2017年南高自主招生考试题-(解析).docx

南充高中2017年6.17自主招生考试数学题卷（一）（考试时间100分钟，全卷满分150分）一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）1. 若与是同类型，则的值为（ ） A.2B.3C.4D.5【解析】：根据同类项中相同字母的指数相同的概念求解.【解答过程】解：-x3ya与xby是同类项，a=1，b=3，则a+b=1+3=4答案：C选项【点评】：本题以利用同类项的概念求字母的值为考点，主要考察了学生对代数式的把握。2. 有3块积木，每一块的各面都涂上不同的颜色，3块的涂法完全相同，现把它们摆放成不同的位置（如图），请你根据图形判断涂成绿色一面的对面的颜色是（ ） A.红B.黄C.黑D.白【解析】：本题主要考查规律探索。根据题意，可知个积木的每个面都是不同的颜色，由第一个积木可知绿色的对面不是白和黑，由第二个积木可知绿色的对面不是蓝和红，因此，绿色的对面为黄色。故A、B、D项不符合题意，C项符合题意。答案：C选项【点评】：正方形的面的对应关系是中学几何的一个难点，对学生的空间想象能力有一定的要求，对于这类题目，在空间想象的同时，再进行一系列的逻辑推理，便迎刃而解。BCA3. 如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别为 若，且原点O与A、B的距离分别为4、1，则关于 点O的位置，下列叙述正确的是（ ）A. 在A的左边或者A的右边B.在B的左边或者B的右边C.在C的右边D.介于B、C之间【解析】:由A、B、C三点表示的数之间的关系结合三点在数轴上的位置即可得出,再根据原点O与A、B的距离分别为4、1,即可得出、,结合a、b、c间的关系即可求出a、b、c的值,由此即可得出结论.【解答过程】解:,原点O与A、B的距离分别为4、1,点O介于B、C点之间.答案：D选项【点评】：本题主要考查了数轴以及绝对值的相关知识，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键。4.2014年某省财政收入比2013年增长8.9%，2015年比2014年增长9.5%，若2013年和2015年我省财政收入分别为a亿元和b亿元，则a、b之间满足的关系式为（）A.b=a(1+8.9%+9.5%)B.b=a(1+8.9%x9.5%)C.b=a(1+8.9%)(1+9.5%)D.b=a(1+8.9%)2(1+9.5%)【解析】：首先由2014年我省财政收入比2013年增长8.9%，可以表示出2014年财政收入=2013年的财政收入(1+8.9%)；再根据2015年比2014年增长9.5%，还可得到2015年财政收入=2014年的财政收入(1+9.5%)=2013年的财政收入(1+8.9%)(1+9.5%)；接下来，结合a、b分别表示2013年和2015年我省财政收入，至此即可列出a、b之间满足的关系式了.【解答过程】解：2013年我省的财政收入a亿元，2014年我省的财政收入比2013年增长8.9%，2014年我省的财政收入为a(1+8.9%)亿元.2015年比2014年增长9.5%，2015年我省的财政收入为a(1+8.9%)(1+9.5%)亿元.2015年我省财政收入为b亿元，b=a(1+8.9%)(1+9.5%).答案：C选项【点评】：本题是一道根据题意列代数式的题目，找出题目中的等量关系是解题的关键。5.一列数a1，a2，a3，满足条件：a1=12，a2=11-an-1(n2，且n为整数)，则a2017等于（）A.-1B.12C.1D.2【解析】：求出数列的前4项，继而得出数列的循环周期，然后根据所得的规律进行求解即可【解答过程】解：a1=，an=，a2=2，a3=1，a4=，这列数每3个数为一循环周期，20173=6721，a2017=a1=，答案：B选项6.直线(是不等于0的整数)与直线的交点恰好是格点，那么满足条件的直线有（）A.6条B.7条C.8条D.无数条【解析】：联立直线与直线,求出p的取值范围即可求得结果.【解答过程】解：联立直线与直线,得,为整数,p也为整数.的取值范围为:,且,.而.,有四条直线,只有三条直线,那么满足条件的直线有7条.所以B选项是正确的.答案：B选项【点评】：本题考查了两条直线相交或平行问题，难度较大，关键不要漏掉某条直线。7. 如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF.连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H，下列结论：AEDDFB;若AF=2DF，则BG=6GF. 其中正确的结论（）A. B.C.D.