河南省许昌高中、襄城高中、长葛一高、禹州三高四校高一数学上学期期末联考试卷 理（含解析）.doc

2014-2015学年河南省许昌高中、 襄城高中、长葛一高、禹州三高四校联考高一（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项1已知全集u=r，a=x|x0，b=x|x1，则集合u（ab）=（）ax|x0bx|x1cx|0x1dx|0x12已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）a若m，n，则mnb若m，n，则mnc若m，mn，则nd若m，mn，则n3已知f（x），g（x）分别是定义在r上的偶函数和奇函数，且f（x）g（x）=x3+x2+1，则f（1）+g（1）=（）a3b1c1d34如图，长方体abcda1b1c1d1中，aa1=ab=2，ad=1，e，f，g分别是dd1，ab，cc1的中点，则异面直线a1e与gf所成角为（）a30b45c60d905若直线ax+（1a）y=3与（a1）x+（2a+3）y=2互相垂直，则a等于（）a3b1c0或d1或36某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）a90cm2b129cm2c132cm2d138cm27若幂函数的图象不经过原点，则实数m的值为（）a1或2b1或2c1d28把正方形abcd沿对角线ac折起，当以a、b、c、d四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线bd和平面abc所成的角的大小为（）a90b60c45d309已知点m（a，b）在圆o：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆o的位置关系是（）a相切b相交c相离d不确定10正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，体积为，则该球的表面积为（）ab16c9d11已知p1（a1，b1）与p2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）a无论k，p1，p2如何，总是无解b无论k，p1，p2如何，总有唯一解c存在k，p1，p2，使之恰有两解d存在k，p1，p2，使之有无穷多解12函数f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）a1，2b1，0c1，2d0，2二、填空题：（每题5分，共20分）13函数f（x）=的定义域为14过圆锥高的中点作平行于底面的截面，该截面把圆锥侧面分成的上下两部分的面积之比为15函数y=loga（2ax）在0，1上单调递减，则实数a的取值范围是16若曲线y=1+与直线y=k（x4）+3有且只有一个公共点，则实数k的取值范围是三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知三条直线l1：2xy+1=0，l2：x+y4=0，l3：x+ay+2=0不能围成三角形，求实数a的值18如图，四棱锥pabcd中，底面abcd为矩形，pa平面abcd，e为pd中点（i）证明：pb平面aec；（）设直线pb与平面pad所成的角为45，ap=2，ad=2，求三棱eacd的体积19已知f（x）是定义在（，1）（1，+）上的奇函数，当x1时，f（x）=（1）当x1时，求f（x）的解析式；（2）求函数的定义域；（3）证明f（x）在（1，+）上为减函数20如图，直三棱柱abca1b1c1中，ac=bc=aa1，d是棱aa1的中点，dc1bd（1）证明：dc1bc；（2）求二面角a1bdc1的大小21已知圆c：x2+y2+2x4y+3=0（1）直线l过点（2，0）且被圆c截得的弦长为2，求直线l的方程；（2）从圆c外一点p向圆引一条切线，切点为m，o为坐标原点，且有|pm|=|po|，求|pm|的最小值22已知函数g（x）=ax22ax+1+b（a0，b1），在区间2，3上有最大值4，最小值1，设f（x）=（）求a，b的值；（）不等式f（2x）k2x0在x1，1上恒成立，求实数k的范围；（）方程有三个不同的实数解，求实数k的范围2014-2015学年河南省许昌高中、 