河南省郑州市新郑三中高考数学一模试卷 理（含解析）.doc

河南省郑州市新郑三中2015届高考 数学一模试卷（理科）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合a=x|lg（x2）0，b=x|x2，全集u=r，则（ua）b=( )ax|1x3bx|2x3cx|x=3d2复数在复平面内对应的点在第三象限是a0的( )a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件3为了调查学生每天零花钱的数量（钱数取整数元），以便引导学生树立正确的消费观在某校抽取样本容量为1000的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在6，14）内的频数为( )a780b680c648d4604一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )a112b80c72d645运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t的取值范围为( )atbtctdt6已知f（x）=|x+2|+|x4|的最小值是n，则二项式（x）n展开式中x4项的系数为( )a15b15c6d67在平面直角坐标系xoy中，已知任意角以x轴的正半轴为始边，若终边经过点p（x0，y0）且|op|=r（r0），定义：sicos=，称“sicos”为“正余弦函数”对于正余弦函数y=sicosx，有同学得到以下性质：该函数的值域为，；该函数图象关于原点对称；该函数图象关于直线x=对称；该函数的单调递增区间为2k，2k+，kz，则这些性质中正确的个数有( )a1个b2个c3个d4个8已知椭圆的离心率为，双曲线x2y2=1的渐近线与椭圆c有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆c的方程为( )abcd9点p是曲线x2ylnx=0上的任意一点，则点p到直线y=x2的最小距离为( )a1bcd10在区间，内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=x2+2axb2+有零点的概率为( )abcd11等比数列an中，a1=2，a8=4，函数f（x）=x（xa1）（xa2）（xa8），则f（0）=( )a212b29c28d2612已知函数f（x）=1+x，设f（x）=f（x+3），且函数f（x）的零点均在区间a，b（ab，a，bz）内，当ba取得最小值时，a+b的值为( )a1b4c7d3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13在正三棱锥sabc中，侧面sab、侧面sac、侧面sbc两两垂直，且侧棱，则正三棱锥sabc外接球的表面积为_14如图，过抛物线x2=4y焦点的直线依次交抛物线与圆x2+（y1）2=1于点a、b、c、d，则的值是_15椭圆为定值，且的左焦点为f，直线x=m与椭圆相交于点a、b，fab的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是_16已知函数f（x）=，若存在实数a，b，c，d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中dcba0，则abcd的取值范围是_三、解答题（本大题共5小题，共70分）17已知数列an的前n项和sn满足sn=p（snan）+（p为大于0的常数），且a1是6a3与a2的等差中项（）求数列an的通项公式；（）若anbn=2n+1，求数列bn的前n项和tn18“开门大吉”是某电视台推出的游戏益智节目选手面对14号4扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金正确回答每一扇门后，选手可自由选择带着奖金离开比赛，还可继续挑战后面的门以获得更多奖金（奖金金额累加），但是一旦回答错误，奖金将清零，选手也会离开比赛在一次场外调查中，发现参加比赛的选手多数分为两个年龄段：2030；3040（单位：岁），其猜对歌曲名称与否人数如图所示 每扇门对应的梦想基金：（单位：元）第一扇门第二扇门第三扇门第四扇门1000200030005000（）写出22列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关？说明你的理由（下面的临界值表供参考）p（k2k）0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828（）若某选手能正确回答第一、二、三、四扇门的概率分别为，正确回答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率是，且各个问题回答正确与否互不影响设该选手所获梦想基金总数为，求的分布列及数学期望（参考公式其中n=a+b+c+d）19如图，在矩形abcd中，点e为边ad上的点，点f为边cd的中点，ab=ae=，现将abe沿be边折至pbe位置，且平面pbe平面bcde（） 求证：平面pbe平面pef；（） 