【解析】：先证明ABD为等边三角形，根据“SAS”证明AEDDFB；证明BGE=60=BCD，从而得点B、C、D、G四点共圆，因此BGC=DGC=60，过点C作CMGB于M，CNGD于N证明CBMCDN，所以S四边形BCDG=S四边形CMGN，易求后者的面积过点F作FPAE于P点，根据题意有FP：AE=DF：DA=1：3，则FP：BE=1：6=FG：BG，即BG=6GF【解答过程】解：ABCD为菱形，AB=ADAB=BD，ABD为等边三角形A=BDF=60又AE=DF，AD=BD，AEDDFB，故本小题正确；BGE=BDG+DBF=BDG+GDF=60=BCD，即BGD+BCD=180，点B、C、D、G四点共圆，BGC=BDC=60，DGC=DBC=60BGC=DGC=60过点C作CMGB于M，CNGD于N则CBMCDN，（AAS）S四边形BCDG=S四边形CMGNS四边形CMGN=2SCMG，CGM=60，GM=CG，CM=CG，S四边形CMGN=2SCMG=2CGCG=CG2，故本小题正确；过点F作FPAE于P点AF=2FD，FP：AE=DF：DA=1：3，AE=DF，AB=AD，BE=2AE，FP：BE=1：6=FG：BG，即BG=6GF，故本小题正确综上所述，正确的结论有答案：D选项【点评】：本题主要考查了菱形性质和判定的综合应用，全等三角形的判定与性质，以及矩形、菱形、正方形的相关性质。8.一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字-1、1、2. 随机摸出一个小球（不放回）其数字记为p，再随机摸出另一个小球其数字记为q，则满足关于的方程有实数根的概率是（）A. B.C.D.【解析】：本题主要考查求随机事件概率的方法。【解答过程】解：画树状图如图所示，共有种等可能的情况，因为方程有实数根，则，满足条件的有，共种情况，所以方程有实数根的概率是。故本题正确答案为A。答案：A选项【点评】：本题考察了求随机事件概率的方法，常用的直观方法有列举法，表格法，树状图等9.如图，BC是半圆O的直径，EFBC于点F，=5，又AB=8，AE=2，则AD的长为（）A. B.C.D.【解析】：连接BE，则ABE与BEC都是直角三角形，在直角ABE利用勾股定理即可求得BE的长，在直角BEC中利用射影定理即可求得EC的长，根据切割线定理即可得到：ADAB=AEAC据此即可求得AD的长解答：【解答过程】解：连接BEBC是直径AEB=BEC=90在直角ABE中，根据勾股定理可得：BE2=AB2-AE2=82-22=60=5设FC=x，则BF=5x，BC=6x又BE2=BFBC即：30x2=60解得：x=EC2=FCBC=6x2=12EC=2AC=AE+EC=2+2ADAB=AEACAD=故选B答案：B选项【点评】：本题主要考查了射影定理以及切割线定理，对于两个定理的灵活应用是解题关键10.如图，二次函数（）的图像经过点（1，2）且与轴交点的横坐标分别为. 其中-10，12，下列结论：，其中结论正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】：由抛物线的开口方向判断a的符号,由抛物线与y轴的交点判断c的符号,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.解:由抛物线的开口向下知,与y轴的交点为在y轴的正半轴上,得,对称轴为,而抛物线与x轴有两个交点,当时,当时,.,则,(2),(3).由(1),(3)得到,由(1),(2)得到,上面两个相加得到,.所以D选项是正确的.答案：D选项【点评】：本题考查了二次函数图像与系数的关系。二、填空题（本大题6个小题，每小题5分，共30分）11.不等式组的解集是 .【解析】：首先分别解出两个不等式,再根据:大大取大,小小取小,大小小大取中,大大小小取不着,确定出两个不等式的公共解集即可.【解答过程】解:,由得:,由得:,不等式组的解集为:无解.答案：无解【点评】：此题主要考查了不等式组的解法,解题过程中要注意:移项,去括号时的符号变化;去分母时要注意不要漏乘没有分母的项;不等式两边同时除以同一个负数时,不等号的方向要改变.12.观察下列关于的单项式，探究其规律：按照上述规律，第2015个单项式是 .【解析】：先观察所给的单项式，发现单项式的系数和x的指数在变化，需要分开观察单项式的系数和x的指数变化规律；单项式的系数是1、3、5、7、9、11，是连续的奇数，x的指数是1、2、3、4、5、6，是连续的自然数【解答过程】解：观察题目中所给的单项式可知，第n个单项式为：(2n-1)xn.于是可知当n=2015时，第2015个单项式为：4029x2015.答案：4029x2015.13.计算：= .【解析】：仔细观察,知原式还可以是.又,依此类推可以知道,将原式倒过来后再与原式相加,问题就转化为.解:设,又,+,得,+,得,故;答案:612.5.【点评】：本题主要考查了有理数的混合运算.解答此题时,采用了“倒序相加法”,该方法在解答此类的数列时,会经常用到.14.如图，在直角坐标系中，已知点的坐标为（1，0），将线段按照逆时针方向旋转45，再将其长度伸长为的2倍，得到线段;又将线段按照逆时针方向旋转45，长度伸长为的2倍，得到线段;如此下去，得到线段（n为正整数），则点的坐标为 .【解析】：抓住变化的规律是解决这道题的主要方法。【解答过程】解：旋转36045=8次能落在x轴正半轴上，并且每旋转一次OP扩大一倍，OPn=，旋转到点Pn的坐标为(,0),其中n满足的条件是n=8k(k=0,1,2的整数).答案：（32，0）15. 已知是关于的二次函数的图象与轴两交点的横坐标，且，那么与间的函数关系式为 ，其函数图像在第 象限内.