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竞赛 数学 中的 指数 对数 试题 探究

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l l 6 数学通讯 一2 0 1 5年 第 5 6期 上半 月 课外 园地 竞赛数学中的指数 对数试题探究 吕 孙忠 高文华 北京师范大学研究生院 1 0 0 8 7 5 北京师范大学珠海分校应用数学学 院 5 1 9 0 8 5 本文研 究 近几年 竞 赛 中有 关 指数 和 对 数 的赛 题 文章从 一题 多解 一 题多 变 的角度 对 这 些试 题 进行 了探 究 以期对 考生 和一 线 的老师 有所 帮助 1 化繁 为简 巧妙 求值 例 1 2 0 1 4年全 国联赛 一 试 若 正数 a b满 足2 l o g 2 3 l o g 3 b l o g 6 6 则一 1 的值 为 解 法 1 设 2 l o g 2 一 3 l o g 3 b l o g 6 十 b 一 t 那 么 一 2 b 3 4 b一 6 所 以 4 1 a 4 b 一 1 0 8 2 3 D 口 6 一 0 解法 2 2 4 l o g 2 n l o g 2 4 a 3 4 l o g 3 b l o g 2 7 b 利用 换底公 式 可得 l g 4 a 一 l g 2 7 b 一 l g a 4 6 l g 2 l g 3 l g 6 F I等 比 定 理 得 器 即 1 0 8 a b n b 两 边除 以 a b 可得 1 1 0 8 点评 解 法 1 把握住 了指数 和埘 数运算 的性 质 灵活转 换 解 法 2巧 妙 利用 了对 数运 算 性 质 中 的换底公式和等比定理 得到了一个等式 巧妙解 决 了 问题 观 察例 1中等 式 如 果将 数 字 2 3符 号 化 将 得到更 加一 般 的推 沦 推论 1 若 正数 n b 满 足 1 7 4 l o g 2 4 t o g b l o g n 4 b 2 0 则 的值 n 0 为 1 l 2 2 证 明 3 2 1 4 l o g n z 2 l o g b l 0 g n 6 一 t 则 一 7 1 l I b一 1 l 2 t x 2 4 6一 z 2 所以 丢 一 一 一 1 1 x i 712 r2 b a b 1 l 2 在 数学 学 习 的过 程 中 我 们 要 有 不 断 去 猜 想 的习惯 通过 接连 不断 的猜 想 可 以得 到很 多 富 有 新 意 的结论 本题 还可 以继 续推 广得 到推 论 2 推论 2 若正数 Y Y 满足 4 l o g y 一 z 2 l o g 一 一 l o g yk l o g If l 4 2 4 4 n 0 贝 0 I 一 yl y2 一 十 一一 一的值为 n 7 1 2 m 1 Yz Yk Yl Y2 证 明 1 4 l o g y 1 2 4 l o g y 2 一 一 4 l o g 一 l o g l 2 4 4 Y k 贝 0 Y l 一 i l 1 2 2 2 Y 一 l 斗 2 4 Y 一 1 2 钾 所 以 一一上 L 2 yk 1 2 k 一 1 2 一 1 1 2 2 n 女 一 一 一 一 l 2 Yk 一一 l 2 1 l 2 一 2 女 在 介绍例 2 前 需 要介 绍一 个初 等数 论 中的著 名 定理 一 一 算术 基本 定理 引理 1 任 一大 于 1的整 数 能表 成 质 数 的乘 积 即任 一大 于 1 的整数 一 P p z P P P P 其 中 P P z 是 质 数 并 且 若 一 q 1 q 2 q q q 2 q 其 中 q 1 q 2 q 是 质 数 则 一 P 一 q i 一 1 2 例 2 2 O 1 3年新 知杯 上 海市 高 中数 学竞 赛 若 口 b f d为整 数 且 a l g 2 4 b l g 3 4 c l g 5 d l g 7 2 0 1 3 则 有序 数组 n b c 二 解 由题意 得 2 3 5 7 一 1 0 一 2 圳 5 由算 术 基 本 定 理 可 知 口 b 一 2 01 3 0 2 0l 3 0 点评 将对数运算转化成 了指数运算 运用 算术 基本 定理 解 决 了该 问题 由质 数 基 本 定 理 可 知 任 意一 个大 于 l的 整数 能 表 成 质数 的 乘 积 所 以可 以将 对数 中 的 真数 分解 成 质 数 然 后 根 据 对 数 的运算 规 则 将 乘 法 转 化 为 加 法 得 到 以 下 推 论 3 推 论 3 若 1 2 女 为整 数 且 1 l o g M Pl 4 2 l o g M 2 4 n l o g M 户女一 N P1 P 2 P 为 互 不 相 同 的质 数 其 中 M P p 2 贝 0 一 N i 1 2 忌 证 明 l l