规律性的观察，我们经常对一个多项式进行整理排列一般按升幂或降幂排列，如果一个多项式含有两个或两个以上字母时，就把这个多项工按其中的某一个字母的升幂或降幂排列那么它们的整理与排列的原理是什么呢？我们可以回顾有理数的加法交换律的学习过程中的方法规律来进行类比 计算：-13+26-37+54 我们可以对这个式子进行分析：-13+26-337+54可以看成-13，+26，-37，+54四个有理数的代数和，因此此式可以变形为（-13）+（226）+（-37）+（54）然后依据加法的交换律变形为：（+26）+（+54）+（-13）+（-37）或（-13）+（-37）+（+26）+（+54）还可以简化为26+54-13-37或-13-37+26+54因此对于一个多项式3x2y+4xy2-x3-5y3也可以看成+3x2y，+4xy2，-x3，-5y3四个单项式的代数和因此这个多项式可以写成：（+3x2y）+（+4xy2）+（-x3）+（-5y3）因此可以使用加法的交换率，按照题目的规定进行升幂或降幂排列，那么每个单项式的性质符号在排列过程中必须随同移动。 思维升华：常数项是不含字母的项，也可把它看成是字母指数为0的项。技巧、解悟 一、考查单项式及其系数与次数 例1：选择题下列说法中，正确的个数有 （ ）单独一个数-1/3不是单项式；单项式x的次数是0系数是0；3nxy的系数是3n次数是2；2x2-3有两项即2x2和3；-1是一个二次三项式 a、0个 b、1个 c、2个 d、3个解析：由于单独一个数式个字母也是单项式所以中-1/3是单项；中单项式x的次数与系数均为1，多项式的项包括字母及数前面的符号，故中的两项应分别为2x2与-3。 数因是单项式的系数，单项式的次数是单项式中所有字母的指数之和，故正确 答案：选c 例2：指出下列各式中的单项式并写出各单项式的系数和次数 -， -mx, , ax2+ax, , 1-x, x2-y2, 710xyz2 解析：判定一个代数式是否单项式，关键是看式子中的数与字母或字母与字母之间是否为纯粹乘积关系？如果含有加、减、除的关系就不是单项式。 单项式的次数是由单项式中各字母的指数来确定的。答案：单项式有： -， -mx, , 710xyz2 -的系数是-，次数是2； -mx的系数是-1，次数是2；的系数是，次数是3；710xyz2的系数是710；次数是4。注意：单项式的次数、系数等概念，在今后的学习中是常常用到的知识。 -可以变形为-xy，所以单项式的系数是-，在解题过程中不要丢掉“一”号。 对于710xyz2，初学者容易以为它的次数是10+1+1+2=14，实际上这个单项式中的“10”是系数的组成部分。而且单项式的次数的定义中说单项式的次数是由单项式各字母的指数和来确定的。 例3：含有三个字母a,b,c的系数是1的五次单项共有几个？试把它们写出来。解析：单项式是只含有乘法或乘方的代数式，而比单项式是五次单项因此写出的单项式中每个字母的指数之和是5。 答案：这样的五次单项式共有6个，它们分别如下： a3bc, a2b2c, a2bc2, ab3c, ab2c2, abc3 例4：将下列整式中的单项式填入表中，并分别写出它们的系数和次数。x+2y ab2c 4x2=y -3x2y s2t 1-xy x2+2x+1 单项式 系数 次数解析：首先进行判断，这些整式中单项式只有ab2c -3x2y s2t 等4个根据单项式的系数与次数的概念来进行判断。 答案： 单项式 系数 次数 ab2c 1 4 -3x2y -3 3 - 5 s2t 3 二、考查多项式及其次数例5：下列多项式各为几次几项式x2-2xy+y2 a5-2a3+1 a3b+a2b2+ab3+1 m4+3n-2m2+7解析：多项式的项是由单项式组成的，即多项式可看成几个单项式的代数和，有几个单项式组成的就可以说它是几项式，而多项式中次数最高的项的次数，就表示这个多项式的次数。