【解析】：由于t1、t2是二次函数的图象与x轴两交点的横坐标，利用根与系数的关系可以得到t1+t2=2，又，利用同底数幂的乘法法则计算即可解决问题【解答过程】解：t1、t2是二次函数的图象与x轴两交点的横坐标，t1+t2=2，而，xy=102=100，y=100x(x0).1000，x0，其函数图象在第一象限内。答案：y=100x(x0)，一。16. 如图，一次函数的图象经过点P（1，4），且与轴的正半轴交与A、B两点，点O为坐标原点，当AOB的面积最小时，k，b的值为 .【解析】：可以把A、B两点的坐标用k、b表示出来，再通过三角形的面积公式，即可求解。【解答过程】解：将代入函数可知：令，则令，则要使面积最大，最大，即最小即可，取-4三、解答题（本大题6个小题，共80分）17.（两个小题，每小题7分，共计14分）（1）先化简：，再从-3、2、-2中选一个你认为合适的数作为的值代入求值.（2）已知，求的值.【解析】（1）本题主要考查求代数式的值。先将括号里的式子通分，再将除法化为乘法，运用平方差公式进行化简，合并同类项并约分即可化为最简式，代入值时，应该使原式中的分母、除式不为零，故选，代入计算即可。（2）由二次根式有意义的条件可以知道,然后化简得,由算术平方根的定义可以知道:,最后结合平方差公式可求得答案.【解答过程】：解：（1）原式，当时，原式（2）,.18.（本小题满分12分）在圆内接四边形ABCD中，CD为BCA外角的平分线，F为上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于E.（1）求证ABD为等腰三角形.（2）求证ACAF=DFFE.【解析】本题主要考查圆中的计算问题和相似三角形的应用。（1）根据圆内接四边形对角互补的性质、角平分线定义以及平角定理，可得，根据等角对等边的性质，可知，根据等腰三角形的定义判断即可。（2）根据等弦所对的弧长相等、等弧所对的圆周角相等以及平角定理，可得，根据圆内接四边形对角互补的性质和平角定理，可得，根据两角对应相等的两个三角形相似的判定定理，可知，根据相似三角形对应边成比例的性质和等弧所对的弦长相等的性质即可得证。【解答过程】：证明：（1）四边形ABCD是圆O的内接四边形，DCB+DAB=180，MCD+DCB=180，MCD=DAB，CD为BCA的外角的平分线，MCD=ACD，DCA和DBA都对弧AFD，DCA=DBA，DAB=DBA，DB=DA，ABD为等腰三角形（2）由（1）知AD=BD，BC=AF，则弧AFD=弧BCD，弧AF=弧BC，BDC=ADF，弧CD=弧DF，CD=DF，BDC+BDA=ADF+BDA，即CDA=BDF，而FAE+BAF=BDF+BAF=180，FAE=BDF=CDA，同理DCA=AFE在CDA与FAE中，CDA=FAE，DCA=AFE，CDAFAE，即CDEF=ACAF，19. （本小题满分12分）某项工程，甲队单独完成是乙、丙两队合作完成时间的a倍，乙队单独完成是甲、丙两队合作完成时间的b倍，丙队单独完成是甲、乙合作完成时间的c倍.求的值.【解答过程】解：设甲、乙、丙单独做用的天数分别为x、y、z天.那么：,进一步变形可得：;同理可得：;20.（本小题满分12分）已知关于的方程的两实根为.（1）能否确定与2的大小关系并说明理由；（2）若，且以、为三边的三角形是等腰三角形，求b的值.【解析】：(1)配方,变为完全平方的形式比较;(2)结合等腰三角形的性质和代数式变形来解答.【解答过程】：解:(1)关于x的方程的两实根为、.,.(2)关于x的方程的两实根为、.,.(1)因为,故与不相等;(2)若,根据,而则则不能构成三角形;(3)所以.又.所以.两边平方,得.计算得出.,或.或.21.（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于A、B两点，点P（0，k）是轴的负半轴上的一个动点，以点P为圆心，3为半径做P.（1）连接PA，若PA=PB，试判断P与轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以P与直线的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形.【解析】：（1）通过一次函数可求出A,B两点的坐标及线段的长,再在RTAOP利用勾股定理可求得当PB=PA时k的值,再与圆的半径相比较,即可得出P与X轴的位置关系.（2）根据正三角形的性质,分两种情况讨论:当圆心在p线段OB上时,当圆心P在线段OB的延长线上时,从而求得的k值.【解答过程】解：(1)P与x轴相切，直线y =2x8与x轴交于A(4,0),与y轴交于B(0,8)，OA =4，OB =8.由题意，OP=k，PB=PA=8+k.在RtAOP中,k=3，OP等于P的半径。P与x轴相切。由y=2x8得A(4,0),B(0,8)，由勾股定理,得PA=，PB=k+8,由PA=PB,得=k+8，解得k=3，P与x轴相切；(2）设P与直线l交于C,D两点,连接PC,PD,当圆心在线段OB上时,作ECD于E，CD为正三角形，DE=,CD=,D=3.E=.AOB=EB=90,ABO=BE，AOBEB.=,即，B=，O=BOB=.(0,).k=.当圆心P2在线段OB延长线上时，B=，O=BO+B=.(0,).k=.当k=或k=时，以P与