求二面角epfc的大小20设椭圆c：+=1（ab0）的离心率e=，右焦点到直线+=1的距离d=，o为坐标原点（）求椭圆c的方程；（）若直线l与椭圆c交于a，b两点，以ab为直径的圆过原点o，求o到直线l的距离21已知函数f（x）=ln（1+x）ax在x=处的切线的斜率为1（）求a的值及f（x）的最大值；（）证明：1+ln（n+1）（nn*）；（）设g（x）=b（exx），若f（x）g（x）恒成立，求实数b的取值范围请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时用2b铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑选修1-4：几何证明选讲22如图，abc是直角三角形，abc=90，以ab为直径的圆o交ac于点e，点d是bc边的中点，连接od交圆o于点m（1）求证：o、b、d、e四点共圆；（2）求证：2de2=dmac+dmab选修4-4：坐标系与参数方程23将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线c（）写出c的参数方程；（）设直线l：2x+y2=0与c的交点为p1，p2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段p1p2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x+a|+|x2|，（）当a=3时，求不等式f（x）3的解集；（）当a=1时，函数f（x）的最小值为m，若a，b，c是正实数，且满足a+b+c=m，求证：a2+b2+c23河南省郑州市新郑三中2015届高考数学一模试卷（理科）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合a=x|lg（x2）0，b=x|x2，全集u=r，则（ua）b=( )ax|1x3bx|2x3cx|x=3d考点：交、并、补集的混合运算 专题：集合分析：求出a中不等式的解集确定出a，根据全集u=r，求出a的补集，找出a补集与b的交集即可解答：解：由a中的不等式变形得：lg（x2）0=lg1，得到x21，即x3，a=x|x3，全集u=r，ua=x|x3，b=x|x2，（ua）b=x|2x3故选：b点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键2复数在复平面内对应的点在第三象限是a0的( )a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件考点：复数的代数表示法及其几何意义 专题：数系的扩充和复数分析：利用除法的运算法则：复数=a3i，由于在复平面内对应的点在第三象限，可得a0，即可判断出解答：解：复数=a3i，在复平面内对应的点在第三象限，a0，解得a0复数在复平面内对应的点在第三象限是a0的充分不必要条件故选：a点评：本题考查了复数的运算法则及其几何意义、充分不必要条件，属于基础题3为了调查学生每天零花钱的数量（钱数取整数元），以便引导学生树立正确的消费观在某校抽取样本容量为1000的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在6，14）内的频数为( )a780b680c648d460考点：频率分布直方图 专题：计算题；概率与统计分析：根据频率分布直方图中各个小长方形的面积之和等于1，求出样本数据落在6，14）内的频率，即可求出对应的频数解答：解：根据题意，得样本数据落在6，14）内的频率是1（0.02+0.03+0.03）4=0.68；样本数据落在6，14）内的频数是10000.68=680故选：b点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应灵活应用频率分布直方图中各个小长方形的面积之和等于1的条件，是基础题4一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )a112b80c72d64考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题分析：根据三视图我们可以判断，该几何体是由一个正方体和一个四棱锥组成的组合体，根据三视图中标识的数据，结合正方体的体积公式和棱锥的体积公式，即可得到答案解答：解：根据三视图我们可以判断，该几何体是由一个正方体和一个四棱锥组成的组合体，根据三视图中标识的数据可知：正方体及四棱锥的底面棱长均为4，四棱锥高3则v正方体=444=64=16故v=64+16=80故选b点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，根据三视图确定几何体的形状是解答此类问题的关键5运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t的取值范围为( )atbtctdt考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行的结果是什么解答：解：模拟程序框图的运行过程，可得：n=0，x=t，a=1，n=0+2=2，x=2t，a=21=1；24，否，n=2+2=4，x=4t，a=41=3；44，否，n=4+2=6，x=8t，a=63=3；64，是，输出ax=38t；38t3，8t1，即t；t的取值范围为t|t故选：b点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案来，属于基础题6已知f（x）=|x+2|+|x4|的最小值是n，则二项式（x）n展开式中x4项的系数为( )a15b15c6d6考点：二项式系数的性质；绝对值不等式的解法 