o g M P1 4 卵 2 l o g M 户2 斗一 4 l 2 l o g M P 课 外 园地 数学通讯 2 O 1 5年第 5 6期 上半 月 1 l 7 一 N 即 Pl l 2 z P 一 M 户 1 l 2 2 X p Pl 1 2 2 p N 所 以 一 口 N i 一 1 2 屉 例 3 2 0 1 0年甘 肃预赛 设 忌 志 0 令 l o g 2 z Y 则 姜 一 得 一 3 3 从而 l o g 4 J 一 3 一 T 点 评 本 题是 一 道叠 加 对数 符 号 的题 目 第 一 眼看 显得较 为 复杂 利 用好 对 数 的性 质 问题 就 不 难 r 此 外该 题还 涉 及 到 一 个 简 单 三 次方 程 的 求解 需要注意的是对数和指数之间 的转换要谨 慎 同时 还 可 以将 该 题作 如 下 的推 论 得 到更 加 一 般化 的结 论 推 论 4 若 l o g k 1 o g o l o g k 1 o 氍 0且 a 1 k j 走 2均 大 于 0 则 1 o 屯z 一 c筹 证 明 由 条 件 可 得 1 l o 1 o g k z 一 l o g 1 o g k 贝 4 1 o g 工 1 o g z 令 I o g 一 y 贝 0 一 即 一 定 9 定1 筹 1 一 黪 例 6 2 0 1 1年 天 津 预 赛 l o g 3 t a n d一 l o g t a n 卢 且 一 p 一詈 则 的 值 是 解 法 1 令 t a n口一 则 t a n p 1 t a n t n 要 一 得到方程 一 解 b 1 4 1 3 3 得 一 所 以 1 解 法 2 由题 意 可 得到 l o g t a n口4 l o g t a n o 且 口t a n a t a n 1 t a n a 一 一 一 譬 类 似 于 方 法 一 同 样 也 可 以 得 到 一 丢 点 评 本题 将对 数 和三 角 函数 的知 识点 整合 在 了一 起 两 种解 法都 是 通过 正切 函数 的性 质 将 问题转化成了一个一元二次方程 技巧性较高 例 7 2 0 1 2 年 湖南 预赛 3 1 6 十 2 8 1 一 5 x 3 6 的解 为 解 原 方 程 可 转 化 为 3 4 一 5 告 2 0 令 丢 一 则3 t 一 5 t 4 2 0 可 得 1 1 一 詈 I 所 以 得 o 或 点评 本题 通 过 换元 法 将 一 个 复杂 方程 转 化成 了一 个一 元二 次方 程 使 得 问题 简单 化 思 路 自然 方 法简单 1 3 探 索不 等 抓 住等 号 l 1 8 数学通讯 一 2 0 1 5年 第 5 6期 上半 月 课外园地 例 8 2 0 1 3年 辽 宁预赛 若 2 2 一 2 2 十 2 2 一 2 则 2 的最 大值 为 解 法 1 2 一 2 2 2 2 2 1 字 由 单调性可知 n十b 1 得 n 2 由2 q 2 2 a rr c 可 得2 一 南一 l 十 l 一 号 当 且 仅 当 n 一 6 1 时 上式 等号 成立 所 以 2 r 的最大 值 为 解 法 2 令 2 卜 2 一 t 则 2 2 一 t 南 2 2 2 一 2 可 得 一 以 2 2 为根建 立一 元二 次方程 z 一 r t 一 0 A t 一4 t 0 则 t 4或 t 0 由于 2 2 均 o r 大于0 所以 4 即 4 呵得2 当 上 且 仪 当 n一 J 1 成 立 点 评 解法 1的关键 是在变 形 过程 中利用 均 值不等 式得 到 了 c z b的一 一 个最 小值 而解 法 2则 是通 过构 造一 个一 元 二 次 方 程 利 用 根 的判 别 法 来确 定 2 的最 值 同时 还可 以利 用解法 1 解 题 的 思路 将本 题做 出如下 的推广 推 论 5 若 2 I I n 2 7 1 1 2 4 7 1 1 I t 则 的最 大 值为一 r h 一 1 证 明 令 j n n 一 t r J 一 l 呈 所以 z l 生 整理可得 则f i 一 I J 一 T 一 1 i 一 w 所以 r 当且仅 当 一 7 1 7 5 1 l l 2 时 等号成 立 例 9 2 0 1 2年 山东 预赛 已知 常数 6 0 1 且 点 P a 6 Q 均 在 曲线 y c o s x十 c 上 其 中 c 为 常数 则 l o g 6 一 解 由已知 条件 可 得 一 b c o s b f r 一 2 s i I l s i n 不 妨 设 6 且 l s i n t 1 i n 所以2 s i 土堑 i n 一6 当且仪 当 一 6时等 号成立 即 l o g b 1 点评 本题 巾的一个 核 心不等 式关 系是 s i n 其 中 0 如果 发现 r这个 不 等式 就等 于 寻找 到 了解决 该 问题 的 一 个 简 沽 途 径 另 外 一 方 面 例题 中的两 