概率论与数理统计连续型随机变量及其概率分布.pptVIP

2 4连续型随机变量及其概率密度 2 4 1连续型随机变量及其概率密度函数 2 4 常见的连续型随机变量 2 4 1连续型随机变量及其概率密度函数 定义 设X是一随机变量 若存在一个非负可积函数f x 使得 其中F x 是它的分布函数 则称X是连续型随机变量 f x 是它的概率密度函数 p d f 简称为密度函数或概率密度 分布函数F x 与密度函数f x 的几何意义 p d f f x 的性质 常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续型随机变量的密度函数 或求其中的未知参数 在f x 的连续点处 对于连续型随机变量 还要指出两点 1 F x 是连续函数 2 P X a 0 a为任意实数 因此 对于连续型随机变量 有 例1设随机变量具有概率密度函数试确定常数A 以及的分布函数 解 由 知A 3 即 而的分布函数为 AB的距离为X 求X的分布函数 概率密度函数f x 当时 使EF与AB间的距离为x 于是 2 4 2 1均匀分布 a b 上的均匀分布 记作 2 4 2常见的连续型随机变量 若X的密度函数为 则称X服从区间 其中 X的分布函数为 即X的取值在 a b 内任何长为d c的小区间的概率与小区间的位置无关 只与其长度成正比 这正是几何概型的情形 若随机变量 在区间 a b 内等可能的取值 则 应用场合 例3秒表的最小刻度差为0 01秒 若计时精度是取最近的刻度值 求使用该秒表计时产生的随机误差X的概率密度 并计算误差的绝对值不超过0 004秒的概率 解由题设知随机误差X等可能地取得区间上的任一值 则 所以 2 4 2 2指数分布 若X的密度函数为 则称X服从参数为 的指数分布 记作 X的分布函数为 0为常数 对于任意的0 a b 应用场合 用指数分布描述的实例有 随机服务系统中的服务时间 电话问题中的通话时间 无线电元件的寿命 动物的寿命 指数分布常作为各种 寿命 分布的近似 若X 则 所以 又把指数分布称为 永远年轻 的分布 指数分布的 无记忆性 事实上 例4 令 B 等待时间为10 20分钟 例5假定一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N t 服从参数为 t的Poisson分布 求相继两次故障的时间间隔T的概率分布 2 求设备已经无故障运行 小时的情况下 再无故障运行10小时的概率 解 1 即 1 定义若X的概率密度为 分布函数为 其中 0 为常数 则称X服从参数为 的正态分布或高斯 Gauss 分布 记作X N 2 2 4 2 3正态分布 f x 的性质 1 图形关于直线x 对称 f x f x 在x 时 f x 取得最大值 或对于任意的x 0有 P x X P X x 显然 x离 越远 f x 的值越小 即对于同样长度的区间 X落在离 越远的区间内 概率越小 2 3 曲线y f x 的图形呈单峰状 4 拐点 f 水平渐近线 ox轴 5 f x 的两个参数 6 固定 改变 值 曲线f x 形状不变 仅沿x轴平移 可见 确定曲线f x 的位置 7 固定 改变 值 则 愈小时 f x 图形的形状愈陡峭 X落在 附近的概率越大 位置参数 形状参数 正态分布的密度曲线是一条关于对称的钟形曲线 特点是 两头小 中间大 左右对称 决定了图形的中心位置 决定了图形中峰的陡峭程度 应用场合 若随机变量X受到众多相互独立的随机因素的影响 而每一个别因素的影响都是微小的 且这些影响可以叠加 则X服从正态分布 可用正态变量描述的实例非常之多 各种测量的误差 人的生理特征 工厂产品的尺寸 农作物的收获量 海洋波浪的高度 金属线的抗拉强度 热噪声电流强度 学生们的考试成绩 正态分布是概率论中最重要的分布 这可以由以下情形加以说明 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一 大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的 可以证明 如果一个随机指标受到诸多因素的影响 但其中任何一个因素都不起决定性作用 则该随机指标一定服从或近似服从正态分布 正态分布有许多良好的性质 这些性质是其它许多分布所不具备的 正态分布可以作为许多分布的近似分布 正态分布的重要性 标准正态分布X N 0 1 即当 0 1时的正态分布 密度函数 分布函数 3 4 1 2 设X N 1 4 求P 0 X 1 6 解 例6 求P X 0 解1 解二图解法 0 2 由图 例3 原理 设X N 2 求 解 在一次试验中 X落入区间 3 3 的概率为0 9974 而超出此区间的可能性很小 由3 原理知 当 0 1 645 2 575 1 645 2 575 标准正态分布的上 分位数z 1 已知X N 3 22 且P X C P X C 则C 2 设X N 42 Y N 52 记p1 P X 4 p2 P Y 5 则 对任意实数 都有p1 p2 对任意实数 都有p1p2 3 课堂练习 f x x 0 P X P X 设X N 2 则随 的增大 概率P X 单调增大 单调减少 保持不变 增减不定 设X N 10 0 0004 2 5 0 9938 则X落在区间 9 95 10 05 内的概率为 设X N 2 2 且P 2 X 4 0 3 则P X 0 0 9876 0 2 设测量的误差X