小学数学论文：寓形于数 予数于形.doc

小学数学论文寓形于数 予数于形【摘 要】 数形结合思想-就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合。笔者根据自己的教学经验，利用数形结合思想探索出一条“数上构形、以形思数，想形画意”的数学教学及问题解决策略，这种策略不仅帮助学生很好地建立了数学概念，理解了数学公式和各种性质，还培育了学生推理和归纳的能力，促进了学生对数学知识的重新建构，很好地发展了空间观念。【关键词】 数形结合 数学教学 问题解决 策略 华罗庚先生曾经这样说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好,割裂分家万事休。”可见,在数形结合在数学教学中地位,尤其对小学生来说,教师要有意识地沟通数、形之间的联系，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过对图形的处理，发挥图形对抽象数学内容的支撑作用，引导学生借助形的直观来理解数的抽象，利用数的抽象来提升形的内在逻辑，以达到化难为易、化繁为简、化隐为显的目的，从而帮助学生理解知识、启迪思维，促进学生的发展。一、以形辅数，在直观中建立概念通过图形的直观性，将抽象的数学概念形象化、简单化，给学生以直观感，使学生从已有的知识经验出发，亲历将实际问题抽象成数学模型的过程，在形成表象的基础上进行想象，以抽象出数学概念的内涵和外延，帮助学生理解数学概念，最终达到解决数学问题，形成数学思想的目的。如：在教学因数和倍数时，运用图形创设如下的问题情境：问：你能把这12个小正方形摆成不同的长方形吗？（出示12个小正方形）师：你打算怎么摆？（生：每排摆4个摆3排 每排摆6个摆2排 每排摆12个摆1排。）根据学生的回答与拼摆，出示下图12 4 6123 12122(C )( B )( A )师：（指第一幅图）大家看这幅图，每排摆4个，摆3排，一共12个正方形，像这样我们就可以说4是12的因数，3也是12的因素。反过来，我们还可以说，12是4的倍数，12也是3的倍数。这就是我今天要研究的“因数和倍数”。（板书课题）师：你能把另外两个图形说一说，谁是谁的因数，谁是谁的倍数吗？师：同学们说得很好，那么第一幅图你能用一个算式来表示吗？ 4312 （或1234）师：现在你能不能结合这两个算式说一说谁是谁的因数？谁是谁的倍数？师：另外两个图形能用算式来表示吗？ 6212 （或1226） 12112 （或12112）师：现在仍然有12个正方形，每排摆5个（课件出示），你看12是不是5的倍数？为什么？生：12个正方形，每排摆5个，最后会多出2个，所以12不是5的倍数。生：如果用算式来表示的话是1252.4，出现小数了。（如果没有出现，就由老师出算式并问和上面的算式有什么不一样的地方）师：为了研究方便，以后来探讨因数和倍数的时候所说的数都是自然数（指着板书），而且0除外（板书0除外）。根据长方形的面积来猜想长和宽，从数中想到形，从形中想到数。根据不同的摆法搭建不同的数学模型，在此基础上烘托出本节课的主题因数与倍数。引导学生利用于一般的乘法算式abc归纳出因数和倍数的概念。二、以形助数，在直观中体悟方法小学生的思维特点是形象思维比较强，抽象思维相对弱点。根据这一思维特征，运用图形示意，把抽象、复杂的数学问题进行有效的转化，从而使解题思路更加明了，使不同层次的学生或许能获得属于自己理解的一种解题方法。如在教学1997199619961997-1997199719961996时，由于题中的数据比较大，直接计算容易发生错误，或通过代数的变形，利用乘法分配律计算，但是数字的变形很繁琐，学生还是容易出错。因此，在教学时，借助图形进行如下的教学：首先构建如图1的两个长方形，长方形ABCD和长方形AEFG，CD=19971996，AD=19961997，AE=19971997,EF=19961996，由图所知，把原式的计算就转化为求两个长方形的面积之差。借助几何直观容易看出长方形GDCH和长方形BEFH的宽都是1，所以，原式=S长方形ABCD-S长方形AEFG=199719961-199619961=10000。这样一来，一道很复杂的有关“数”的计算题，被“形”的方法就很轻松的解决了，使学生充分感受到解决问题策略的多样性。三、以形思数，在直观中构建新知把要解决的数学问题借助图像特征表现出来，通过对图像的解读、分析，帮助学生形象地理解相关性质。如教学比赛场次时，学生通过画图、列表的方法来解决人数较少的情况下进行单循环赛，再引出人数较多的情况如何计算比赛场次，引导学生产生困惑，用原来的策略“直接画图或列表，数出结果”太麻烦，容易数错、漏数。引导学生发现：把8名同学的复杂问题，转化为从2名开始研究，到3名，到4名，到5名，找出规律。方案：画图找规律参加比赛人数示意图各点之间连线数比赛场数21131+2=3341+2+3=665引导学生发现：把8名同学的复杂问题，转化为从2名开始研究到3名，到4名，到5名，找出规律。