2012年二次函数中考大题总结(2)附答案详解.doc

一解答题（共30小题）1（2012天津）已知抛物线y=ax2+bx+c（02ab）的顶点为P（x0，y0），点A（1，yA）、B（0，yB）、C（1，yC）在该抛物线上（）当a=1，b=4，c=10时，求顶点P的坐标；求的值；（）当y00恒成立时，求的最小值2（2012泰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数y=x2+bx+c的图象经过B、C两点（1）求该二次函数的解析式；（2）结合函数的图象探索：当y0时x的取值范围3（2012泰安）如图，半径为2的C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为（1，0）若抛物线y=x2+bx+c过A、B两点（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P，使得PBO=POB？若存在，求出点P的坐标；若不存在说明理由；（3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，MAB的面积为S，求S的最大（小）值4（2012台州）某汽车在刹车后行驶的距离s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系得部分数据如下表：时间t（秒）00.20.40.60.81.01.2行驶距离s（米）02.85.27.28.81010.8（1）根据这些数据在给出的坐标系中画出相应的点；（2）选择适当的函数表示s与t之间的关系，求出相应的函数解析式；（3）刹车后汽车行驶了多长距离才停止？当t分别为t1，t2（t1t2）时，对应s的值分别为s1，s2，请比较与的大小，并解释比较结果的实际意义5（2012随州）在一次数学活动课上，老师出了一道题：（1）解方程x22x3=0巡视后，老师发现同学们解此道题的方法有公式法、配方法和十字相乘法（分解因式法）接着，老师请大家用自己熟悉的方法解第二道题：（2）解关于x的方程mx2+（m3）x3=0（m为常数，且m0）老师继续巡视，及时观察、点拨大家，再接着，老师将第二道题变式为第三道题：（3）已知关于x的函数y=mx2+（m3）x3（m为常数）求证：不论m为何值，此函数的图象恒过x轴、y轴上的两个定点（设x轴上的定点为A，y轴上的定点为C）；若m0时，设此函数的图象与x轴的另一个交点为B当ABC为锐角三角形时，观察图象，直接写出m的取值范围请你也用自己熟悉的方法解上述三道题6（2012绥化）如图，二次函数y=ax24x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（4，0）（1）求二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在点P，满足SAOP=8，请直接写出点P的坐标7（2012苏州）如图，已知抛物线y=x2（b+1）x+（b是实数且b2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C（1）点B的坐标为_，点C的坐标为_（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得QCO，QOA和QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由8（2012深圳）如图，已知ABC的三个顶点坐标分别为A（4，0）、B（1，0）、C（2，6）（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE；（3）设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F为顶点的三角形与ABC相似吗？9（2012绍兴）把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子要使折成的长方形盒子的底面积为484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，求此时长方形盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）10（2012绍兴）如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，连接AC，抛物线y=x24x2经过A，B两点（1）求A点坐标及线段AB的长；（2）若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿AO，OC，CB边向点B移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒当PQAC时，求t的值；当PQAC时，对于抛物线对称轴上一点H，HOQPOQ，求点H的纵坐标的取值范围11（2012陕西）如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”（1）“抛物线三角形”一定是_三角形；（2）若抛物线y=x2+bx（b0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如图，OAB是抛物线y=x2+bx（b0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由12（2012山西）综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线lAC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由（3）请在直线AC上找一点M，使BDM的周长最小，求出M点的坐标13（2012日照）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（3，0），经过B点的直线交抛物线于点D（2，3）（1）求抛物线的解析式和直线BD解析式；（2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EFBD，交抛物线于点F，是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由14（2012泉州）如图，O为坐标原点，直线l绕着点A（0，2）旋转，与经过点C（0，1）的二次函数y=x2+h的图象交于不同的两点P、Q（1）求h的值；（2）通过操作、观察，算出POQ的面积的最小值（不必说理）；（3）过点P、C作直线，与x轴交于点B，试问：在直线l的旋转过程中，四边形AOBQ是否为梯形？若是，请说明理由；若不是，请指出四边形的形状15（2012衢州）如图，把两个全等的RtAOB和RtCOD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）若AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），AOB在平移过程中与COD重叠部分面积记为S试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由16（2012青岛）在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示：（1）试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；（2）若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式；（3）若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润17（2012黔西南州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线的对称轴l与x轴相交于点M（1）求抛物线对应的函数解析式和对称轴；（2）设点P为抛物线（x5）上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；（3）连接AC，探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请说明理由18（2012黔东南州）如图，已知抛物线经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点（1）求抛物线的解析式（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MNy轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由19（2012莆田）如图，某种新型导弹从地面发射点L处发射，在初始竖直加速飞行阶段，导弹上升的高度y（km）与飞行时间x（s）之间的关系式为 （0x10）发射3s后，导弹到达A点，此时位于与L同一水平面的R处雷达站测得AR的距离是2km，再过3s后，导弹到达B点（1）求发射点L与雷达站R之间的距离；（2）当导弹到达B点时，求雷达站测得的仰角（即BRL）的正切值20（2012攀枝花）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点A、C、D均在坐标轴上，且AB=5，sinB=（1）求过A、C、D三点的抛物线的解析式；（2）记直线AB的解析式为y1=mx+n，（1）中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c，求当y1y2时，自变量x的取值范围；（3）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A、E两点之间的一个动点，当P点在何处时，PAE的面积最大？