数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--2章.pdf

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p q r p q r p q2 2 22 34 2 2 rr p q 即Sr p q 所以没有最大数 同理可证SS没有最小数 2 反证法 设S在内有上确界 记Q m n S sup 且互 质 则显然有 Nnm nm 20 m n 由于有理数平方不能等于3 所以只有两种 可能 i 3 2 r3 2 m n 取有理数充分小 使得0 r34 2 2 2 22 2 rr m n m n r m n 34 2 2 rr m n 这说明r m n 也是的上 界 与 S m n S sup矛盾 所以S没有上确界 同理可证S没有下确界 11 课后答案网 w w w k h d a w c o m 习 题 2 2 数列极限习 题 2 2 数列极限 1 按定义证明下列数列是无穷小量 1 1 2 n n 1099 nn n n 5 1 3 321 n n n n 3 2 3 n n n n n nnnn n 2 1 1 2 1 1 11 证证 1 20 nn n2 1 1 0 2 2 10 lg lg0 99 1 0 99 0 99 nn 3 20 2 1 5 n 2 时 成立 1 5 n n 4 10 n 222 n 33 3 12 2 nn n nn C nnn n1 2 1 8 6 取 1 11maxN 当时 成立Nn n 55 5 2 1 3 2 1 5 3 3 nn n n 于是 30 5 2 1 3 3 0 n n n 7 记 2 n 的整数部分为 则有m m n n n 2 1 10 lg 1 1 2 lg 2 N m 于是成立 m n n n 2 1 0 8 首先有不等式 nnnnn n 1 2 1 1 2 1 1 11 0 10 取 1 N 当时 成立 Nn 取 2 1 N 当时 成立 Nn 13 课后答案网 w w w k h d a w c o m 取 8 1 N 当时 成立 Nn n a 22 1 1 23 nn n n aCan 3 n n nn n an 3 1 13 2 取 2 9 N 当时 成立 Nn n an n n 3 123 5 10 n n xn 1 1 若n是奇数 则成立 存在0N 使当nN 时成立 xn nn 存在无穷多个 使 0 xx 解解 1 例如 则nxn n x满足条件 但不是无穷小量 2 例如 是偶数 是奇数 n n nn xn 1 则 n x满足条件 但不是无穷小量 4 设k是一正整数 证明 lim n xn a的充分必要条件是 lim n xn k a 证证 设 则lim n xn a0 N Nn 成立 axn 于是也成 立 N Nn 成立 1 N 1 Nn 成立 成立 N Nn 2 axn 于是 成立 N Nn M xn 成立 nny x 所以 也是 无穷小量 xnyn 8 利用夹逼法计算极限 1 lim n n n 1 1 3 1 2 1 1 2 lim n 1 1 n 1 2n nn 1 3 lim n 2 2 1 1 n nk k 4 lim n 1 3 521 2 4 62 n n 解解 1 由 n n n n 1 1 3 1 2 1 11 与 1lim n n n 可知 15 课后答案网 w w w k h d a w c o m lim n 1 1 3 1 2 1 1 1 n n 2 由 1 1 nnn n 1 2n 1 1 n n nn 1lim nn n n 与1 1 lim n n n 可知 lim n 1 1 n 1 2n 1 1 nn 3 由 n n k n n n nk 221 1 22 2 2 2 1 kkk 得到 12 1 2 642 12 531 0 n n n 由0 12 1 lim n n 可知 lim n 0 2 642 12 531 n n 9 求下列数列的极限 lim n 34 1 2 2 nn n 1 lim n nnn nn 32 3 23 23 1 lim n 3 31 3 13 n n n n lim n sin n n2 11 2 n lim n nnn 1 lim n nnn 24 11 lim n 1 n n lim n 2 2 1 1 2 3 1 1 2 1 1 n lim n lg n nn lim