专题：二项式定理分析：由条件利用绝对值三角不等式求得n=6，在二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于4，求得r的值，即可求得展开式中的x4项的系数解答：解：f（x）=|x+2|+|x4|的最小值是n，f（x）=|x+2|+|x4|（x+2）（x4）|=6，n=6，二项式（x）n =（x）6展开式的通项公式为 tr+1=（1）rx62r，令62r=4，求得 r=1，可得二项式（x）n展开式中x4项的系数为6，故选：d点评：本题主要考查绝对值三角不等式，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题7在平面直角坐标系xoy中，已知任意角以x轴的正半轴为始边，若终边经过点p（x0，y0）且|op|=r（r0），定义：sicos=，称“sicos”为“正余弦函数”对于正余弦函数y=sicosx，有同学得到以下性质：该函数的值域为，；该函数图象关于原点对称；该函数图象关于直线x=对称；该函数的单调递增区间为2k，2k+，kz，则这些性质中正确的个数有( )a1个b2个c3个d4个考点：进行简单的合情推理 专题：三角函数的图像与性质；推理和证明分析：首先根据题意，求出y=sicos=sin（x），然后根据正弦函数的图象和性质逐一判断即可解答：解：根据三角函数的定义可知x0=rcosx，y0=rsinx，所以sicos=sinxcosx=sin（x），因为，所以sin（x），即该函数的值域为，；因为f（0）=sin（）=10，所以该函数图象不关于原点对称；当x=时，f（）=sin=，所以该函数图象关于直线x=对称；因为y=f（x）=sicos=sin（x），所以由2kx2k+，可得2kx2k+，即该函数的单调递增区间为2k，2k+，kz综上，可得这些性质中正确的有3个：故选：c点评：本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，解答此题的关键是首先求出函数y=sicos的表达式8已知椭圆的离心率为，双曲线x2y2=1的渐近线与椭圆c有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆c的方程为( )abcd考点：双曲线的简单性质；椭圆的标准方程 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：确定双曲线x2y2=1的渐近线方程为y=x，根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，可得（2，2）在椭圆上，再结合椭圆的离心率，即可确定椭圆的方程解答：解：由题意，双曲线x2y2=1的渐近线方程为y=x以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，边长为4，（2，2）在椭圆上椭圆的离心率为，=（）2a2=2b2a2=12，b2=6椭圆方程为：故选b点评：本题考查双曲线的性质，考查椭圆的标准方程与性质，考查学生的计算能力，正确运用双曲线的性质是关键9点p是曲线x2ylnx=0上的任意一点，则点p到直线y=x2的最小距离为( )a1bcd考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：计算题分析：由题意知，当曲线上过点p的切线和直线y=x2平行时，点p到直线y=x2的距离最小，求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得且点的坐标，此切点到直线y=x2的距离即为所求解答：解：点p是曲线y=x2lnx上任意一点，当过点p的切线和直线y=x2平行时，点p到直线y=x2的距离最小直线y=x2的斜率等于1，令y=x2lnx的导数 y=2x=1，x=1，或 x=（舍去），故曲线y=x2lnx上和直线y=x2平行的切线经过的切点坐标（1，1），点（1，1）到直线y=x2的距离等于 ，故点p到直线y=x2的最小距离为 ，故选d点评：本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，体现了转化的数学思想10在区间，内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=x2+2axb2+有零点的概率为( )abcd考点：等可能事件的概率 专题：压轴题分析：先判断概率的类型，由题意知本题是一个几何概型，由a，b使得函数f（x）=x2+2axb2+有零点，得到关于a、b的关系式，写出试验发生时包含的所有事件和满足条件的事件，做出对应的面积，求比值得到结果解答：解：由题意知本题是一个几何概型，a，b使得函数f（x）=x2+2axb2+有零点，0a2+b2试验发生时包含的所有事件是=（a，b）|a，bs=（2）2=42，而满足条件的事件是（a，b）|a2+b2，s=422=32，由几何概型公式得到p=，故选b点评：高中必修中学习了几何概型和古典概型两种概率问题，先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件a包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数再看是不是几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到11等比数列an中，a1=2，a8=4，函数f（x）=x（xa1）（xa2）（xa8），则f（0）=( )a212b29c28d26考点：导数的运算 