江苏省2016年专转本高等数学试卷及解答.pdf

绝密 启用前 江苏省 2016 年普通高校专转本选拔考试 高等数学 试题卷 注意事项 1 本试卷分为试题卷和答题卡两部分 试题卷共 3 页 全卷满分 150 分 考试时间 120 分钟 2 必须在答题卡上作答 作答在试题卷上无效 作答前务必将自己的姓名和准考证号准确清晰 地填写在试题卷和答题卡上的指定位置 3 考试结束时 须将试题卷和答题卷一并交回 一 选择题 本大题共6小题 每小题4分 共24分 在下列每小题中 选出一个正确答案 请在答 题卡上将所选的字母标号与黑 1 函数 f x在 0 xx 处有定义是极限 0 lim xx f x 存在的 D A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条件 D 无关条件 2 设 sinf xx 当0 x 时 下列函数中是 f x的高阶无穷小的是 C A tan x B 11x C 2 1 sinx x D e1 x 解 00 tan limlim1 sin xx xx xx 00 1 111 2 limlim sin2 xx x x xx 2 00 1 sin 1 limlimsin0 sin xx x x x xx 答案 C 3 设函数 f x的导函数为sin x 则 f x的一个原函数是 B A sin x B sin x C cosx D cosx 解 sinfxx 1 sin dcosf xx xxC f x的原函数 112 cos dsinxCxxC xC 可见 f x的一个原函数是sin x 取 12 0CC 答案 B 4 二阶常系数非齐次线性微分方程22 e x yyyx 的特解 y的正确假设形式为 D A e x Ax B 2ex Ax C e x AxB D e x x AxB 解 由 2 20rr 得 12 12rr 可见1 是特征单根 因而可设特解 e x yx AxB 答案 D 5 函数 2 zxy 则 10 d xy z B A 2d2dxy B 2d2dxy C 2d2dxy D 2d2dxy 解 2 z xy x 2 z xy y ddd2 dd zz zxyxyxy xy 10 d2d2d xy zxy 答案 B 6 幂级数 2 1 2n n n x n 的收敛域为 A A 1 1 2 2 B 1 1 2 2 C 1 1 2 2 D 1 1 2 2 解 1 22 2 2 2 2 1 limlim2 2 1 n n nn nn n n 收敛半径 1 2 R 当 1 2 x 时 级数 2 1 1 n n n 收敛 当 1 2 x 时 级数 2 1 1 n n 收敛 因而收敛域为 1 1 2 2 答案 A 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 4 分 共 24 分 7 极限 1 0 lim 12 x x x 2 e 解 1 22 2 0 lim 1 2 e x x x 8 已知向量 1 0 2 a 432 b 则 2 2 abab 48 解 2 2 3 6 ab 2 962 ab 2 2 48abab 9 函数 exf xx 的n阶导数 n fx exxn 解 ee 1 e xxx fxxx e 1 e 2 e xxx fxxx e nx fxnx 10 函数 2 11 sin 2 x f x xx 则 f x的图像的水平渐近线方程为 1 2 y 解 22 111 11 lim limsinlim 222 xxx xx f x xxxx 所以水平渐近线方程为 1 2 y 11 函数 2 ln d x x F xt t 则 F x 2ln2ln x 解 ln22ln2ln22lnln2ln2lnF xxxxxx 12 无穷级数 1 1 1 2 n n n 请填写收敛或发散 发散 解 因为级数 1 1 2 n n 发散 1 1 2 n n n 收敛 所以无穷级数 1 1 1 2 n n n 发散 三 计算题 本大题共 8 小题 每小题 8 分 共 64 分 13 求极限 2 0 1cos lim sin x x xxx 解 223 000 1coscos sincos sin lim limlim sinsin xxx xxxxxxx xxxxxx 2 22 00 1 2 1cos22 2 limlim 333 xx x x xx 14 设函数 yy x 由方程exyxy 