n n n 2 12 2 3 2 1 2 16 课后答案网 w w w k h d a w c o m 解 1 lim n 341 n lim 1 2 2 nn n 3 1 1 14 3 2 2 n nn 2 lim n nnn nn 32 3 231 n lim 23 2 1 31 2 132 1 32 32 nn nnn 3 lim n 31 3 1 3 3 n n n n n lim 1 3 3 3 1 13 3 1 n n n n 3 1 4 因为lim n 11 2 n n 1 2 sin n 所以 lim n sinn n n2 11 2 0 5 lim n nnn 1 n lim nn n 1 lim n 1 1 1 1 n 2 1 6 lim n nnn 24 11 11 11 1 1 lim 242 22 nnnn nnn n 11 11 2 lim 242 nnnn nn n 1 1 1 1 1 1 1 1 2 lim 2 4 2 nnnn n 2 1 7 lim n 11 lg1 lglg 2n n 所以 lim n n n 1 0 8 lim n 2 2 1 1 2 3 1 1 2 1 1 n 17 课后答案网 w w w k h d a w c o m n lim 22222 1 1 1 2 4 53 3 42 2 31 n nn n nn lim n n n 2 1 2 1 9 2 1lg n n nnn n a 2 1 n1lim 1 l a a n n n 则 0lim n n a 证证 取 由lr l a a n n n 可知NnN 成立1 1 r a a n n 于 是 1 1 1 0 n a 2 1 na a a n n n 1 lim 则aa n n n lim 证证 由n n n n n a a a a a a aa 12 3 1 2 1 及a a a n n n 1 lim 可知 aa n n n lim 12 设 aa 存在 证明 lim n an 12 1 lim n 1 2 12 n aanan 0 2 lim n n a aan n 12 1 0 i 1 2 n ai 0 18 课后答案网 w w w k h d a w c o m 解解 1 设 nn Saaa 21 lim n aSn 则由可知 kanSS k k n n k n 11 1 k lim n 0 1 11 limlim 1 1 11 aaS nn n Ska n n k k n n n n k k 2 由 n n aaan 1 21 0 a 3 4 nntanarc nnn2 1 2 1 1 1 证证 1 取 当时 成立0 G 3 GN Nn G n n n 312 1 2 2 取 当时 成立0 G G aN Nn Gn n aa log 1 log 3 取0 G 2 GN 当时 成立Nn Gnn arctan 4 取 当时 成立 0 G 2 2 GN Nn G n n nnn 22 1 2 1 1 1 2 1 设lim n an 或 按定义证明 lim n aaa n n12 或 2 设a 0 0 利用 1 证明 n lim n an lim n a aan n 12 1 0 证证 1 设 则 n n alimGaNnNG n 3 0 0 11 对固定的 1 N 2 1 NnNN 2 1 21G n aaa N 22 3 1 21 同理可证当时 成立lim n an lim n aaa n n12 20 课后答案网 w w w k h d a w c o m 2 n n aaa 1 21 ln n aaa n lnlnln 21 由 n n alnlim 可知 n n n aaa 1 21 ln lim 从而 lim n a aan n 12 1 nn 0 3 证明 1 设 是无穷大量 xy 0 则 是无穷大量 xn n y 2 设 是无穷大量 limxn n yn b 0 则 与xnyn n n y x 都是无穷大 量 证证 1 因为 是无穷大量 所以xn0 G N Nn 成立 G xn 于是 成立Nn Gyx nn 所以 也是无穷大量 xnyn 2 由 0 可知 lim n yn bN Nn 成立by b n 2 2 因为 是无穷大量 所以 xn 0 G N Nn 成立 Gb b G xn2 2 max 取 成立 maxNNN Nn Gyx nn 与G y x n n 所以 与xnyn n n y