专题：导数的概念及应用分析：对函数进行求导发现f（0）中，含有x的项的值均为0，而常数项为a1a2a3a8，由此求得f（0）的值解答：解：f（x）=x（xa1）（xa2）（xa8）=x（xa1）（xa2）（xa8），f（x）=（xa1）（xa2）（xa8）+x（xa1）（xa2）（xa8），考虑到求导中f（0），含有x项均取0，得：f（0）=a1a2a3a8=（a1a8）4=212故选：a点评：本题考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，属于基础题12已知函数f（x）=1+x，设f（x）=f（x+3），且函数f（x）的零点均在区间a，b（ab，a，bz）内，当ba取得最小值时，a+b的值为( )a1b4c7d3考点：函数零点的判定定理 专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用分析：求导数，确定f（x）是r上的增函数，函数f（x）在1，0上有一个零点，即可得出结论解答：解：f（x）=1+x，f（x）=1x+x2x3+x2010，x1时，f（x）0，f（1）=10，x1时，f（x）0，因此f（x）是r上的增函数，f（0）=10，f（1）=（11）+（）+（）0函数f（x）在1，0上有一个零点；函数f（x+3）在4，3上有一个零点，a=4，b=3a+b=7故选：c点评：此题是难题考查函数零点判定定理和利用导数研究函数的单调性以及数列求和问题以及函数图象的平移，学生灵活应用知识分析解决问题的能力二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13在正三棱锥sabc中，侧面sab、侧面sac、侧面sbc两两垂直，且侧棱，则正三棱锥sabc外接球的表面积为36考点：球内接多面体；球的体积和表面积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：正三棱锥sabc的三个侧面两两垂直，转化为三条侧棱两两互相垂直，该三棱锥的各个顶点均为棱长为2的正方体的顶点，通过正方体的对角线的长度，求出外接球半径，即可求解球的表面积解答：解：在正三棱锥sabc中，侧面sab、侧面sac、侧面sbc两两垂直，所以正三棱锥sabc的三条侧棱两两互相垂直，且sa=2，正三棱锥sabc的外接球即为棱长为2的正方体的外接球则外接球的直径2r=2=6，所以外接球的半径为：3故正三棱锥sabc的外接球的表面积s=4r2=36故答案为：36点评：本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中根据已知结合正方体的几何特征，得到该正三棱锥是正方体的一部分，并将问题转化为求正方体外接球表面积，是解答本题的关键14如图，过抛物线x2=4y焦点的直线依次交抛物线与圆x2+（y1）2=1于点a、b、c、d，则的值是1考点：圆与圆锥曲线的综合 专题：数形结合分析：设a、d的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）及直线方程，联立直线和抛物线的方程求出y1y2，y1+y2，并用y1，y2表示af，fd，而所求=（af1）（fd1），代入上述式子中即可解答：解：设a、d的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），依题意知焦点f（0，1），则设直线ad方程为：y=kx+1，联立消去x，得y2（2+4k2）y+1=0，y1+y2=2+4k2，y1y2=1又根据抛物线定义得af=，fd=，af=y1+1，fd=y2+1=（af1）（fd1）=y1y2=1故答案为1点评：此题设计构思比较新颖，考查抛物线的定义及巧妙将向量数量积转化，同时在解答过程中处理直线和抛物线的关系时运用了设而不求的方法15椭圆为定值，且的左焦点为f，直线x=m与椭圆相交于点a、b，fab的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是考点：椭圆的简单性质 专题：计算题；压轴题分析：先画出图象，结合图象以及椭圆的定义求出fab的周长的表达式，进而求出何时周长最大，即可求出椭圆的离心率解答：解：设椭圆的右焦点e如图：由椭圆的定义得：fab的周长为：ab+af+bf=ab+（2aae）+（2abe）=4a+abaebe；ae+beab；abaebe0，当ab过点e时取等号；fab的周长：ab+af+bf=4a+abaebe4a；fab的周长的最大值是4a=12a=3；e=故答案：点评：本题主要考察椭圆的简单性质在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口16已知函数f（x）=，若存在实数a，b，c，d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中dcba0，则abcd的取值范围是（21，24）考点：对数函数图象与性质的综合应用 专题：函数的性质及应用分析：由题意可得log3a=log3b=c2c+8=d2d+8，可得 