并求出面积的最大值21（2012宁波）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（1，0），B（2，0），交y轴于C（0，2），过A，C画直线（1）求二次函数的解析式；（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H若M在y轴右侧，且CHMAOC（点C与点A对应），求点M的坐标；若M的半径为，求点M的坐标22（2012南通）如图，经过点A（0，4）的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于B（2，0），C两点，O为坐标原点（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线y=x2+bx+c向上平移个单位长度，再向左平移m（m0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点P在ABC内，求m的取值范围；（3）设点M在y轴上，OMB+OAB=ACB，求AM的长23（2012南充）如图，C的内接AOB中，AB=AO=4，tanAOB=，抛物线y=ax2+bx经过点A（4，0）与点（2，6）（1）求抛物线的函数解析式；（2）直线m与C相切于点A，交y轴于点D动点P在线段OB上，从点O出发向点B运动；同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动；点P的速度为每秒一个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQAD时，求运动时间t的值；（3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当ROB面积最大时，求点R的坐标24（2012南昌）如图，已知二次函数L1：y=x24x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C（1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）研究二次函数L2：y=kx24kx+3k（k0）写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由25（2012内江）如图，已知点A（1，0），B（4，0），点C在y轴的正半轴上，且ACB=90，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，其顶点为M（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；（2）试判断直线CM与以AB为直径的圆的位置关系，并加以证明；（3）在抛物线上是否存在点N，使得SBCN=4？如果存在，那么这样的点有几个？如果不存在，请说明理由26（2012绵阳）如图1，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A在y轴正半轴上，二次函数y=ax2+x+c的图象F交x轴于B、C两点，交y轴于M点，其中B（3，0），M（0，1）已知AM=BC（1）求二次函数的解析式；（2）证明：在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线BD的解析式；（3）在（2）的条件下，设直线l过D且分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点，AC、BD相交于N若直线lBD，如图1，试求的值；若l为满足条件的任意直线如图2中的结论还成立吗？若成立，证明你的猜想；若不成立，请举出反例27（2012梅州）（1）已知一元二次方程x2+px+q=0（p24q0）的两根为x1、x2；求证：x1+x2=p，x1x2=q（2）已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B两点，且过点（1，1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d2取得最小值，并求出最小值28（2012娄底）已知二次函数y=x2（m22）x2m的图象与x轴交于点A（x1，0）和点B（x2，0），x1x2，与y轴交于点C，且满足（1）求这个二次函数的解析式；（2）探究：在直线y=x+3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由29（2012临沂）如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120至OB的位置（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由30（2012聊城）某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=2x+100（利润=售价制造成本）（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？答案与评分标准一解答题（共30小题）1（2012天津）已知抛物线y=ax2+bx+c（02ab）的顶点为P（x0，y0），点A（1，yA）、B（0，yB）、C（1，yC）在该抛物线上（）当a=1，b=4，c=10时，求顶点P的坐标；求的值；（）当y00恒成立时，求的最小值考点：二次函数综合题。菁优网版权所有专题：计算题。