襄城高中、长葛一高、禹州三高四校联考高一（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项1已知全集u=r，a=x|x0，b=x|x1，则集合u（ab）=（）ax|x0bx|x1cx|0x1dx|0x1【考点】交、并、补集的混合运算【专题】转化思想；定义法；集合【分析】根据集合的并集与补集的定义，求出结果即可【解答】解：全集u=r，a=x|x0，b=x|x1，ab=x|x0或x1，u（ab）=x|0x1故答案为：c【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题目2已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）a若m，n，则mnb若m，n，则mnc若m，mn，则nd若m，mn，则n【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【专题】空间位置关系与距离【分析】a运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；b运用线面垂直的性质，即可判断；c运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；d运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断【解答】解：a若m，n，则m，n相交或平行或异面，故a错；b若m，n，则mn，故b正确；c若m，mn，则n或n，故c错；d若m，mn，则n或n或n，故d错故选b【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型3已知f（x），g（x）分别是定义在r上的偶函数和奇函数，且f（x）g（x）=x3+x2+1，则f（1）+g（1）=（）a3b1c1d3【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值【专题】函数的性质及应用【分析】将原代数式中的x替换成x，再结合着f（x）和g（x）的奇偶性可得f（x）+g（x），再令x=1即可【解答】解：由f（x）g（x）=x3+x2+1，将所有x替换成x，得f（x）g（x）=x3+x2+1，根据f（x）=f（x），g（x）=g（x），得f（x）+g（x）=x3+x2+1，再令x=1，计算得，f（1）+g（1）=1故选：c【点评】本题属于容易题，是对函数奇偶性的考查，在高考中，函数奇偶性的考查一般相对比较基础，学生在掌握好基础知识的前提下，做题应该没有什么障碍本题中也可以将原代数式中的x直接令其等于1也可以得到计算结果4如图，长方体abcda1b1c1d1中，aa1=ab=2，ad=1，e，f，g分别是dd1，ab，cc1的中点，则异面直线a1e与gf所成角为（）a30b45c60d90【考点】异面直线及其所成的角【专题】计算题【分析】连接b1g，eg，先利用长方形的特点，证明四边形a1b1ge为平行四边形，从而a1eb1g，所以b1gf即为异面直线a1e与gf所成的角，再在三角形b1gf中，分别计算三边的长度，利用勾股定理即可得此角的大小【解答】解：如图：连接b1g，ege，g分别是dd1，cc1的中点，a1b1eg，a1b1=eg，四边形a1b1ge为平行四边形a1eb1g，b1gf即为异面直线a1e与gf所成的角在三角形b1gf中，b1g=fg=b1f=b1g2+fg2=b1f2b1gf=90异面直线a1e与gf所成角为90故选 d【点评】本题考查了空间异面直线所成的角的作法、证法、算法，长方体的性质及其中的数量关系的应用，将空间问题转化为平面问题的思想方法5若直线ax+（1a）y=3与（a1）x+（2a+3）y=2互相垂直，则a等于（）a3b1c0或d1或3【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【专题】直线与圆【分析】对a分类讨论，利用两条直线相互垂直的直线与斜率之间的关系即可得出【解答】解：当a=1时，两条直线分别化为：x=3，5y=2，此时两条直线互相垂直；当a=时，两条直线分别化为：3x5y+6=0，5x=4，此时两条直线不互相垂直当a，1时，两条直线分别化为：， +直线ax+（1a）y=3与（a1）x+（2a+3）y=2互相垂直，=1，解得a=3或1（舍去），综上可得：a=3或1故选：d【点评】本题考查了两条直线相互垂直的直线与斜率之间的关系、分类讨论的思想方法，属于基础题6某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）a90cm2b129cm2c132cm2d138cm2【考点】由三视图求面积、体积【专题】立体几何【分析】几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，根据三视图判断直三棱柱的侧棱长与底面的形状及相关几何量的数据，判断四棱柱的高与底面矩形的边长，把数据代入表面积公式计算【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，其中直三棱柱的侧棱长为3，底面是直角边长分别为3、4的直角三角形，四棱柱的高为6，底面为矩形，矩形的两相邻边长为3和4，几何体的表面积s=246+36+33+234+234+（4+5）3=48+18+9+24+12+27=138（cm2）故选：d【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键7若