log3（ab）=0，ab=1结合函数f（x）的图象，在区间3，+）时，令f（x）=1可得c=3、d=7、cd=21令f（x）=0可得c=4 d=6、cd=24由此求得abcd的范围解答：解：由题意可得log3a=log3b =c2c+8=d2d+8，可得log3（ab）=0，故ab=1结合函数f（x）的图象，在区间3，+）上，令f（x）=1可得c=3、d=7、cd=21令f（x）=0可得c=4、d=6、cd=24故有 21abcd24，故答案为（21，24）点评：本题主要考查对数函数、二次函数的图象、性质应用，属于中档题三、解答题（本大题共5小题，共70分）17已知数列an的前n项和sn满足sn=p（snan）+（p为大于0的常数），且a1是6a3与a2的等差中项（）求数列an的通项公式；（）若anbn=2n+1，求数列bn的前n项和tn考点：数列递推式；数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：（i）当n2时，利用an=snsn1即可得出an，n=1时单独考虑，再利用等比数列的通项公式即可得出；（ii）由（i）得，利用“错位相减法”即可得出其前n项和解答：解：（i）当n=1时，得当n2时，两式相减得an=pan1，即故an是首项为，公比为p的等比数列，由题意可得：2a1=6a3+a2，化为6p2+p2=0解得p=或（舍去）=（ii）由（i）得，则，+（2n1）2n+（2n+1）2n+1，两式相减得tn=32+2（22+23+2n）（2n+1）2n+1=2（2n1）2n+1，点评：熟练掌握：当n2时，利用an=snsn1，a1=s1；等比数列的通项公式，“错位相减法”是解题的关键18“开门大吉”是某电视台推出的游戏益智节目选手面对14号4扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金正确回答每一扇门后，选手可自由选择带着奖金离开比赛，还可继续挑战后面的门以获得更多奖金（奖金金额累加），但是一旦回答错误，奖金将清零，选手也会离开比赛在一次场外调查中，发现参加比赛的选手多数分为两个年龄段：2030；3040（单位：岁），其猜对歌曲名称与否人数如图所示 每扇门对应的梦想基金：（单位：元）第一扇门第二扇门第三扇门第四扇门1000200030005000（）写出22列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关？说明你的理由（下面的临界值表供参考）p（k2k）0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828（）若某选手能正确回答第一、二、三、四扇门的概率分别为，正确回答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率是，且各个问题回答正确与否互不影响设该选手所获梦想基金总数为，求的分布列及数学期望（参考公式其中n=a+b+c+d）考点：独立性检验的应用；频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差 专题：计算题；概率与统计分析：（）根据所给的二维条形图得到列联表，根据列联表中所给的数据，代入求观测值的公式，求出这组数据的观测值，把观测值同临界值表中的临界值进行比较，得到结论；（）确定的所有能取值，求出相应的概率，即可求出的分布列及数学期望解答：解：（）根据所给的二维条形图得到列联表，正确错误合计2030（岁）1030403040（岁）107080合计20100120根据列联表所给的数据代入观测值的公式得到k2=332.706有10.10=90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关（）的所有能取值分别为：0，1000，3000，6000，11000则的分布列为010003000600011000p数学期望点评：本题考查独立性检验的应用，考查分布列及数学期望本题解题的关键是学会读图和画图，在所给的二维条形图中能够看出所需要的数据19如图，在矩形abcd中，点e为边ad上的点，点f为边cd的中点，ab=ae=，现将abe沿be边折至pbe位置，且平面pbe平面bcde（） 求证：平面pbe平面pef；（） 求二面角epfc的大小考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题 专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用分析：（i）由题设条件推导出efbe，从而得到ef平面pbe，由此能证明平面pbe平面pef（ii）设ad=3，以d为原点，以dc方向为x轴，以ed方向为y轴，以与平面ebcd向上的法向量同方向为z轴，建立坐标系，利用向量法能求出二面角epfc的大小解答：（i）证明：在rtdef中，ed=df，def=45，在rtabe中，ae=ab，aeb=45，bef=90，efbe，平面pbe平面bcde，且平面pbe平面bcde=be，ef平面pbe，ef平面pef，平面pbe平面pef（ii）解：由题意，不妨设ad=3，以d为原点，以dc方向为x轴，以ed方向为y轴，以与平面ebcd向上的法向量同方向为z轴，建立坐标系在矩形abcd中，点e为边ad上的点，点f为边cd的中点，ab=ae=，设