定积分的应用.doc

第六章 定积分的应用练习题1 选择题（1）由曲线所围成的平面图形的面积为（ ） A B C D （2）由曲线与直线所围成图形的面积为（ ） A B C D （3）心形线相应于的一段弧与极轴所围成的平面图形的面积为（ ） A B C D （4）由曲线和轴所围成的平面图形绕轴旋转生成的旋转体的体积为（ ） A B C D （5）曲线与直线所围成的图形绕轴旋转生成的旋转体的体积为（ ） A B C D （6）曲线相应于区间上的一段弧线的长度为 （ ）A B C D（7）一汽船按做直线航行，水的阻力与速度平方成正比（比例系数为k），汽船从静止开始向前航行2米，发动机克服阻力所做的功为（ ） A k B 2k C 4k D8k（8）水下由一个矩形闸门，铅直地浸没在水中它的宽为2m，高为3m，水面超过门顶2m，则闸门上所受水的压力为（ ） A 245kN B 245N C 2058N D 2058kN（9）一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，平面与地面的交角为，则平面截该圆柱体所得立体的体积为（ ）A B C D （10）一圆柱形水池，深为h，半径为，则将其中盛满的水抽出一半与全部抽出所需做的功之比为（ ） A B C D 2填空题（1）曲线围成的平面图形的面积为 （2）由抛物线与直线所围成图形的面积为 （3）椭圆所围成的图形的面积为 （4 ）双纽线相应于上的一段弧所围成的图形面积为 （5）由曲线所围成的图形绕轴旋转生成的旋转体的体积为 （6）由双曲线和直线与轴围成的平面图形绕轴旋转生成的旋转体的体积为 （7）曲线相应于区间1，3上的一段弧的长度为 （8）一底为8cm，高为6cm的等腰三角形片，铅直地浸没在水中，顶在上、底在下则该三角形片的侧面所受到的水的压力为 3下列各图中画斜线部分的面积：4求由下列各组曲线所围平面图形的面积：（1） （2）（3） （4）（5） （6） （7） (较小的一块) （8）5求由曲线与所围成的平面图形的面积6求抛物线及其在点（1，2）处的法线所围成的图形的面积7已知曲线与直线所围图形的面积为，试求k的值8求的值，使曲线与在点（-1，0）和（1，0）处的法线所围成的平面图形的面积最小9在第一象限内求曲线上的一点，使该点处的切线及两坐标轴所围成图形的面积最小，并求此最小面积10求 椭圆与所围公共图形的面积11求笛卡尔叶形线所围成的平面图形的面积为12求星形线 与坐标轴在第一象限所围成图形的面积13求由下列各平面图形的面积：（1） （2）与的公共部分（3） （4）与的公共部分14求对数螺线及射线所围图形的面积15求曲线与x轴之间位于第一象限的平面图形的面积16证明：从抛物线上的一点P引抛物线的切线，该切线与所围成的面积与P点的位置无关17一物体，其底面是半径为R的圆，用垂直于底圆某一直径的平面截该物体，所得截面都是正方形，求该物体的体积18求抛物线与直线所围图形分别绕轴和轴旋转所形成立体的体积19曲线围成的平面图形绕轴旋转，求所得旋转体的体积20求由双曲线与直线所围成平面图形绕轴旋转生成的旋转体的体积21曲线和围成一平面图形求（1） 该平面图形的面积（2） 将该平面分别绕轴和轴旋转而成的旋转体的体积22利用定积分证明，下底半径为R，高为h的正圆锥的体积为23求以圆为边界线的平面图形绕直线旋转所形成立体的体积（）24求曲线的弧长25求曲线相应于上的一段弧长26求曲线相应于区间2，3得一段弧长27求曲线的全长28求心形线的全长29利用定积分证明，半径为R的圆周的周长为2R30证明曲线一个周期的弧长等于椭圆的周长31由虎克定律可知，弹簧的伸长与拉力成正比已知弹簧伸长1cm时拉力为1N，求把弹簧拉长10cm，拉力所做的功32一截面为等要梯形的贮水池，上底宽6m,下底宽4m，深2m，长8m要把满池水全部抽到距水池上方20m的水塔中，问需要做多少功？33设有一质量为M，长为L的匀质细棒，和一个位于细棒延长线上相距细棒近端为的指点，质点的质量为m求细棒对该质点的引力（根据万有引力定律）34某下水道的横截面时直径为3m的圆，水平铺设，下水道内水深15m，求与下水道垂直的闸门所受的压力35一底为8厘米，高为6厘米的等腰三角形片，铅值地沉没在水中，顶在上，底在下，且与水面平行，顶离水面3厘米，试求它侧面所受的压力36设有一半径为R，圆心角为的圆弧形细棒，其线密度为常数在圆心处有一质量为m的质点，试求细棒对该质点的引力37若电量Q均匀地分布在长为L的细棒上，求棒的中垂线上离棒中心为处的电荷q所受的电场力38一物体以速度（米/秒）作直线运动，计算它在前3秒内的平均速度39计算正弦交流电一个周期T（）内，电流的平均值和有效值（即电流的均方根）40求下列函数在上的平均值 （1） （2）41血液在动脉里流动时，距离动脉中心线处的血液流动速度为，其中R是动脉的半径，k是常数，求血液流动的平均速度42一密度均匀的薄片，其边界由抛物线与直线围成，求此薄片的重心坐标43某厂每批生产某产品Q单位时，收益函数为（单位：元/单位），当生产10单位时总成本为60元问此时生产利润是多大？