答案：（1）x2-2xy+y2 是二次三项式 （2）a5-2a3+1 是五次三项式 （3）a3b+a2b2+ab3+1是四次四项式 （4）m4+3n-2m2+7是四次四项式例6：把下列多项式先按x或a的升幂排列，再按x或a的降幂排列。 (1)-3x3-1+2x2-6x4-3x (2)x2y2-x3y+2xy3-7 (3)-x2+x3y-y+1 (4)4a3b+4ab3+6a2b2+a4+b3解析：为了计算方便与研究对象规律的呈现我们常把一个多项式进行有序排列，即某个字母升幂排列或降幂排列。答案：（1）把以上4个代数式按字母x或a的升幂排列如下： -1-3x3+2x2-3x-6x4 -7+2xy3+x2y2-x3y -y+1-x2+x3y b3+4ab3+6a2b2 +4a3b+a4 （2）把以上4个代数式按字母x或a的降幂排列如下： -6x4-3x+2x2-3x3-1 -x3y+x2y2+2xy3-7 x3y-x2-y+1 a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b3例7：只含有字母a 的一个三次三项式，它的三次项系数为2，一次项系数为-1常数项是3求这个三次三项式解析：这个只含字母a的三次三项式只有三项组成，其中三次项系数为2，则此三次项为2a3，一次项系数为-1，则此一次项为-a，常数项为3，则此三次三项式为2a3-a+3答案：2a3-a+3例8：只含有字母x的五次多项式，最多有 项最少能有 项解析：只含有字母x的五次多项式中最高次数的项为五次，余下的项为四次、三次、二次、一次及常数项，当然，只含有五次项与其余任意一个单项式而组成的一个多项也可以，如项数最多的多项式x5+5x4+10x2+5x+1；项数最少的多项式为x5+1答案：只含有字母x的五次多项式、最多有6项，最少有2项。例9：已知m、n为自然数，am-2b2c-a2bn-2c4+am+1bn-1c是八次三项式，求m和 n的值。解析：此代数式为八次三项式，则其中的一个单项式次数必为8，下面我们只需考查三个单项式的次数即可，am-2b2c次数为m+1；-a2bn-2c4次数为n+4；am+1bn-1c次数为m+n+1.答案：组成这个多项式的每个单项式的次数分别为 m+1； n+4；m+n+1.而此多项式为八次三项式。而m+n+1 m+1 故分两种情况讨论：（1）n+4且m+n+18 n=4 m3 又第一个单项式am-2b2c m2 m=3此时m=3、n=4（2）m+n+1=8 由条件可知n2且n 为自然数 当n=3时 m=4综上所述m、n的值为m=3，n=4或m=4，n=3三、考查整式的定义及应用例10：代数式2a， ，2a+x, , , x, x2-x中整式的个数是 （ ） a、2 b、3 c、4 d、5解析：单项式与多项式统称为整式，意即只有单项式或多项式才能称之为整式，亦可说在这个代数式中不含除法（或若含除法但除数不含字母）的式子才能称之为整式。答案：以上代数式中整式有2a,2a+x, , , x, x2-x等5个。例11：当m为何值时（mx2y-2xy+3y2）-(5x2y+3xy-1)是二次多项式？ 解析：把原多项式变形为：mx2y-2xy+3y2-5x2y+3xy-1；因为它是二次多项式通过加法交换律变化则：mx2y-5x2y=0；即m=5 答案：m=5时，原多项式为二次多项式。四、考查多项式升降幂排列及其原理 例12：指出多项式x2y-xy2-x3+2y3的项并把它按x的降幂排列 解析：多项式x2y-xy2-x3+2y3的项有4个 x2y，-xy2，-x3，-x3，2y3 按照加法交换律可把原多项式作如下变形，按x的降幂排列： x2y-xy2-x3+2y3 =（+x2y）+（-xy2）+（-x3）+（+2y3） =（-x3）+（+x2y）+（-xy2）+（+2y3） =-x3+x2y-xy2+2y3 答案：原多项式的项为+x2y， -xy2， -x3， +2y3原多项式按字母x的降幂排列为：-x3+x2y-xy2+2y3 例13：多项式2（x2-3xy-y2）-(x2+2mxy+2y2)中不含xy项，求m的值。