平面pef和平面pcf的法向量分别为=（x1，y1，z1），=（x2，y2，z2）由及，得到，=又由及，得到，=，综上所述，二面角epfc大小为150点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要注意空间思维能力的培养和向量法的合理运用20设椭圆c：+=1（ab0）的离心率e=，右焦点到直线+=1的距离d=，o为坐标原点（）求椭圆c的方程；（）若直线l与椭圆c交于a，b两点，以ab为直径的圆过原点o，求o到直线l的距离考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）利用离心率e=，右焦点到直线+=1的距离d=，建立方程，求出a，b，即可求椭圆c的方程；（）设直线l：y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合直线l与椭圆c交于a，b两点，以ab为直径的圆过原点o，即可求出o到直线l的距离解答：解：（），右焦点（c，0）到直线的距离，则，且b2+c2=1，a2=4，b2=3，椭圆c的方程是：（）设直线l：y=kx+m，a（x1，y1），b（x2，y2）那么：，则（4k2+3）x2+8kmx+4m212=0，x1+x2=，x1x2=又直线l与椭圆c交于a，b两点，以ab为直径的圆过原点o，x1x2+y1y2=0，x1x2+（kx1m）（kx2m）=0，化简得，即o到直线l的距离为点评：本题考查椭圆的性质及应用，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，综合性强，属于中档题21已知函数f（x）=ln（1+x）ax在x=处的切线的斜率为1（）求a的值及f（x）的最大值；（）证明：1+ln（n+1）（nn*）；（）设g（x）=b（exx），若f（x）g（x）恒成立，求实数b的取值范围考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：综合题；压轴题分析：（）函数f（x）的定义域为（1，+）求导数，利用函数f（x）=ln（1+x）ax在x=处的切线的斜率为1，可求a的值，再确定函数的单调性，从而可求f（x）的最大值；（）法（一）：由（），得ln（1+x）x0，即ln（1+x）x，当且仅当x=0时，等号成立令x=（kn*），从而可得ln（k+1）lnk（k=1，2，n），将上述n个不等式依次相加，即可证得结论；法（二）：先证明当n=1时，不等式成立；再假设当n=k时，不等式成立，结合xln（1+x）（x1，且x0）及x=，即可证得结论；（）先确定b0由（），知f（x）max=f（0）=0，再求g（x）的最小值，从而可求实数b的取值范围解答：（）解：函数f（x）的定义域为（1，+）求导数，得f（x）=a由已知，函数f（x）=ln（1+x）ax在x=处的切线的斜率为1f（）=1，即a=1，a=1此时f（x）=ln（1+x）x，f（x）=1=，当1x0时，f（x）0；当x0时，f（x）0当x=0时，f（x）取得极大值，该极大值即为最大值，f（x）max=f（0）=0（）证明：法（一）：由（），得ln（1+x）x0，即ln（1+x）x，当且仅当x=0时，等号成立令x=（kn*），则ln（1+），即ln，ln（k+1）lnk（k=1，2，n）将上述n个不等式依次相加，得1+（ln2ln1）+（ln3ln2）+ln（n+1）lnn，1+ln（n+1）（nn*）法（二）：用数学归纳法证明（1）当n=1时，左边=1=lne，右边=ln2，左边右边，不等式成立（2）假设当n=k时，不等式成立，即1+ln（k+1）那么1+ln（k+1）+，由（），知xln（1+x）（x1，且x0）令x=，则ln（1+）=ln，ln（k+1）+ln（k+1）+ln=ln（k+2），1+ln（k+2）即当n=k+1时，不等式也成立根据（1）（2），可知不等式对任意nn*都成立（）解：f（0）=0，g（0）=b，若f（x）g（x）恒成立，则b0由（），知f（x）max=f（0）=0（1）当b=0时，g（x）=0，此时f（x）g（x）恒成立；（2）当b0时，g（x）=b（ex1），当x（1，0）时，g（x）0，g（x）单调递减；当x（0，+）时，g（x）0，g（x）单调递增g（x）在x=0处取得极小值，即为最小值，g（x）min=g（0）=b0f（x），即f（x）g（x）恒成立综合（1）（2）可知，实数b的取值范围为0，+）点评：本题考查导数知识的运用，考查数学归纳法，考查恒成立问题，解题的关键是理解导数的几何意义，掌握数学归纳法的证题步骤，确定函数的最值，综合性强请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时用2b铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑选修1-4：几何证明选讲22如图，abc是直角三角形，abc=90，以ab为直径的圆o交ac于点e，点d是bc边的中点，连接od交圆o于点m（1）求证：o、b、d、e四点共圆；（2）求证：2de2=dmac+dmab考点：与圆有关的比例线段 专题：证明题；直线与圆分析：（1）连接be、oe，由直径所对的圆周角为直角，得到beec，从而得出de=bd=，由此证出odeodb，得oed=obd=90，利用圆内接四边形形的判定定理得到o、b、d、e四点共圆；（2）延长do交圆