在高等代数教学中融入数学建模思想的探索与实践 (1).pdf

2008 年 8 月第 4 期 高教论坛 Higher Education Forum Aug 2008 No14 收稿日期 2008 03 16 基金项目 广西科学基金 05575051 新世纪广西高等教育 教学改革工程立项项目 广西教育科学 十一五0 规划 2008 年度立项项目 广西师范学院教改工程 立项项目 广西师范学院实验教学和实验技术立 项项目 作者简介 韦程东 1965 男 壮族 广西上林县人 理学硕 士 广西师范学院数学与计算机科学系副教授 硕 士生导师 从事数学与应用数学的教学和研究 在高等代数教学中融入数学建模思想的探索与实践 韦程东 周桂升 薛婷婷 广西师范学院 数学与计算机科学系 广西 南宁 530001 摘 要 高等代数是一门抽象性和理论性较强的学科 在教学中所涉及的例子较少能与实际生活密切相连 让人感觉到学习 的内容与生产实践脱节 体现不了数学的应用价值 数学建模思想就是将知识由抽象转化为形象 由理论转化为应用的思 想 在高等代数教学中融入数学建模思想是必要的也是可行的 研究与实践表明 数学建模思想对培养人的创新思维及数学 应用意识 提高教学质量以及学生的数学素质方面起着重要的作用 关键词 高等代数 数学建模思想 教学 研究 中图分类号 G642 0 文献标识码 A 文章编号 1671 9719 2008 04 0028 03 引言 随着科技发展和普及 数学的应用也越来越受 重视 高等数学教育的模式也将发生一场深刻的变 革 数学建模竞赛活动的深入开展 为新的数学教 学模式打开了新思路 开辟了新途径 在高等代数 中融入数学建模思想的研究与实践是当前数学教学 改革的重要内容 一 高等代数及数学建模思想的概述 高等代数是大学数学的一门基础课 内容多 比 较抽象 从近几年出版的教材和教参上看 高等代数 的内容越来越精深 多项式及线性空间的研究较为 活跃 矩阵 线性方程等方面的内容已被广泛应用于 实际问题 数学建模的本质是依据现实世界的实际 问题 运用适当的方法和规范的数学语言及数学工 具 反复多次拟合直到求出一个可以反映实际问题 的模型 数学建模方法能够使数学知识形象化 系 统化和实用化 同时数学建模思想是学习数学的催 化剂和认识理论规律的有力武器 然而 如何教会 学生应用高等代数的知识来有效地解决实际问题 让他们感到所学的内容与实际生活密切相连 值得 我们深入研究 二 高等代数与数学建模思想的融合 在高等代数中融入数学建模思想是必要的 首 先 数学模型是数学知识的载体 即通过把抽象的理 论知识结构化 形象化 实用化而形成的数学模型 有利于学习者对知识的理解 从而实现理论知识的 系统化 其次 数学建模思想是数学模型的灵魂 是 贯穿理论知识的主线 在高等代数的一些概念 性 质 公理 定理和推论的教学中渗透数学建模思想 就能够分清各知识脉络以及它们的联系 再次 数 学建模思想能将知识向深度和广度延伸 高等代数 中有许多具体问题和定理还值得深入挖掘其中的知 识点 与其它学科相结合方面的问题也有待进一步 探讨 最后 数学建模思想是围绕一个现实需要解 决的问题展开 有利于知识的针对性 激发学生学习 抽象知识的兴趣 在高等代数中融入数学建模思想是可行的 例 如在多项式 行列式 线性方程组 矩阵 线性空间等 都可以找到相应的实际问题 作为理解知识点的平 台 在选择案例时应从简洁 直观和与知识点相称的 实际入手 从而达到既有利于知识的理解 又可通过 对实际问题的解决 感受获取知识的乐趣 增强学习 高等代数的信心 从而激发学习高等代数的兴趣 在绪论 概念 定理及推论的教学中渗透数学建 模思想 高等代数内容虽然多而且抽象但层次还是 比较清晰的 在教学过程中 我们可从教材基本内容 的框架入手 让学生了解各个章节的内容所产生的 时代背景 与哪方面的知识相关 对概念 定理和推 28 论的教学 我们应从它们的实际 原型0或学生熟悉 的日常生活中的例子作为媒介引入 融入数学建模 思想 这样 学生不但能学到知识 而且能体验到探 索 发现和创造的过程 在课后习题中渗透数学建模思想 传统的高等 代数课本中的习题 大多数是为学生巩固基础知识 运算技巧而配置的 应适当选择一些与实际问题有 关的习题 