数学期望的定义.pdf

数学期望的数学期望的定义定义 引例 引例 设甲 乙两班各设甲 乙两班各40名学生名学生 概率统计成绩及得分人数如表所概率统计成绩及得分人数如表所 甲甲班班 分数分数 60 70 80 90 100 乙乙班班 分数分数 40 60 70 80 90 100 人数 2 9 18 9 2 人数 3 1 8 13 8 7 频率频率 频率频率 2 40 9 40 18 40 9 40 2 40 3 40 1 40 8 40 13 40 8 40 7 40 示示 成绩以成绩以10的倍数表示的倍数表示 X r P i a ii i a p E X 甲 乙两班概率统计的平均成绩各是多少 甲 乙两班概率统计的平均成绩各是多少 解 班级平均成绩解 班级平均成绩 总分总分 总人数总人数 甲班平均成绩甲班平均成绩 60 270 980 1890 9100 2 291892 291892 607080 90 100 80 4040404040 分 同理 乙班同理 乙班平均成绩平均成绩 80 分分 定义定义4 1 设离散型随机变量设离散型随机变量 的概率函数为的概率函数为 X 1 2 ii P Xapi 数学期望数学期望 或期望 均值 或期望 均值 记作记作 E X 当级数当级数 绝对收敛时绝对收敛时 称称 为随机变量为随机变量 的的 ii i a p X ii i a p ii i a p 收敛 注 注 1 1 为保证无穷级数为保证无穷级数 的的值不因改变求和次序值不因改变求和次序而而 ii i a p ii i a p 变变 要求级数要求级数 绝对收敛 绝对收敛 才有才有定义 定义 E X 12in aaaa i m 3 物理含义物理含义 单位质量的细棒单位质量的细棒 重心坐标重心坐标 ii i a m 期望刻化随机变量取值的平均 有直观含义 期望刻化随机变量取值的平均 有直观含义 2 2 当当 服从某个分布时服从某个分布时 也称也称 是这个分布的期望 是这个分布的期望 X E X q 2 1 0 2 0 8 r P X 20 21 0 80 4 ii i E Xa p 解 解 例例1 设离散型随机变量设离散型随机变量 的概率函数如下的概率函数如下 计算计算 X E X 2 1 1 n n n 1 1 n n n 若若 收敛收敛 则称则称 绝对收敛绝对收敛 1 i i a 1 i i a 若若 收敛收敛 但但 不收敛不收敛 则称则称 条件收敛条件收敛 1 i i a 1 i i a 1 i i a 若若 绝对收敛 则级数绝对收敛 则级数 求和唯一求和唯一 1 i i a 1 i i a 若若 绝对收敛 则绝对收敛 则 一定收敛一定收敛 1 i i a 1 i i a 复习复习 ii i iii xx x P xXxx f x dx X 1 x 2 x n x r P 11 f xx 22 f xx nn f xx 11 nn iiiii ii x px f xx 1 0 lim n iii i x f xxxf x dx iii xxx i f x i f x i x 连续型随机变量的情形连续型随机变量的情形 X 定义定义4 1 设设连续型随机变量连续型随机变量 的概率密度函数为的概率密度函数为 X fx 当积分当积分 绝对收敛时绝对收敛时 称称 为随机为随机 dxf xx dxf x x 变量变量 的的数学期望数学期望 记作记作 即即 E XX d E Xxf xx 密度函数密度函数为为 单位质量细棒单位质量细棒 fx dxf xx 收敛 重心坐标重心坐标 dxf xx fx 物理含义 物理含义 q 解 解 例例2 设连续型随机变量设连续型随机变量 的密度函数如下的密度函数如下 计算计算 X E X dE Xxf xx 2 01 0 xx f x 其余 1 0 2 2 d 3 xx x 21 1 1 2 2 i i i P Xi i 课间提问 课间提问 的数学期望存在吗 的数学期望存在吗 X Y 2 11 1 f yy y 2 设连续型随机变量设连续型随机变量 的密度函数为的密度函数为 Y A 都存在都存在 B 都不存在都不存在 C 存在存在 不存在不存在 D 不存在不存在 存在存在 1 设离散型随机变量设离散型随机变量 的概率函数为的概率函数为 X 1 1 离散型 连离散型 连 续型随机变续型随机变 量的数学期量的数学期 望定义望定义 2 2 掌握数学期掌握数学期 望的概率含望的