x 都是无穷大量 4 1 利用 Stolz 定理 证明 lim n 135214 3 2222 3 n n 2 求极限lim n 3 4 12 531 3 2222 n n n 解解 1 lim n 3 2222 12 531 n n lim n 3 4 1 12 33 2 nn n 21 课后答案网 w w w k h d a w c o m 2 lim n 3 4 12 531 3 2222 n n n n lim 2 3222 3 4 12 31 3 n nn n lim 22 332 1 33 1 44 12 3 nn nnn n lim4 36 124 n n 5 利用 Stolz 定理 证明 1 lim n logan n 0 a 1 2 lim n n a k n 0 a 1k是正整数 证证 1 lim n logan n lim n 0 1 log n n a 2 lim n n a k n lim n 1 1 nn kk aa nn lim n 1 1 1 aa nP n k 其中为关于n的次多项式 重复上述过程 次即得到 1 nPk 1 kk lim n n a k n lim n 1 1 1 aa nP n k lim n 22 2 1 aa nP n k n lim 0 1 0 kkn aa nP 6 1 在 Stolz 定理中 若lim n xx yy nn nn 1 1 能否得出lim n x y n n 的结 论 2 在 Stolz 定理中 若lim n xx yy nn nn 1 1 不存在 能否得出lim n x y n n 不存 在的结论 解解 1 不能 考虑例子 xn n n 1yn n lim n xx yy nn nn 1 1 n lim 1 12 1 n n 但 lim n x y n n n n 1 lim 极限不存在 2 不能 考虑例子 xn n n 12341 1 yn n 2 lim n xx yy nn nn 1 1 22 课后答案网 w w w k h d a w c o m 12 1 lim 1 n n n n 极限不存在 但lim n x y n n 0 7 设 0 1 证明 lim n an a lim n aa aa nnn n 1 2 20 a 1 证证 记 则 1 k n n n n n n nn k aakak aaa 01 1 01 利用 Stolz 定理 lim n aaaa nnn n 1 2 20 n n n n n n k aakak 01 1 lim 1 lim 1 kk ak n n n n 1 a 8 设 当时有极限 为单调递增的正数数列 且 n 证明 Aa nk k n 1 n pn p n lim n p ap ap a p nn n 1122 0 证证 设 作代换AAn n lim 1 kkk AAa 得到 n nn p apapap 2211 n nnn n p ppAppAppA A 11232121 对上式求极限 在求后一分式的极限时应用 Stolz 定理 lim n n nn p apapap 2211 n nnn n n n p ppAppAppA A limlim 11232121 Alim n 1 1 nn nnn pp ppA 0 AA 23 课后答案网 w w w k h d a w c o m 习 题 2 4 收敛准则 习 题 2 4 收敛准则 1 利用lim n e n n 1 1求下列数列的极限 lim n n n 1 1 lim n n n 1 1 1 lim n n n 2 1 1 lim n n n 2 1 1 5 lim n n nn 2 11 1 解解 1 lim n n n 1 1 n lim 1 1 1 1 1 1 1 1 nn n e 1 2 lim n n n 1 1 1 n lim 11 1 1 1 1 1 1 nn n e 3 lim n n n 2 1 1 n lim 2 1 2 2 1 1 n n e 4 lim n n n 2 1 1 n lim nn n 1 2 2 1 11 5 当时 有 2 n nnn nnnn 1 1 11 1 2 1 1 2 由lim n e n n 2 1 1与lim n e n n 1 1 即得lim n e nn n 2 11 1 2 利用单调有界数列必定收敛的性质 证明下述数列收敛 并求出 极限 1 x12 xn 12 xn n 12 3 24 