幂函数的图象不经过原点，则实数m的值为（）a1或2b1或2c1d2【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】根据幂函数的定义求出m的值代入验算即可【解答】解：函数f（x）是幂函数，则m23m+3=1，解得：m=1或m=2，m=1时：m2+m2=0，此时f（x）=x0，不过原点，m=2时：m2+m2=4，此时f（x）=x4，过原点，故选：c【点评】本题考查了幂函数的定义，是一道基础题8把正方形abcd沿对角线ac折起，当以a、b、c、d四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线bd和平面abc所成的角的大小为（）a90b60c45d30【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【专题】计算题【分析】欲使得三棱锥体积最大，因为三棱锥底面积一定，只须三棱锥的高最大即可，即当平面bac平面dac时，三棱锥体积最大，计算可得答案【解答】解：如图，当平面bac平面dac时，三棱锥体积最大取ac的中点e，则be平面dac，故直线bd和平面abc所成的角为dbecosdbe=，dbe=45故选c【点评】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题9已知点m（a，b）在圆o：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆o的位置关系是（）a相切b相交c相离d不确定【考点】直线与圆的位置关系【专题】直线与圆【分析】由m在圆外，得到|om|大于半径，列出不等式，再利用点到直线的距离公式表示出圆心o到直线ax+by=1的距离d，根据列出的不等式判断d与r的大小即可确定出直线与圆的位置关系【解答】解：m（a，b）在圆x2+y2=1外，a2+b21，圆o（0，0）到直线ax+by=1的距离d=1=r，则直线与圆的位置关系是相交故选b【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，以及点与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及两点间的距离公式，熟练掌握公式是解本题的关键10正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，体积为，则该球的表面积为（）ab16c9d【考点】球的体积和表面积【专题】综合题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】正四棱锥pabcd的外接球的球心在它的高pe上，求出球的半径，求出球的表面积【解答】解：如图，正四棱锥pabcd中，pe为正四棱锥的高，根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心o必在正四棱锥的高线pe所在的直线上，延长pe交球面于一点f，连接ae，af，棱锥的体积为，棱锥的高为4，则底面边长为2，由球的性质可知paf为直角三角形且aepf，根据平面几何中的射影定理可得pa2=pfpe，因为ae=，所以侧棱长pa=3，pf=2r，所以18=2r4，所以r=，所以s=4r2=故选：a【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题11已知p1（a1，b1）与p2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）a无论k，p1，p2如何，总是无解b无论k，p1，p2如何，总有唯一解c存在k，p1，p2，使之恰有两解d存在k，p1，p2，使之有无穷多解【考点】一次函数的性质与图象【专题】函数的性质及应用；直线与圆【分析】判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出a1，b1，p2，a2，b2的关系，然后求解方程组的解即可【解答】解：p1（a1，b1）与p2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y=kx+1的斜率存在，k=，即a1a2，并且b1=ka1+1，b2=ka2+1，a2b1a1b2=ka1a2ka1a2+a2a1=a2a1，b2b1得：（a1b2a2b1）x=b2b1，即（a1a2）x=b2b1方程组有唯一解故选：b【点评】本题考查一次函数根与系数的关系，直线的斜率的求法，方程组的解额指数的应用12函数f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）a1，2b1，0c1，2d0，2【考点】函数的最值及其几何意义【专题】综合题；函数的性质及应用【分析】由分段函数可得当x=0时，f（0）=a2，由于f（0）是f（x）的最小值，则（，0为减区间，即有a