解析：把原多项式作变形，对其作整理，使整理后的多项式中两个含xy项的指数互为相反数。 答案：2（x2-3xy-y2）-(x2+2mxy+2y2) =2x2-6xy-2y2-x2-2mxy-2y2 因为此多项式中不含xy项 故：-6与-2m互为相反数 即：m=-3能力拓展 综合题：例1：已知m、n为正整数5xymzn是5次单项式，则m ；n 解析：由题已知1+m+n=5 即：m+n=4 又m、n为正整数。 m=1 m=2 m=3 n=3 n=2 n=1方法规律：根据定义来理解题意，从而正确得出相等关系式 正确地利用整数性质解题可以给我们解题带来极大的方便 例2：若二次三项式y2-2y+n中以4代替y其值为0，则n值是：（ ） a、0 b、8 c、-8 d、2 解析：这是一个代数式求值，当y=4时代数式的值为0 故：42-24+n=0n=-8 答案：选c能力拓展： 巧妙地把一个代数值求值的题转化为一个简易方程来求解。 例3：下列语句正确的是（ ） a、单项式的系数和次数都是3 b、单项式r3的系数是，次数是3 c、单项式22x3y4的次数是9 d、单项式-0.5x2y2z的系数是-0.5，次数是4 解析：a单项式可写成abc其系数是，次数是3；c单项式22x3y4的次数是7其中22是系数；d单项式-0.5x2y2z的系数是-0.5次数是2+2+1=5。 答案：选b误区警示：（1）单项式的系数是字母前面的数因数 （2）单项式的次数是每个字母的指数之和创新题 例4：两个关于x的整式x2+(a+b)x+5b与x2-x-30恒等，求a,b的值。 解析：这两个关于x的多项式恒等，即x取任意值时，这两个多项式的值都相等，那么它们的对应项的系数也应该分别相等。 答案：关于x的整式x2+(a+b)x+5b与x2-x-30恒等，即它们对应项的系数分别相等，故：a+b=-1 且5b=-30 a=5 b=-6经验技巧 两个整式恒等意即不论x为何值时，这两个恒等式一定相等亦即这两个整式对应项的系数相等。 例5：有一个两位数，若将其十位、个位数字交换，组成一个新的两位数，求新两们数与原两位数的和，并说明它们之和一定是11的倍数。 解析：把这两个两位数用代数式表示出来，求这两个代数式的和，即可作出判断。 答案：设原两位数的个位数字为x，十位数字为y，则原数为10y+x，而交换十位，个位数字后的新数为10x+y 故新两位数与原两位数之和为： （10x+y）+（10y+x）=11（x+y） 11（x+y）是11的倍数 故这两个两位数之和一定是11的倍数。经验技巧 应用题： 经过仔细分析它最终可以用纯数字观点来理解，这就是数学思想。 例6：p表示一个三位数，q表示一个两位数把p放在q的左边，组成一个五位数息样用代数式表示这个五位数？ 解析：一般表示数的得数，是已知各数位上的数字，只要按其所在数位的规律，从个位起，分别乘以1，10，100，再把它们相加，即可得出所要表示的数，而本题中的p、q并不是某个数位上的数字，而分别表示的是一个三位数，和一个两位数，如机械地按题中所说，把p放在q的左边，而写成pq这是完全错误的，pq既不能体现这个五位数的数位关系，而且还会使人误认为表示的是p与q的积 答案：这个五位数是p100+q 即：100p+q方法规律：p是一个三位数，q是一个两位数，把p放在q的左边，相等于q的数位未发生变化，而p的每个数字所在的数位都上升了两位，p中原来的个位上升到百位，原来的十位上升到千位，原来的百位上升到万位。 例7：已知多项式x10-x9y+x8y2-+x2y8-xy9+y10 (1)按规定写出该多项式的第六项，并指出它的系数和次数。 （2）这个多项式是几次多项式。 