让学生用所学的知识运用数学建模的思 想方法来解决 这样 不仅能巩固所学知识 而且能 提高数学知识的应用能力 三 在高等代数教学中融入数学建模思想的案 例 1 将抽象思维形象化 高等代数的中心内容并不是直接为建立数学模 型服务的 然而 通过数学模型的形象思维可使相应 知识具有应用价值 增强对知识的记忆和理解 在 高等代数尤其是在线性代数部分 几何的形象性被 广泛应用 从几何的角度去理解抽象的高等代数的 概念 定理 性质等 从而取得比较好的教学效果 这里我们引用行列式与几何的联系来解释高等代数 中抽象思维的形象化 比如对一个三阶行列式 a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 我们看 一下三维立体空间 以 a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 为坐标的三个向量 那么以这三个向量 为棱的平行六面体的体积为 V a b c cos3c a b4 a b c 因为 a b c a2 b2 a3 b3 c1 a1 b1 a3 b3 c2 a1 b1 a2 b2 c3 所以 a b c a2 b2 a3 b3 c1 a1 b1 a3 b3 c2 a1 b1 a2 b2 c3 a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 因此可以看出实数域上的三阶矩阵行列式其实 就是以 a b c 这三个向量为棱的平行六面体的体 积 对一个问题可以从不同的角度去理解 并且有 多种解释 这也体现了数学建模思想的本质 这样做 不仅拓宽了知识面 也加深了知识的理解 避免对知 识的僵化认识 2 将理论知识实用化 高等代数的内容都是抽象的理论 繁琐的计算 往往难以让人体会到高等代数的现实意义 也就很 难激发学生的学习兴趣 考虑到这种因素 在教学的 过程中尽可能地研究一些典型的应用实例 比如行 列式概念的引入 货物交换的经济模型 诺贝尔经济学奖获得者 列昂杰夫 Leontief 考虑的一个经济学模型 在一 个原始部落 根据分工 人们分别从事 3 种劳动 农 田耕作 记为 F 农具与工具的制作 记为 M 以及 织物的编织 记为 C 人们之间的贸易是实物交易 图 1 给出这 3组人之间的交易系统 图中所示表明 农夫们将每年收获的一半留给自己 并分别拿出1 4 给工匠们和织布者们 而工匠们却平均分配他们制 作的用具给每个组 织布者们则留下 1 4 的衣物给 自己 并拿出 1 4 给工匠们 1 2 给农夫们 此交易 系统也可以用表给出 见表 1 图 1 3 组人之间的交易系统 表 1 交易情况表 FMC F M C 1 21 31 2 1 41 31 4 1 41 31 4 随着社会的发展 实物交易形式变得十分不方 便 于是部落决定用货币进行交易 假设没有资本 和负债 那么如何给每类产品定价 使其公正地体现 旧有的实物交易系统呢 令 x1为农作物的价值 x2为农具及工具的价 值 x3为织物的价值 那么由表 1 的第一行 农夫们 生产的价值应等于他们交换到的产品 包括留给自 己的 价值 即有 x1 1 2 x1 1 3 x2 1 2 x3 同理 可得 工匠们和纺织者们生产与交换的价值方程为 x2 1 4 x1 1 3 x2 1 4 x3 x3 1 4 x1 1 3 x2 1 4 x3 整理得 如 下方程组 1 2 x1 1 3 x2 1 2 x3 0 1 4 x1 2 3 x2 1 4 x3 0 1 4 x1 1 3 x2 3 4 x3 0 因此 该问题可归结为一个三元一次线性方程 组的求解问题 以此问题引出行列式 使学生了解 行列式与线性方程组的密切联系 从简单的经济问 29 题入手 让学生了解知识的应用背景 表明学习行列 式是为生产实践服务的 从而提高学生学习的积极 性 类似的可以通过这些简单直观的例子可以让学 生了解学习矩阵 线性方程 多项式等都是与我们的 生产实际密切相关的 这样处理既让学生易于接受 方便各个内容的深入学习 又能激发学生的求知欲 增强数学的应用意识 通常的教学过程是这样一种模式 概念 相应 定理公式 例题求解 整个过程也许对思维能力得 到一定的锻炼 但由于缺乏实例作为支撑 导致学生 数学的应用能力得不到提高 