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基本不等式的应用

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《基本不等式的应用》教学案例 【案例背景】 《基本不等式》是人教A版普通高中新课程标准实验教科书数学必修5第三章第四节内容，是在系统的学习了不等关系，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一,为后续的学习奠定基础。 要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，基本不等式是必不可缺的。基本不等式在不等式知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，近几年高考对不等式的证明要求有所降低，主要以求最值等形式出现，所以利用基本不等式求最值应重点研究。 【案例描述】 一、教学设计思路 本节课是复习课，通过上几节课的学习，让学生自己观察、分析、发现解题规律，进而归纳总结出一般方法。 二、教学目标及重点难点 教学目标 （一）知识与技能：进一步掌握基本不等式，会应用此不等式求某些函数的最值。 （二）过程与方法：通过对问题的探究，培养学生分析问题、解决问题及归纳能力。 （三）情感态度与价值观：激发学生学习和应用数学知识的兴趣，培养严谨的科学态度。 教学重点 利用基本不等式求最值 教学难点 拆项、凑项构造基本不等式的形式，及不等式成立的条件 三、教学过程 （一） 复习回顾 1、 基本不等式 2、 利用基本不等式求最值应具备的条件是什么？ （二） 典型引路 求下列函数的值域 （1）（1）y＝3x 2＋ （2）y＝x＋ （三）题型归纳 1．类型函数求最值（g(x)恒正或恒负） 例1：求下列函数的值域 （1）y＝3x 2＋ （2）y＝x＋ 例2：已知，求函数的最大值. 方法：凑项 2．类型函数求最值（给出x的范围） 例3. 求的值域。 法一：分离 法二：换元 变式： 若改为x > 4呢 2.求函数的值域。 注意：若遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。 3．（ac<0）类型函数求最值 例4. 当时，求的最大值。 方法：凑系数 变式：设，求函数的最大值。 4． 二元函数的条件最值 例5.（1)已知 且 ，求 的最小值. （2）已知正数 满足 ，求 的最小值. 方法：整体代换 注意：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性 例6.已知x>0,y>0,xy=x+y+3, 求xy和x+y的取值范围 方法：构造不等式 （四）变式训练 求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. （1） （2） （五）达标检测 求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. 【基础题】 （1）（2）若且，求的最小值 【提高题】 （1）已知，求函数的最大值.； （2），求函数的最大值. 【拓展性】 已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值 （六）学习总结 我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。 【案例评析】 学生通过这节课的学习不仅掌握了求最值的方法，还体验到成功的喜悦。进而使学生掌握了学习数学的方法。

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