自测题（A）（一）选择题1曲线与直线所围成的平面图形的面积为（ ）A B C D 2椭圆 与y轴所围成图形的面积为( )A B C D 3曲线与轴所围成的图形，绕轴旋转一周所围成旋转体的体积为（ ）A B C D4曲线所围成的平面图形绕轴旋转而成的旋转体的体积为（ ） A B C D 5一物体沿x=3t2作直线运动，所受阻力与速度的平方成正比（比例系数为k），物体从x=0移到x=1时克服阻力所作的功为 A 4k B2k C6k D8k 6曲线具有一阶连续导数，则曲线上相应于的一段弧长为（ ） A B C D （二）填空题 1由曲线y=cosx和直线 所围图形的面积为 2对数螺线自到的一段弧所围平面图形的面积为 3由曲线围成的平面图形绕轴旋转而成的旋转体的体积为 4曲线相应于区间0，上的一段弧的长度为 5曲线所围成的图形绕轴旋转而成的旋转体的体积为 6函数在区间-2，4上的平均值为 （三）解答题1 求由曲线所围图形的面积2求c的值（c0），使两曲线与所围图形的面积为3如图627，设函数求：（1）t取何值时，图中阴影部分的面积S1与S2之和最大？（2）t取何值时，图中阴影部分的面积S1与S2之和最小？4设平面图形式由及所围成，求：（1） 此平面图形的面积（2） 此平面图形分别绕轴和轴旋转而成的旋转体的体积 5设有一直径为8m的半球形水池，盛满水，若将池中的水抽干，问至少需做多少功？6利用定积分证明，半径为的球体的体积为自测题（B）（一）选择题1 曲线与所围成的图形的面积为（ ） A B C D 2曲线及该曲线的过原点的切线和轴的负半轴所围成的平面图形的面积为（ ） A B C D 3曲线与轴所为图形的面积可表示为（ ） A BC D4由和轴围成的平面图形绕轴旋转所得旋转体的体积为（ ） A B C D 5摆线的一拱与轴围成的平面图形，绕轴旋转所得旋转体的体积为（ ） A B C D 6一个半圆形的水池半径为R，池内盛满了水，则把池内的水抽出所做的功与把水全部抽出所做的功之比为（ ） A B C D （二）填空题1由曲线围成的平面图形的面积为 2由所围成的图形，绕轴旋转所得旋转体的体积为 3抛物线与直线围成的平面图形的面积为 4 曲线绕轴旋转所得旋转体的体积为 5曲线的全长为 6由直线与抛物线包围的图形绕直线旋转所得旋转体的体积为 （三）解答题1求由曲线和直线所围图形的面积2过抛物线上一点做切线，问为何值时所做的切线与抛物线所围成的图形面积最小？计算该最小值3试求抛物线在点（1，1）处的切线与抛物线自身及轴所围成的图形绕轴旋转所得旋转体的体积4求曲线所围成的图形公共部分的面积5在椭圆绕长轴旋转生成的椭球中，沿长轴方向打一圆孔，如果剩余部分的体积是椭球体积的一半，则孔的直径是多少？6边长为的矩形薄片，与液面成角沉于液体内，长边平行于液面而位于深处，设，液体的比重为，试求薄片每面所受的压力7如图6-2-5所示，在曲线上对应的点A(1，c)处作其法线，今将由该法线及曲线与轴所围成的平面图形绕轴旋转一周证明时旋转体体积最小参考答案练习题1（1）A （2）B （3）B （4）C （5）C （6）B （7）D （8）C （9）A （10）D2 （1） 2； （2）； （3） ； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）9408kN3 （1） ； （2） 1； （3） ； （4） 4 （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5）； （6）； （7）； （8）1 52 6 7 8 910 11 12 13（1）； （2）； （3）； （4）14 151 16略 1718 19 20 21（1） ； （2） 22略 23 24 2526 27 28 29略30提示 ：将椭圆方程化为参数方程，分别导出两条曲线的长度，即可证明 31 05J 321641173kJ 33 342005kN3516464kN 36 37提示：建立以中垂线为y轴，细杆为x轴的平面直角坐标系，将电荷受到的力分解为x轴和y轴方向的分力由对称性，x轴