分析：（）将a=1，b=4，c=10代入解析式，即可得到二次函数解析式；将二次函数化为顶点式，即可得到得到抛物线顶点坐标；将A（1，yA）、B（0，yB）、C（1，yC）分别代入解析式，即可求出yA、yB、CyC的值，然后计算的值即可；（）根据02ab，求出x0=1，作出图中辅助线：点A作AA1x轴于点A1，则AA1=yA，OA1=1连接BC，过点C作CDy轴于点D，则BD=yByC，CD=1过点A作AFBC，交抛物线于点E（x1，yE），交x轴于点F（x2，0），证出RtAFA1RtBCD，得到=1x2，再根据AEGBCD得到=1x1，然后求出yA、yB、yC、EyE的表达式，然后y00恒成立，得到x2x11，从而利用不等式求出的最小值解答：解：（）若a=1，b=4，c=10，此时抛物线的解析式为y=x2+4x+10y=x2+4x+10=（x+2）2+6，抛物线的顶点坐标为P（2，6）点A（1，yA）、B（0，yB）、C（1，yC）在抛物线y=x2+4x+10上，yA=15，yB=10，yC=7=5（）由02ab，得x0=1由题意，如图过点A作AA1x轴于点A1，则AA1=yA，OA1=1连接BC，过点C作CDy轴于点D，则BD=yByC，CD=1过点A作AFBC，交抛物线于点E（x1，yE），交x轴于点F（x2，0），则FAA1=CBD于是RtAFA1RtBCD有，即=1x2过点E作EGAA1于点G，易得AEGBCD有，即=1x1点A（1，yA）、B（0，yB）、C（1，yC）、E（x1，yE）在抛物线y=ax2+bx+c上，得yA=a+b+c，yB=c，yC=ab+c，yE=，=1x1化简，得，解得x1=2（x1=1舍去）y00恒成立，根据题意，有x2x11，则1x21x1，即1x23的最小值为3点评：本题考查了配方法求二次函数顶点坐标，函数图象上点的坐标特征，以及相似三角形的性质，利用不等式求最值，综合性很强，旨在考查同学们的综合逻辑思维能力，要认真对待2（2012泰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数y=x2+bx+c的图象经过B、C两点（1）求该二次函数的解析式；（2）结合函数的图象探索：当y0时x的取值范围考点：二次函数综合题。菁优网版权所有专题：综合题。分析：（1）根据正方形的性质得出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求函数解析式解答；（2）令y=0求出二次函数图象与x轴的交点坐标，再根据y0，二次函数图象在x轴的上方写出c的取值范围即可解答：解：（1）正方形OABC的边长为2，点B、C的坐标分别为（2，2），（0，2），解得，二次函数的解析式为y=x2+x+2；（2）令y=0，则x2+x+2=0，整理得，x22x3=0，解得x1=1，x2=3，二次函数与x轴的交点坐标为（1，0）（3，0），当y0时，x的取值范围是1x3点评：本题综合考查了二次函数，正方形的性质，待定系数法求函数解析式，根据正方形的性质求出点B、C的坐标是解题的关键，也是本题的突破口，本题在此类题目中比较简单3（2012泰安）如图，半径为2的C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为（1，0）若抛物线y=x2+bx+c过A、B两点（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P，使得PBO=POB？若存在，求出点P的坐标；若不存在说明理由；（3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，MAB的面积为S，求S的最大（小）值考点：二次函数综合题。菁优网版权所有分析：（1）利用待定系数法求抛物线的解析式因为已知A（3，0），所以需要求得B点坐标如答图1，连接OB，利用勾股定理求解；（2）由PBO=POB，可知符合条件的点在线段OB的垂直平分线上如答图2，OB的垂直平分线与抛物线有两个交点，因此所求的P点有两个，注意不要漏解；（3）如答图3，作MHx轴于点H，构造梯形MBOH与三角形MHA，求得MAB面积的表达式，这个表达式是关于M点横坐标的二次函数，利用二次函数的极值求得MAB面积的最大值解答：解：（1）如答图1，连接OBBC=2，OC=1OB=B（0，）将A（3，0），B（0，）代入二次函数的表达式得，解得，y=x2+x+（2）存在如答图2，作线段OB的垂直平分线l，与抛物线的交点即为点PB（0，），O（0，0），直线l的表达式为y=代入抛物线的表达式，得x2+x+=；解得x=1，P（1，）（3）如答图3，作MHx轴于点H设M（xm，ym），则SMAB=S梯形MBOH+SMHASOAB=（MH+OB）OH+HAMHOAOB=（ym+）xm+（3xm）ym3=xm+ymym=xm2+xm+，SMAB=xm+（xm2+xm+）=xm2+xm=（xm）2+当xm=时，SMAB取得最大值，最大值为点评：本题是二次函数综合题，重点考查二次函数相关性质、圆的性质、垂直平分线/勾股定理、面积求法等知识点第（2）问中注意垂直平分线与抛物线的交点有两个，不要漏解；第（3）问中，重点关注图形面积的求法以及求极值的方法本题考查知识点较多，要求同学们对所学知识要做到理解深刻、融会贯通、灵活运用，如此方能立于不败之地4（2012台州）某汽车在刹车后行驶的距离s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系得部分数据如下表：时间t（秒）00.20.40.60.81.01.2行驶距离s（米）02.85.27.28.81010.8（1）根据这些数据在给出的坐标系中画出相应的点；（2）选择适当的函数表示s与t之间的关系，求出相应的函数解析式；（3）刹车后汽车行驶了多长距离才停止？当t分别为t1，t2（t1t2）时，对应s的值分别为s1，s2，请比较与的大小，并解释比较结果的实际意义考点：二次函数的应用。