解析：该多项式的特点是（1）按字母x的降幂排列且按字母y的升幂排列，（2）每项次数均为10，13第几项系数为（-1）n+1 答案：（1）此多项式的第六项为-x5y5,它的系数为-1，次数是10。 （2）这个多项式10次11项式。方法规律：对于找规律的题型，要从各个不同的角度分析归纳，并将所得的结论进行检验，此题应注意多项式的项包括它前面的符号。习题、解题 p100练习 1、判断一个代数式是否是单项式应严格按单项式的定义，数与字母乘积的代数式叫单项式，单独一个字母或单独一个数也是单项式，尤其注意不是单项数，它是数与字母之商，但x/是单项式，它是数1/与字母x之积。 因此这一列代数式中项式有： ， 2、单项式中的数字因数叫单项式的系数，单项式中每个字母的指数和叫这个单项式的次数。 (1)-的系数是-，次数是3 (2)m、n的系数是1，次数是2 (3)5a2的系数是5，次数是2 (4)-ab2c的系数是-，次数是4p101练习1、同学们请注意，多项式的组成部分是单项式单项式的个数即为多项式的项数，单项式中最高次数的那一项的次数表示这个多项式的次数。 多项式 几次几项式 2x+1+3x2 二次三项式 4x3+2x-3x2 三次三项式 2x2-3xy+y2 二次三项式 4x4+1 四次二项式2、判断列代数式是否是整式，我们知道单项式与多项式统称为整式。 故：、均为整式，其中中是1与x+1 之商形式它不是整式。3、整式 单项式 多项式p103练习 1、把多项式按某一个字母的升（降）幂排列，运用的方法是加法的交换律，注意事项是移动某一项时要注意连同它前面的性质符号一起移动。 （1）按x的升幂排列： -+x+2x2+x3-5x4 （2）按x的降幂排列 -5x4+x3+2x2+x- 2、本题的代数式中含有两个字母，在进行排列时要注意题目规定按哪个字母排列（1） 按x的升幂排列： -y4-2xy2-5x2y3+3x3y+x4 （2）按y的升幂排列： x4+3x3y-2xy2-5x2y3-y4 习题3.3 p103 1、对单项式进行分析时，要严格按照定义判断：说法（1）单项式m系数为1，次数为1说法（2）单项式5105t的系数为5105 （3）正确 （4）正确2、填表 单项式 a -x abc -a2b3/3 系 数 1 -1 次 数 1 1 3 53、(1)4a2+3a-1是二次三项式 (2)3a-2ab+4b是二次三项式4、组成多项式的部分是单项式，它的次数是这些单项式中次数最高的那一项的次数。 （1）xy-的次数为2，项为xy，- （2）a2+2a2b+ab2-b2的次数为3，项为a2，2a2b，ab2，-b2 （3）2m3n3-3m2n2+mn的次数为6，项为2m3n3，-3m2n2，mn5、多项式x2+-3x+x3按x的升幂排列为： -3x+x2+x36、多项式2x3y-4y2+5x2 按x降幂排列：2x3y +5x2-4y2 按y升幂排列：5x2+2x3y-4y2 自主、评价一、 基础题： 填空题：1、只含有 运算或虽含除法运算，但除式中不含字母的代数式叫做整式。2、单项式4x2y3/7中，x的指数是 ,y的指数是 ，这个单项式的次数是 。3、若单项式7abmc2与单项式5xy6的次数相同，则m .4、多项式x2-2x-3中，一次项系数是 。5、多项式3a-4a2b+1/2中最高次项的次数是 ，最高次项的系数是 ，常数项是 。6、把多项式ax3-by3+cx2y2-dxuy按字母x的升幂排列 ，按字母y的降幂排列 。7、如果-ax2ym是关于x,y的单项式系数为-，次数是4，则a= ，m 。二、拓展题 选择题8、代数式-5, 5x-y2, ， a.xn+1ym+4(m,n为自然数)中，单项式的个数是： （ ）a、6 b、5 c、4 d、39、在代数式-x2y2, 1-x, s=a+b , , a2-2ab+b2, , 0 多项式共有（ ） a、3个 b、4个 c、5个 d、6个 10、多项式32x5-4x是（ ） a、五次二项式 b、六次二项式 c、七