如何寻找一些简单实 用的例子作为知识的载体是每个数学教师研究的重 要问题 对学生来说以现成的实例为研究对象不失 为一种很好的学习方法 而数学建模思想就是基于 对某个实际问题进行分析 从中发现其中可以用数 学语言来描述的关系或规律 并能有效地利用所学 知识 这样做有助于学生将数学知识转化为解决实 际问题的能力 使理论与实践完美统一 四 在高等代数教学中融入数学建模思想的思 考与建议 从近几年的数学建模教学践来看 数学建模思 想已经把各学科的知识紧密地联系起来 在高等代 数教学中模型教学案例的选择 应该遵循两个原则 一是 少而精0 数学建模思想的侧重点应该是方法 的训练 而不是知识的灌输 应选择简单 直观又能 反映课本知识内容且在知识的应用上有深度 有特 色的典型例子 二是 贴近原型0 数学建模中的案例 应该与高等代数内容有紧密联系 它应尽可能地贴 近实际问题 尽管在高等代数中融入数学建模思想 有很多作用 但也有以模型作为知识切入点不易把 握的局限性 因此 在教学过程中也不应过分追求模 型的介入来处理教材的内容 反之会有喧宾夺主的 嫌疑 如果在教学中引入过于复杂的模型例子来分 析课本内容知识 就会导致问题复杂化 课时安排也 不允许 收不到好的教学效果 因此 要想把两者较好地结合起来 我们建议 1 平时注意建立问题题库 2 不断创新 改进教学 模式 高等代数中的基本概念如多项式 矩阵行列 式 线性变换 行列式等都不是孤立存在的而是有机 地联系在一起的 涉及到其中某个章节的概念 通 常可以利用它们的相互关系转化为另一概念来表述 的形式并加以理解 例如 行列式与线性方程组的 联系 3 引导学生收集高等代数和数学建模方面的 资料 在5大学数学6和5数学通报6等数学刊物上常 涉及到这两方面的知识 4 渗透数学建模工具软件 的应用 例如在讲到行列式和矩阵的计算时可使用 Matlab Mathematica 等数学工具软件演示求解过 程 使学生有针对性感受知识的即时应用 学会 数 学地0思考和解决问题 从中领悟到数学的真谛和应 用价值 随着大学教学改革的推进 数学建模思想逐渐 渗透到各个学科 特别是使大学数学的主干课程联 系更加紧密 研究实践表明 在高等代数中融入数 学建模思想利于高等代数知识结构的整合 对教师 的教学理念和学生的学习方式的转变都将起到重要 的促进作用 对提高教学质量以及学生的数学素质 方面都起到重要的作用 责任编辑 徐建平 The Probe and Practice on Melting into Mathematical Modeling Thought in Higher Algebra Teaching WEI Cheng dong ZHOU Gui sheng XUE Ting ting Department of Mathematics and Computer Science Guangxi T eachers College Nanning 530001 China Abstract Higher algebra is an abstract and theoretical subject In the teaching it is hard to join the examples with the real life This gives people the impression that learning algebra is not useful The value of mathematics is lost This article clarifies the nature and role of mathematical modeling thought T his thought will change abstract into image change theory into applica tion and illustrates that this thought is necessary and feasible in higher algebra teaching Melting modeling thought will be able to solve these problems mentio