菁优网版权所有专题：行程问题。分析：（1）描点，用平滑曲线连接即可；（2）设出二次函数解析式，把3个点的坐标代入可得二次函数解析式，进而再把其余的点代入验证是否在二次函数上；（3）汽车在刹车时间最长时停止，利用公式法，结合（2）得到的函数解析式，求得相应的最值即可；分别求得所给代数式的值，根据所给时间的大小，比较即可解答：解：（1）描点图所示：（画图基本准确均给分）；（2）由散点图可知该函数为二次函数设二次函数的解析式为：s=at2+bt+c，抛物线经过点（0，0），c=0，又由点（0.2，2.8），（1，10）可得：解得：a=5，b=15；二次函数的解析式为：s=5t2+15t；经检验，其余个点均在s=5t2+15t上（3）汽车刹车后到停止时的距离即汽车滑行的最大距离，当t=时，滑行距离最大，S=，即刹车后汽车行驶了米才停止s=5t2+15t，s1=5t12+15t1，s2=5t22+15t2=5t1+15；同理=5t2+15，t1t2，其实际意义是刹车后到t2时间内的平均速度小于刹车后到t1时间内的平均速度点评：考查二次函数的应用；结合实际意义比较刹车时的平均速度的大小是解决本题的难点5（2012随州）在一次数学活动课上，老师出了一道题：（1）解方程x22x3=0巡视后，老师发现同学们解此道题的方法有公式法、配方法和十字相乘法（分解因式法）接着，老师请大家用自己熟悉的方法解第二道题：（2）解关于x的方程mx2+（m3）x3=0（m为常数，且m0）老师继续巡视，及时观察、点拨大家，再接着，老师将第二道题变式为第三道题：（3）已知关于x的函数y=mx2+（m3）x3（m为常数）求证：不论m为何值，此函数的图象恒过x轴、y轴上的两个定点（设x轴上的定点为A，y轴上的定点为C）；若m0时，设此函数的图象与x轴的另一个交点为B当ABC为锐角三角形时，观察图象，直接写出m的取值范围请你也用自己熟悉的方法解上述三道题考点：二次函数综合题。菁优网版权所有分析：（1）直接根据因式分解法解得x22x3=0的根；（2）观察方程mx2+（m3）x3=0可把原方程分解成（x+1）（mx3）=0，解出方程的两根即可；也可以运用公式法进行解答；（3）首先进行分类讨论，当m=0时，函数是一次函数，可以求出函数恒过x轴、y轴上的两个定点，当m0时，该函数是二次函数，函数的图象是抛物线，结合（2）问知识，可以得到恒过x轴、y轴上的两个定点；当m0时，由可知抛物线开口向上，且过点A（1，0），C（0，3）和B（，0），观察图象并结合题干条件，当ABC为Rt时，可知AOCCOB，进而求出OB的长度，若ABC为锐角三角形时，则09，解出m的取值范围即可解答：解：（1）由x22x3=0，得（x+1）（x3）=0，x1=1，x2=3； （3分）（2）方法一：由mx2+（m3）x3=0，得（x+1）（mx3）=0，m0，x1=1，x2=（3分）方法2：由公式法：，x1=1，x2=；（3）1当m=0时，函数y=mx2+（m3）x3为y=3x3，令y=0，得x=1；令x=0，则y=3直线y=3x3过定点A（1，0），C（0，3）（2分）2当m0时，函数y=mx2+（m3）x3为y=（x+1）（mx3），抛物线y=（x+1）（mx3）恒过两定点A（1，0），C（0，3）；当m0时，由可知抛物线开口向上，且过点A（1，0），C（0，3）和B（，0），（1分）观察图象，可知，当ABC为直角三角形时，则AOCCOB，|OC|2=|OA|OB|，32=1|OB|，OB=9，即B（9，0），当即：m，当m时，ABC为锐角三角形； （2分）观察图象可知当m0且m3时，点B在x轴的负半轴上，B与A不重合ABC中的BAC90，ABC是钝角三角形当m0且m3时，ABC为钝角三角形，综上当m时，ABC为锐角三角形 （2分）点评：本题主要考查二次函数综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数图象得性质，特别是解答第（3）问时，首先解出三角形ABC是直角三角形时m的值，进而求出ABC是锐角三角形时m的取值范围，此题难度较大6（2012绥化）如图，二次函数y=ax24x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（4，0）（1）求二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在点P，满足SAOP=8，请直接写出点P的坐标考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征。菁优网版权所有分析：（1）把点A原点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答；（2）根据三角形的面积公式求出点P到AO的距离，然后分点P在x轴的上方与下方两种情况解答即可解答：解：（1）由已知条件得解得，所以，此二次函数的解析式为y=x24x；（2）点A的坐标为（4，0），AO=4，设点P到x轴的距离为h，则SAOP=4h=4，解得h=4，当点P在x轴上方时，x24x=4，解得x=2，所以，点P的坐标为（2，4），当点P在x轴下方时，x24x=4，解得x1=2+2，x2=22，所以，点P的坐标为（2+2，4）或（22，4），综上所述，点P的坐标是：（2，4）、（2+2，4）、（22，4）点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上的点的坐标特征，（2）要注意分点P在x轴的上方与下方两种情况讨论求解7（2012苏州）如图，已知抛物线y=x2（b+1）x+（b是实数且b2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C（1）点B的坐标为（b，0），点C的坐标为（0，）（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得QCO，QOA和QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。