个点 P n 6 Q 6 n 是关 于 Y j 对称 的 同时正 弦曲线 和余 弦曲线是可 以通过平 移相互转化的 利用以上这两个信息点 将这个命 题 一 般化 就可 以得 到 以下 的推 论 推论 6 在曲线Y k s i n x十c 上 不存在两个 不同的点关于 一 对称 其中 f 为常数 0 l I 1 分析 这 个 推 论 的 证 明 类 似 于 例 6 利 用 s i n 便 可得 f 结论 这 里就 不再 赘述 r 4 对 数 函数 巧用 性质 例 l 0 2 0 l 3年辽宁预赛 已知 厂 是 0 一 上 的单 调 函数 且 对任 意 的 0 十 c 均 有 一 J o g J 6 若 是 方 程 一 f 一 4的一个 解 且 1 z 则 一 A 1 B 2 C 3 D 4 解 因为 丁 为 0 上 的单调 函数 F 1 一l o g j 一 6 所 以 一l o g 2 x为常数 不妨 设 为 C 所 以 T 一l o g C 且 f 一 6 所 以 l o g f 一 6 一f 解得 一 4 所 以 一 l o g x十 4 由 I C r 一 厂 一 l o g 2 r I 4 土 一 4 得 l o g 2 一一 一 J o g zt 化简得 一 F 所以 l L 上n lij 厶 o J 则 一 I n 的值 是 A 正 数 B 零 C 负 数 D 以上 皆有可 能 解 法 l 设 3 一 I n 则 二 所 以 原式 一 一 Y 一0 解法 2 对 I n z 两边 分 刺取 自然 对数 得 l n x l n l n I n l n E I n 一 课 外 园地 数 学通 讯 一 2 0 1 5年 第 5 6期 上半 月 1 n l n l n 所 以 一 I n r 一 0 点评 这 是一 道关 于 自然对 数 的题 目 同时 也 涉 及 到 了多 个 对数 符 号 的叠 加 让人 有 点 眼 花 缭 乱 两种 解 法 分 别 采 用 了指 数 转 化 和 两 边 再 取 对数 的方 法解 决 r本题 同 时 如 果 将 原 题 中 的 替换 成 I n 会得 到一些 看 似更加 复 杂的结 论 推论 7 I n 一 1 n l n f 两 边 分 别 取 对 数 即 町 例 1 2 2 0 1 2 年辽宁预赛 设函数厂 f 一寺 一 1 lo g S 一 音 2 E 则 S 一 一 解 当 1 7 l 2 1 时 1 f x 2 一 l 1 l T 1 所 以 2 Sg 2 一 i 所 以 n 一 L 丝 二 一 7 z 一 1 所以 S 一 一n 一 I 点评 本 题 的 关 键 点 是 十 一 1时 厂 一 1 这种首尾相加的方法很值得 我 们 去借 鉴 按 照这 种方 法 可 以解 决很 多这 一 系 列 的题 目 另外 这个 结论 也 可以适 当推 广 推 论 8 若 l o 氍 0且 口 1 如 果 卜3 c i 一n 则 一0 利 1l 9 用对数运算性质即可得 例 1 3 2 0 1 2 年 陕西 预 赛 定 义 在 R 上 的 函 数 厂 满 足 1 1 且 对任 意 的 3 E R 都有 r 的解 集 为 解 设 g 一厂 一妻z 贝 4 g 一 刍 u 所 以 川 一 1 一 1 一 百 1 1 即 g 1 o g z x g 1 所 以 l o g 2 1 得 0 z 2 点评 通过构造函数 将 两边转化 成所构造 的 函数 的形式 利 用函数 的单调性是解决问题 的关键 参 考文 献 1 闵嗣鹤 严士健编 初等数论 M 1 北 京 高 等 教 育出版社 2 0 0 3年 O 7月第 3版 收稿 E t 期 2 0 1 4 1 2 3 0 递推法解数列整除问题的常用方法 李重庚 湖南省湘潭教育学院 湘潭市教 师培训 中心 4 1 1 1 0 0 有 关数 列 的整 除 问题 是 高考 或 数学 竞 赛 的 常 见题 型 而 H难于处理 本文结合具体实例 介 绍 七种 与递推 有关 的常用 方法 所谓 的 递 推法 就 是 根 据 具体 问题 建 立递 推 关 系 在 通 过递 推 关 系 求 解 的方 法 其 中递 推 关 系是 表示 关 于 正 整 数 参 变 壁 的 一类特 殊 关系 它 从给 定 的初 值 出发 通 过 这 种关 系 步一 步 地 通 过 递 推 获 得 所 需 结 果 递 推 法 的 步骤是 1 按 次序 研 究 集 合 中最 初 最原 始 的若 干个 问题 2 按次序 寻求集合 中问题 间的转换规律 即 递 推关 系 使 问 题逐 次转 化 成 较 低 级 层 次 或 简 单 的且能 解决 问题 的或 已解 决 的问题 例 如 在 数 列里 我 们 知 道 数 列 J J 满 足 递 推式 一 bl a 一b 2 以 l斗 6 一

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