相继补充图表中没有填上的算式是：1+2+3+4=10重点分析：为什么+2、+3、+4呢？让学生充分地看图理解，并充分让学生说出从图中所发现的规律。引导学生发现：每增加一名队员，该队员都要分别跟之前的队员进行一场比赛，所以增加的场数应该是（人数-1）还要说明-1是因为自己不和自己比。从而概括所有的情况，N个人比赛，规律是：1+2+3+（N-1）=比赛场次。最后利用规律学生独立解决此题的问题1+2+3+4+5+6+7=28（场）给予学生充分探索规律的时间和空间，让学生动脑思考，通过动手画图，找出规律，在自主探究中理解“从简单的情形开始，找出规律，算出结果”的策略，从而培养学生合作和发现问题的能力。四、以形载数，在直观中探究奥秘数和形是数学研究的两个对象，在解决一些较复杂的实际问题时，利用形象、直观的“形”来揭示复杂、抽象的数量关系，是培养学生创造性思维和探究数学奥秘过程的途径。如：一只蚂蚁在一张65网格的左下角A点处，要爬到右上角的B点去，其中间有一个41的长方形空格，其余都是正方形，则蚂蚁从A点爬到B点的最短路径的不同爬法有多少种？这个问题若用列举法解决，则比较繁琐且容易出错。如果通过以形载数，把题中的数量关系转化成图形关系，能更直观、方便探究数学中的奥秘。如图2所示，所求蚂蚁从A点到B点的最短路径的不同爬法有多少种？就是求A到B的最短路线有多少条？使用标数法，就能很清晰的看出最短路线的种数。这样一来，就很容易算出从A到B的最短路线共有182条，所以蚂蚁从A点爬到B点的最短路径的不同爬法有182种。这样，要把解决的问题放在直观的图形情境中，在直观图形的引导下，充分理解数与形之间的对应关系，从而使学生享受着探究数学奥秘的有趣过程，同时也培养了学生的动手能力和空间想象的能力。五、以数画形，借助表象理解本质小学生的思维以形象思维为主，对于摸得到、看得见的具体材料更容易认知、理解和记忆。为此，在课堂教学中，教师要善于抓住学生的这一思维特征，巧妙地将抽象的数字转化为具体的图形，深化学生对数学知识的初步认知。同时，要让学生多动手多操作，使学生养成爱动手的好习惯，并引导学生将数学中的数字转化为看得见的图形，就易于解决问题。例如：教学“鸡兔同笼”这一内容：笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚，请问兔和鸡各有几只？单看这些文字和数字内容，小学六年级的学生理解理来仍然有一定的难度。为此，在教学过程中，首先引导学生试图将题目内容画出来，如用三角形代表鸡的头，用椭圆形代表兔子的头，用圆圈代表他们的脚。然后通过假设、猜测的方法进行多次画图、反复试验，最后得出正确的结论。在这样的整个教学过程中，学生积极、充分地参与到课堂学习之中，俨然成为了学习的小主人。学生们在动脑、动手、动口的过程中，充分地展现出自我的优势与长处，满足了小学生强烈的表现欲，有助于培养其对数学的学习兴趣和自信心。通过画图将抽象的数学知识生动形象地展示出来，加深了对数学内容的认识与感悟，使之教学效率大步提升。六、以数想形，借助表象发展想象青少年的认识规律，一般来说是从直接感知到表象，再到形成科学概念的过程，表象介于感知和形成科学概念之间，抓住这个中间环节，学生能多角度地灵活思考，大胆地想象，对知识的理解逐步深化，这对发展学生的空间观念，培养初步的逻辑思维能力，具有十分重要的意义。如在教学：计算：1+2+3+99+100+99+3+2+1=？时，引导学生把这里每个加数想像成一个个点，通过点阵的分布来找规律，最后求解。这样教师引导学生利用表象、用联系的观点把握数形结合思想，从而拓展学生的想象空间。 图（2） 图（1） 如图（1）所示，从上往下一层一层数：总数：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1通过仔细观察，把图（1）旋转45后发现与图（2）一样，变成正方形。所以总数为：1010=100根据上图缩小变形后得出的规律再计算得出1+2+3+99+100+99+3+2+1=100100=10000在这里给我们这样的启发，有些计算题形状不同，我们以为结果肯定不一样。实际上从计数的角度来讲，这两种图形只是数的方法不同，但图形却是相同的。也就是说这两道计算题对应的两个图形它们的本质相同，而呈现方式不同。通过数形结合，不仅让我们数与图形的对应，还让我们知道图形的变换引起计数方式的不同，从而导致计算形式的多样化。总之，数学是研究数量关系与空间形式的一门学科，通过数形结合的方法研究问题，可以让数量关系与图形性质的问题很好地转化，通过几何直观可以帮助学生建立数的概念，可以帮助学生理解数运算的意义，可以使解题思路与过程更加具体化，可以借助表象发展空间观念，更好地展现知识的建构过程。当然，这两点不是彼此独立的，而是互相联系的。在小学数学教学中，我们十分欣赏数形结合，思画并重的数形结合解题法，它是一种重要的数学思想方法，需要我们在平时的教学中有机地渐入细微，并不断研究渗透思画的策略，从而形成小学数学教学和问题解决的生态课堂模式，切实提高整体的