菁优网版权所有分析：（1）令y=0，即y=x2（b+1）x+=0，解关于x的一元二次方程即可求出A，B横坐标，令x=0，求出y的值即C的纵坐标；（2）存在，先假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形设点P的坐标为（x，y），连接OP，过P作PDx轴，PEy轴，垂足分别为D、E，利用已知条件证明PECPDB，进而求出x和y的值，从而求出P的坐标；（3）存在，假设存在这样的点Q，使得QCO，QOA和QAB中的任意两个三角形均相似，有条件可知：要使QOA与QAB相似，只能QAO=BAQ=90，即QAx轴；要使QOA与OQC相似，只能QCO=90或OQC=90；再分别讨论求出满足题意Q的坐标即可解答：解：（1）令y=0，即y=x2（b+1）x+=0，解得：x=1或b，b是实数且b2，点A位于点B的左侧，点B的坐标为（b，0），令x=0，解得：y=，点C的坐标为（0，），故答案为：（b，0），（0，）；（2）存在，假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形设点P的坐标为（x，y），连接OP则S四边形POCB=SPCO+SPOB=x+by=2b，x+4y=16过P作PDx轴，PEy轴，垂足分别为D、E，PEO=EOD=ODP=90四边形PEOD是矩形EPO=90EPC=DPBPECPDB，PE=PD，即x=y由解得由PECPDB得EC=DB，即=b，解得b=2符合题意P的坐标为（，）；（3）假设存在这样的点Q，使得QCO，QOA和QAB中的任意两个三角形均相似QAB=AOQ+AQO，QABAOQ，QABAQO要使QOA与QAB相似，只能QAO=BAQ=90，即QAx轴b2，ABOA，Q0AABQ只能AOQ=AQB此时OQB=90，由QAx轴知QAy轴COQ=OQA要使QOA与OQC相似，只能QCO=90或OQC=90（I）当OCQ=90时，CQOQOAAQ=CO=由AQ=AQ2=OAAB得：（）2=b1解得：b=84b2，b=8+4点Q的坐标是（1，2+）（II）当OQC=90时，QCOQOA，=，即OQ2=OCAQ又OQ2=OAOB，OCAQ=OAOB即AQ=1b解得：AQ=4，此时b=172符合题意，点Q的坐标是（1，4）综上可知，存在点Q（1，2+）或Q（1，4），使得QCO，QOA和QAB中的任意两个三角形均相似点评：此题是一道综合题，难度较大，主要考查二次函数的性质，全等三角形的判定和性质，以及相似三角形的判定和性质，还考查等腰三角形的性质及勾股定理，同时还让学生探究存在性问题，对待问题要思考全面，学会分类讨论的思想8（2012深圳）如图，已知ABC的三个顶点坐标分别为A（4，0）、B（1，0）、C（2，6）（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE；（3）设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F为顶点的三角形与ABC相似吗？考点：二次函数综合题。菁优网版权所有专题：综合题。分析：（1）利用待定系数发求解即可得出抛物线的解析式；（2）求出直线BC的函数解析式，从而得出点E的坐标，然后分别求出AE及CE的长度即可证明出结论；（3）求出AD的函数解析式，然后结合直线BC的解析式可得出点F的坐标，由题意得ABF=CBA，然后判断出是否等于即可作出判断解答：解：（1）设函数解析式为：y=ax2+bx+c，由函数经过点A（4，0）、B（1，0）、C（2，6），可得，解得：，故经过A、B、C三点的抛物线解析式为：y=x23x+4；（2）设直线BC的函数解析式为y=kx+b，由题意得：，解得：，即直线BC的解析式为y=2x+2故可得点E的坐标为（0，2），从而可得：AE=2，CE=2，故可得出AE=CE；（3）相似理由如下：设直线AD的解析式为y=kx+b，则，解得：，即直线AD的解析式为y=x+4联立直线AD与直线BC的函数解析式可得：，解得：，即点F的坐标为（，），则BF=，AF=，又AB=5，BC=3，=，=，=，又ABF=CBA，ABFCBA故以A、B、F为顶点的三角形与ABC相似点评：此题属于二次函数的综合题目，涉及了相似三角形的判定与性质、待定系数法求二次函数解析式，两点间的距离公式，解答本题要求我们仔细审题，将所学知识联系起来，综合解答9（2012绍兴）把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子要使折成的长方形盒子的底面积为484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，求此时长方形盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用。