几何画板支持下的数学实验研究课案例的设计.doc

营造数学课堂的“自然美”湖北省秭归一中 胡俊【摘要】课堂教学是一种有目的、讲求效率的活动，通过教学要使学生掌握知识，习得技能，发展智力，形成态度和相应的品质.我们教师需要在课堂教学过程中体现出数学的“自然美”，将数学知识以自然合理的面貌呈现在学生眼前.本文结合笔者自身的教学实践与思考，分“知识背景取材自然”、“知识层次发展自然”、“解题策略选择自然”和“思想方法渗透自然”四个方面介绍了体现数学课堂教学“自然美”的途径.【关键词】知识背景 知识层次 解题策略 思想方法“数学很好玩”，这是已故数学大师陈省身所说的.可在我们的教学中，学生丝毫感觉不到数学的好玩.大部分学生只是为了应付考试，对学习数学兴趣不大，更谈不上享受数学的快乐了.究其原因，问题还是在我们教学本身.数学本是一门源于生活、围绕生活的应用性很强的科学，但传统的就题论题式的教学方法、单调的教学内容设计难以与现实生活相联系，难以将数学知识以自然合理的面貌呈现在学生眼前，当然也就无法让学生觉得其“好玩”. 普通高中数学课程标准(实验)中指出：“在数学教学中，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里.高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质.”笔者认为，要想做到让教学返璞归真，让学生积极、主动地学数学，真正体会到数学的“好玩”，需要我们教师在教学过程中呈现出数学的“自然美”.一、知识背景需要取材自然 在普通高中课程标准实验教科书A版的主编寄语中提到：“数学是自然的；数学是清楚的；数学是有用的”，这三句话启示了笔者对高中课程标准的理解.数学的产生和发展，始终与人类社会的生产、生活密切联系.因此，在教学中，对于一个知识概念的引入，应当强调其背景，这样才能让学生自然顺畅的接受知识.【案例1】 “均值不等式”课题引入设计在“均值不等式”一节教学中，可设计如下实际问题，引导学生从中发现关于均值不等式的定理及推论.某商店在节前进行商品降价酬宾活动，拟分两次降价.有三种降价方案：甲方案是第一次打折销售，第二次打折销售；乙方案是第一次打折销售，第二次打销售；丙方案是两次都打折销售，请问：哪一种方案降价较多?这是生活中的实际问题，这样的背景引入较为亲切、自然，同时也及时提出思考、探究，极大的激发了学生的学习兴趣.在这样的情境下，再注意给学生动手，动脑的空间，学生一定会觉得数学好玩、有用.二、知识层次需要发展自然新课程提出要关注思维最近发展区内的学习任务，要构建恰当的认知阶梯，呈现与学生思维最近发展区相适应的学习任务.同时指出：每一个抽象概念的产生与发展总有它的现实或数学理论发展的需要，在教学中，需要我们教师注重联系学生原有的认知基础，在其基础上自然顺畅地提升知识的层次要求，这样有利于学生理解抽象概念的内涵.这也符合新课程中“螺旋上升地认识数学概念”的要求.【案例2】“函数单调性”的概念教学 如果直接给出教材上的定义，对于高一学生就会觉得很抽象，而通过设置一定的问题情景，以沟通新旧知识间的联系，就能让这一概念知识在很自然的氛围中得到发展.由于学生在初中学习中对函数的单调性已习惯于“当在某范围内变化时，随的增大而增大(减少)”.这一描述直接反映了函数图象的升降情况，更接近于图形语言.为引进单调性这一概念，我们可以让学生根据以下函数的图象（图1），指出函数值随增大怎样变化：图1然后让学生在图象上找两个点，并比较和的大小，就能很自然地引出函数单调性的形式化的定义(符号语言)：对于任意当时，都有（），则称在区间上是增（减）函数. 很显然，以图形语言这一学生现有发展水平作为阶梯过渡到形式化的符号语言，体现了知识的自然上升，找准了学生认知的最近发展区，学生的思维就能很自然地从感性走向理性，由具体走向抽象.在教材中，这样的例子比较多.需要我们教师利用好教材给出的各种素材，更有效地实施课堂教学.三、解题策略需要选择自然解题教学历来是课堂教学的重点、核心.但在教学实践中我们经常遇到这样的情况：学生已经听懂一个问题但却不会独立自主地解决问题，今天会做的题目到明天却不会做了.为什么会这样？原因主要有两方面，一是学生没有真正地认识和把握问题的本质，只是停留在能够接受和表面理解的水平上；二是学生对问题解决方法的自然性、合理性缺乏足够的感受和认识，导致所学的知识容易遗忘且难以迁移.