课后答案网 w w w k h d a w c o m 2 x12 xn 12xn n 12 3 3 x12 xn 1 1 2xn n 12 3 4 1 x1xn 143 xn n 12 3 5 0 1 1x1xn 1 n x 1 n 12 3 6 0 1 2 nx1xn 1xn n x 12 3 解解 1 首先有 1 0 x 22 设20 k x 则 1 0 k x 22 k x 由 数学归纳法可知 n 20 xx 可知n 所以是单调增加有上界的数列 因此收敛 设 对等式 0 1 nn xx n xaxn n lim xn 12 xn两端求极限 得到方程aa 2 解此方程 得到 因此 2 a 2lim n n x 2 首先有 1 0 x 22 设20 k x 则 1 0 k x 22 k x 由数 学归纳法可知n 由20 nn xx 可知是单调增加有上界的数列 因此收敛 设 对等式 n xaxn n lim xn 1 n x2两端求极限 得到方程aa2 解此方程 得到 另 一解舍去 因此 2 a 0 a 2lim n n x 3 首先有12 1 x 设1 k x 则 1 k x1 2 1 k x 由数学 25 课后答案网 w w w k h d a w c o m 归纳法可知 由n 1 n x nn xx 1 n n x x2 1 0 2 1 2 n n x x 可知 是单调减少有下界的数列 因此收敛 设 n x axn n lim 对等式 xn 1 1 2xn 两端求极限 得到方程 a a 2 1 解此方程 得到1 a 因此 1lim n n x 4 首先有 设 1 0 x 41 40 k x 则 1 0 k x 434 k x 由数 学归纳法可知n 由40 nn xx 可知是单调增加有上界的数列 因此收敛 设 对等式 n xaxn n lim xn 143 xn两端求极限 得到方程aa34 解此方程 得到 因此 4 a 4lim n n x 5 首先有 设10 1 x10 k x 则 1 0 k x 111 k x 由数学 归纳法可知 由n 10 n x nn xx 1 011 nn xx 可知是 单调减少有下界的数列 因此收敛 设 n x axn n lim 对等式 xn 1 n x 11 两端求极限 得到方程aa 11 解此方程 得到0 a 另一解 舍去 因此 1 a 0lim n n x 6 首先有 设10 1 x10 k x 则 1 0 k x 1 2 kk xx 由数学 归纳法可知 由n 10 nnnnn xxxxx 可 知是单调增加有上界的数列 因此收敛 设 对等式 2 两端求极限 得到方程 n xaxn n lim xn 1xn n x 2 aaa 解此方程 得到 另一解舍去 因此 1 a 0 a 26 课后答案网 w w w k h d a w c o m 1lim n n x 3 利用递推公式与单调有界数列的性质 证明 1 lim n 2 3 3 5 4 7 1 21 0 n n 2 lim n a n n 0 a 1 3 n lim0 n n n 证证 1 设 12 1 7 4 5 3 3 2 n n xn 则 0 n x1 32 2 1 n xan 1 1 1 n x1 1 1 1 n n n nx x 所以是单调减少有 下界的数列 因此收敛 设 n x axn n lim 对等式 1 1 1 n n n x n x两端求极 限 得到 于是 因此 eaa 0 a lim n a n n 0 4 设 xn 1 n n x x 2 2 1 分 1 与n 12 3 x12 1 x两种情况求 27 课后答案网 w w w k h d a w c o m lim n xn 解解 对 易知 且当时 1 1 xn 0 n x2 n2 n x 由 0 1 2 1 n n nn x x xx 可知数列 n x单调减少有下界 所以收敛 设 对等式 axn n limxn 1 n n x x 2 2 1 两端求极限 得到 2 2 1 a aa 解得 2 a 2 a舍去 因此 lim n 2 n x 对 易知 2 1 xn 2 n x 由0 1 2 1 n n nn x x xx 可知数 列单调增加有上界 所以收敛 设 n xbxn n lim 对等式 xn 1 n n x x 2 2 1 两端求极限 得到 2 2 1 b bb 解得2 b 2 b舍去 因此 lim n 2 n x 5 设 a b x1x2x xx n