菁优网版权所有分析：（1）假设剪掉的正方形的边长为xcm，根据题意得出（402x）2=484，求出即可；假设剪掉的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm2，则y与x的函数关系为：y=4（402x）x，利用二次函数最值求出即可；（2）假设剪掉的正方形的边长为xcm，利用折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，得出等式方程求出即可解答：解：（1）设剪掉的正方形的边长为xcm则（402x）2=484，即402x=22，解得x1=31（不合题意，舍去），x2=9，剪掉的正方形的边长为9cm侧面积有最大值设剪掉的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm2，则y与x的函数关系为：y=4（402x）x，即y=8x2+160x，即y=8（x10）2+800，x=10时，y最大=800即当剪掉的正方形的边长为10cm时，长方形盒子的侧面积最大为800cm2（2）在如图的一种剪裁图中，设剪掉的正方形的边长为xcm2（402x）（20x）+2x（20x）+2x（402x）=550，解得：x1=35（不合题意，舍去），x2=15剪掉的正方形的边长为15cm此时长方体盒子的长为15cm，宽为10cm，高为5cm点评：此题主要考查了二次函数的应用，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出函数关系式是解决问题的关键10（2012绍兴）如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，连接AC，抛物线y=x24x2经过A，B两点（1）求A点坐标及线段AB的长；（2）若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿AO，OC，CB边向点B移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒当PQAC时，求t的值；当PQAC时，对于抛物线对称轴上一点H，HOQPOQ，求点H的纵坐标的取值范围考点：二次函数综合题。菁优网版权所有专题：压轴题；动点型；分类讨论。分析：（1）已知抛物线的解析式，将x=0代入即可得A点坐标；由于四边形OABC是矩形，那么A、B纵坐标相同，代入该纵坐标可求出B点坐标，则AB长可求（2）Q点的位置可分：在OA上、在OC上、在CB上 三段来分析，若PQAC时，很显然前两种情况符合要求，首先确定这三段上t的取值范围，然后通过相似三角形（或构建相似三角形），利用比例线段来求出t的值，然后由t的取值范围将不合题意的值舍去；当PQAC时，BPQBAC，通过比例线段求出t的值以及P、Q点的坐标，可判定P点在抛物线的对称轴上，若P、H1重合，此时有H1OQ=POQ，显然若做点H1关于OQ的对称点H2，那么亦可得到H2OQ=POQ，而题干要求的是HOQPOQ，那么H1点以下、H2点以上的H点都是符合要求的解答：解：（1）由抛物线y=x24x2知：当x=0时，y=2，A（0，2）由于四边形OABC是矩形，所以ABx轴，即A、B的纵坐标相同；当y=2时，2=x24x2，解得x1=0，x2=4，B（4，2），AB=4（2）由题意知：A点移动路程为AP=t，Q点移动路程为7（t1）=7t7当Q点在OA上时，即07tt2，1t时，如图1，若PQAC，则有RtQAPRtABC=，即，t=，此时t值不合题意当Q点在OC上时，即27t76，t时，如图2，过Q点作QDABAD=OQ=7（t1）2=7t9DP=t（7t9）=96t若PQAC，则有RtQDPRtABC，即=，t=，t=符合题意当Q点在BC上时，即67t78，t时，如图3，若PQAC，过Q点作QGAC，则QGPG，即GQP=90QPB90，这与QPB的内角和为180矛盾，此时PQ不与AC垂直综上所述，当t=时，有PQAC当PQAC时，如图4，BPQBAC，=，=，解得t=2，即当t=2时，PQAC此时AP=2，BQ=CQ=1，P（2，2），Q（4，1）抛物线对称轴的解析式为x=2，当H1为对称轴与OP的交点时，有H1OQ=POQ，当yH2时，HOQPOQ作P点关于OQ的对称点P，连接PP交OQ于点M，过P作PN垂直于对称轴，垂足为N，连接OP，在RtOCQ中，OC=4，CQ=1OQ=，SOPQ=S四边形ABCDSAOPSCOQSQBP=3=OQPM，PM=，PP=2PM=，NPP=COQRtCOQRtNPP，PN=，PN=，P（，），直线OP的解析式为y=x，OP与NP的交点H2（2，）当yH时，HOPPOQ综上所述，当yH2或yH时，HOQPOQ点评：函数的动点问题是较难的函数综合题，在解题时要寻找出关键点，然后正确的进行分段讨论，做到不重复、不漏解11（2012陕西）如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”（1）“抛物线三角形”一定是等腰三角形；（2）若抛物线y=x2+bx（b0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如图，OAB是抛物线y=x2+bx（