自然合理的解题训练能较好弥补这个缺陷.它有助于学生更好地感受、体会、把握数学的结构、本质与内在联系，有助于学生感受、体验、掌握自然合理的思维方式和问题解决策略，有助于学生学会理性地 、有条理地分析问题、解决问题.相反，如果数学问题及其解题策略是从“天”而降的，那么学生就只能望“天”兴叹，觉得可望而不可及.【案例3】在闭区间上任取两个实数，则方程的两根都是实数的概率是多少？这是几个学生在期中考试前的复习时问我的一个小问题，在我们看来这个问题并不难，利用几何概型很快就能解决.但是我想：如果我直接告诉他们仿照教材几何概型的例2利用几何概型去解决，虽然他们能得到正确答案，但遇到其他类似的问题能否解决呢？于是我问了他们下面几个问题：师：对于有关概率的问题，我们一般要求先明确基本事件，也就是弄清楚试验结果是什么.在这个问题中，你认为什么是一次试验的结果？生：在区间上一次取两个实数就是一次试验结果.师：按你所说的，要一次取两个数才行，那我取出与是否同一试验结果？生：不是的.师：那现在我们怎么来表示这样的试验结果呢？需要一次取两个数，还要有顺序要求.生：（稍作思考）可以用点的坐标来表示.师：很好.那我们接下来就要研究基本事件总数是多少.也就是能够取出多少个点？生：可以取出无数个点.师：既然是无数个点，那我们用什么来表示其数目呢？生：我们可以用这些点组成的图形的面积来表示.（学生这时想起来，这个问题和教材的例2基本相同）师：那你自己再试试吧！ 几个学生下去后都很顺利的解决了这个问题.在随后几天的期中考试中，又遇到了类似的问题，这几个同学的答题情况明显比其他的同学好得多.对于数学问题的解答，很多学生缺乏的不是解决这个问题的知识，而是怎么将所学知识用于问题解决的分析能力.如何培养学生这种分析问题解决问题的能力，我认为在平时教学中就应该更多地告诉学生我是怎么想到要这样做的，为什么会这样想，其自然合理性在哪里.只有让学生不断地接触并接受这种思维分析的自然性与合理性，他们才能在碰到问题时能进行有效地思维分析.四、思想方法需要渗透自然新的课程标准突出强调:“在教学中,应当引导学生在学好概念的基础上掌握数学的规律(包括法则、性质、公式、公理、定理、数学思想和方法)”.因此,开展数学思想方法教育应作为新课改中所必须把握的教学要求.数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学学科的精髓,是将数学知识转化为数学能力的桥梁.它需要经过教师长期的有意识的、有目的的教学活动去渗透、揭示、归纳，并使学生能在后续的学习与解题的实践中去运用与领悟，才能最终转化为他们自己的东西.很显然，数学思想方法教学的渗透性与实践性决定了数学思想方法在教学中并不直接明其所指，而只能通过精心设计教案，努力营造教学氛围，引导学生积极主动参与到数学知识的发生和发展过程中，或者通过学生的自主学习与主动探究，以一种很自然与合理的方式来揭示、归纳与应用.【案例4】已知函数，试求的单调递减区间.这类问题是高考中常考的内容，它以研究函数性质为载体，重点考查学生分类讨论思想方法掌握的情况.其难度不算大，但很多学生由于平时学习中对分类讨论思想的掌握与运用不是基于自然的原则，就不明白为什么要分类、以谁为分类对象、怎么分类以及这种分类的合理性所在，造成解题思路受阻.事实上，当研究的问题中含有变化不定的动态因素，不能用同一种方法解决或同一种形式叙述时，就需要对问题进行分类讨论.在本问题中，学生非常容易求出函数的导函数，其中.显然，问题转化为解不等式的问题.这样自然引出了一级分类：与.即以不等式的类型（一次还是二次）分类.1. 当时，得的单调递减区间为：；2. 当时，不等式首先变形为：，不等式两边同除以，这样就有了二级分类：与.2.1 当时，同时注意到，可得的单调递减区间为：2.2 当时，注意到：这时解集“取中间”，则又引出了第三级分类：比较与1的大小.2.2.1 当，即时，可得的单调递减区间为：；2.2.2 当，即时，此时不存在单调递减区间；2.2.3 当，即时，可得的单调递减区间为：综上：（略） 这是一道错综复杂的分类讨论问题，动态因素多，分类层次多.但我们从上述分析也可看到，无论问题多么复杂，分类讨论这一思想方法的选用（分类的原因）、分类对象的确定、分类标准的界定以及每一层次分类的产生都有其自然而合理的理由.只有教师在平