nn 2 1 2 n 12 3 求 lim n xn 解解 首先利用递推公式 2 1 11 nnnn xxxx 得到数列 的通 项公式 nn xx 1 2 1 1 1 abxx n nn 于是由 123121 nnn xxxxxxxx 1 0 2 1 n k k aba 得到 lim n xn 3 2ba 6 给定 0 b 令 a b ax1 1 y 1 若 xn 1x y nn yn 1 xy nn 2 n 12 3 证明 收敛 且 这个公共极限称xnynlim n xnlim n yn 28 课后答案网 w w w k h d a w c o m 为 与 的算术几何平均算术几何平均 ab 2 若 xn 1 xy nn 2 yn 1 2x y xy nn nn n 12 3 证明 收敛 且 这个公共极限称为 与 的算术调和 平均 算术调和 平均 xnyn lim n xnlim n ynab 证证 1 首先易知 有 由n nn yx 0 1 nnnnn xyxxx nn yy 1 0 2 1 nn yx 得到byyxxa nnnn 11 即 n x是单调增加有上 界的数列 是单调减少有下界的数列 所以它们收敛 设 对 n ylim n xxn lim n yyn yn 1 xy n 2 n 的两端求极限 得到yx 2 首先易知当时 有 由2 n nn yx nn xx 1 0 2 1 nn xy nn yy 1 0 nn nnn yx yxy 得到当时 2 n 2 2 11 ba xxyy ba ab nnnn 即 n y是单调增加有上界的数列 是单调减少有下界的数列 所以它们收敛 设 n x lim n xxn 对 lim n yyn 1 n x xy n 2 n 的两端求极限 得到yx 7 设 x12 xn 1 1 2 xn n 12 3 证明数列 收敛 并 求极限 xn lim n xn 解解 当120 n x 当12 n x时 有 120 1 x 得到n 12 12 n x 120 2 n x 于是由 1212nn xx 12 12 12 25 2 n n n x x x 0 5 12 12 2 12 1212 n nn x xx 29 课后答案网 w w w k h d a w c o m 可知数列 单调减少有下界 数列 12 n x n x2单调增加有上界 从而都 收敛 设 对等式lim n n x2alim n bx n 12 12n x 12 12 25 2 n n x x 与 22n x n n x x 2 2 25 2 两 端求极限 得到方程 a a a 25 2 与 b b b 25 2 解此两方程 得到解 12 a与12 b 另两解12 a与12 b舍去 因此 12lim n n x 8 设 是一单调数列 证明 的充分必要条件是 存在 的子列 满足 xnlim n xna xnxn k lim k xn k a 证证 必要性显然 现证充分性 不妨设 单调增加 xnlim k xn k a 则0 K Kk 0 1 KM 使得 于是 MK nnn 1 0 1 N Nnm 0 nm xx 取 1 1 N 111 Nnm 0 11 nm xx 取 12 mN 222 Nnm 0 22 nm xx 取 1 kk mN kkk Nnm 0 kk nm xx 于是得到 的两个子列 与 它们都是有界数列 首先 具有收敛子列 由于对应的 也是有界数列 又具有收敛子列 xn k n x k m x k n x k n x k m x k m x 30 课后答案网 w w w k h d a w c o m 记 1 kk nn 2 kk nm 则得到 的两个子列 与 它们收敛于不同的极限 xn 1 k n x 2 k n x 10 若数列 无界 但非无穷大量 则必存在两个子列 与 其中 是无穷大量 是收敛子列 xn 1 k n x 2 k n x 1 k n x 2 k n x 证证 由于数列 不是无穷大量 所以xn0 M 使得数列 中有无 穷多项满足 xn Mxn 于是从中可以取出数列 的一个收敛子列 又由于数列 无界 所以对 xn k m xxn0 G 数列 中必有无 穷多项满足 xn Gxn 取 则 使得1 1 G 1 n 1 1 Gxn 取 则 使得2 2 G 12 nn 2 2 Gxn 取 则 使得kGk 1 kk nn kn Gx k 记 1 kk nn 2 kk nm 则得到 的两个子列 与 xn 1 k n