所确定 求 d d y x 解 dd e 1 dd xy yy yx xx d1e de1 xy xy yy xx 15 计算定积分 5 1 1 d 1 1 x x 解 5 1 1 d 1 1 x x 1xt 22 2 0 00 21 d2 1 d2 ln 1 2 2ln3 1 1 t txtt tt 16 求不定积分 2 ln d 1 x x x 解 2 ln1ln1 dln ddln 1 111 xx xxx xxxx ln11 d 11 x x xx x ln11lnln dlnln 1 ln 11111 xxxx xxxCC xxxxxx 17 求微分方程 2 2sinx yxyx 满足条件 0y 的解 解 原方程可化为 2 2sin x yy xx 于是有 2 p x x 2 sin x q x x 则方程的通解为 22 dd d d 2 sin e ed e ed xx p xxp xx xx x yq xxCxC x 22 11 sin d cos x xCxC xx 由 0y 得1C 因而所求解为 2 cos1x y x 8 求由直线 1 l 111 131 xyz 和直线 2 l 1 12 13 xt yt zt 所确定的平面方程 解 依题意所求平面经过点 1 1 1 法向量13172 123 ijk nijk 因而所求平面方程为 7 1 2 1 1 0 xyz 即7240 xyz 19 设 22 zf xyyx 其中函数f具有二阶连续偏导数 求 2 z x y 解 设 2 uxy 2 vyx 则 zf u v 于是有 12 2 zfufv xff xuxv x 2 1122 2 ffffzuvuv x x yuyvyuyvy 11122122111222 2 2 2 2 41 2xfyffyfxfxyfyf 20 计算二重积分d d D x x y 其中D是由直线2yx x轴及曲线 2 4 yx所围成的平面闭区 域 解 2 24 242 2 020 2 1 d dddd 2 y y y y D x x yyx xxy 22 222 00 14 4 2 d 2 d 23 yyyyyy 或 4cos4cos 32 44 0000 1 d dd cos2 d cos d 3 D x x yr rrrr 4242 44 00 6416 cos16cos d 4cos3cos d 33 2 44 00 163161 cos43 1 cos2 1 cos2 d 1 2cos2 1 cos2 d 32322 4 4 0 0 88 114 cos2 cos4 d sin2sin4 33 243 u x f v y 2yx x y O 2 4yx 2 2 2 四 证明题 本大题共 2 小题 每小题 9 分 共 18 分 21 证明 函数 f xx 在0 x 连续但不可导 解 由 00 lim lim 0 0 xx f xxf 因而函数 f xx 在0 x 连续 因为 000 0 0 limlimlim1 xxx f xfxx f xxx 000 0 0 limlimlim1 xxx f xfxx f xxx 所以函数 f xx 在0 x 不可导 22 证明 当 1 2 x 时 不等式 32 213xx 成立 解 设 32 213f xxx 2 666 1 fxxxx x 令 0fx 得 12 01xx 因为 0 1f 1 0f 1 0 2 f 而 32 lim lim 213 xx f xxx 所以当 1 2 x 时 函数 f x有最 小值 1 1 0 2 ff 因而 当 1 2 x 时 有 0f x 即有 32 213xx 五 综合题 本大题共 2 小题 每小题 10 分 共 20 分 23 平面区域D由曲线 22 2xyy yx 及y轴所围成 1 求平面区域D的面积 2 求平面区域D绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积 解 1 平面图形面积 1 3 1 2 2 0 0 21 11 d 4343 Axxxxx 2 旋转体的体积 11 2222 00 11 d 22 1 d x Vxxxxxxx 1 2 32 0 117 2 32262 xxx 24 设函数 f x满足等式 2 2 1 1 2 df xf xx x 1 求 f x的表达式 2 确定反常积分 1 df xx 的敛散性 解 1 设 2 1 daf xx 则 2 1 2f xa x