0，则有a2x+a，x0恒成立，运用基本不等式，即可得到右边的最小值2+a，解不等式a22+a，即可得到a的取值范围【解答】解：由于f（x）=，则当x=0时，f（0）=a2，由于f（0）是f（x）的最小值，则（，0为减区间，即有a0，则有a2x+a，x0恒成立，由x+2=2，当且仅当x=1取最小值2，则a22+a，解得1a2综上，a的取值范围为0，2故选：d【点评】本题考查分段函数的应用，考查函数的单调性及运用，同时考查基本不等式的应用，是一道中档题二、填空题：（每题5分，共20分）13函数f（x）=的定义域为（0，）（2，+）【考点】对数函数的定义域【专题】函数的性质及应用【分析】根据偶次根号下的被开方数大于等于零，分母不为0，对数的真数大于零，列出不等式组，进行求解再用集合或区间的形式表示出来【解答】解：要使函数有意义，则log2x1或log2x1解得：x2或x所以不等式的解集为：0x或x2则函数的定义域是（0，）（2，+）故答案为：（0，）（2，+）【点评】本题考查了函数定义域的求法，即根据函数解析式列出使它有意义的不等式组，最后注意要用集合或区间的形式表示出来，这是易错的地方14过圆锥高的中点作平行于底面的截面，该截面把圆锥侧面分成的上下两部分的面积之比为1：3【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【专题】计算题；转化思想；数形结合法；空间位置关系与距离；立体几何【分析】设原圆锥侧面展开扇形的半径为r，圆心角的度数为n，可得ap=ac=r，根据扇形的面积公式求得大小圆锥的侧面面积后比较，即可得到圆锥的侧面积与所得圆台的侧面积之比【解答】解：如图所示，设原圆锥侧面展开扇形的半径为r，圆心角的度数为n小扇形的半径ap=ac=r，设小扇形的面积为s1，大扇形的面积为s2，于是s1=，s2=，s1=s2圆锥的侧面积与所得圆台的侧面积之比为 1：3故答案为；1：3【点评】本题是基础题，考查圆锥的侧面积与所得圆台的侧面积的求法，考查空间想象能力，计算能力15函数y=loga（2ax）在0，1上单调递减，则实数a的取值范围是（1，2）【考点】对数函数的单调性与特殊点【专题】计算题【分析】先将函数f（x）=loga（2ax）转化为y=logat，t=2ax，两个基本函数，再利用复合函数求解【解答】解：令y=logat，t=2ax，（1）若0a1，则函y=logat，是减函数，而t为增函数，需a0此时无解（2）若a1，则函y=logat，是增函数，则t为减函数，需a0且2a10此时，1a2，综上：实数a 的取值范围是（1，2）故答案为：（1，2）【点评】本题主要考查复合函数，关键是分解为两个基本函数，利用同增异减的结论研究其单调性，再求参数的范围本题容易忽视a0的情况导致出错16若曲线y=1+与直线y=k（x4）+3有且只有一个公共点，则实数k的取值范围是k=0或【考点】圆的切线方程【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆【分析】曲线表示一个半圆，直线经过定点a（4，3）由圆心到直线的距离等于半径求得k的值，求出当直线经过点（2，1），（2，1）时，实数k的取值，即可求得实数k的取值范围【解答】解：曲线y=1+，即 x2+（y1）2=4，表示以c（0，1）为圆心、半径r=2的半圆（圆位于直线y=1的上方（含直线y=1）y=k（x4）+3，经过定点a（4，3）由圆心到直线的距离等于半径可得=2，求得k=0或（舍去），当直线经过点（2，1）时，直线的斜率为=，当直线经过点（2，1）时，直线的斜率为=1曲线y=1+与直线y=k（x4）+3有且只有一个公共点，实数k的取值范围是k=0或故答案为：k=0或【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合、转化的数学思想，属于基础题三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知三条直线l1：2xy+1=0，l2：x+y4=0，l3：x+ay+2=0不能围成三角形，求实数a的值【考点】两条直线的交点坐标；直线的一般式方程与直线的平行关系【专题】计算题；数形结合；直线与圆【分析】根据题意，分析可得如果三条直线不能围城三角形，有2种情况，、直线l3与l1或l2平行或重合，分别讨论直线l3与l1平行以及直线l3与l2平行，利用直线平行判定方法，可得a的值，、当直线l3过直线l1与l2的交点，联立l1与l2的方程可得两直线交点的坐标，将交点坐标代入直线l3的方程，可得a的值；综合两种情况即可得答案【解答】解：根据题意，如果l1：2xy+1=0，l2：x+y4=0，l3：x+ay+2=0三条直线不能围城三角形，有2种情况，、直线l3与l1或l2平行或重合，当直线l3与l1平行时，有2a=（1）1，解可得a=，当直线l3与l2平行时，有a=1，、当直线l3过直线l1与l2的交点，联立l1与l2的方程可得：，解可得，即l1与l2的交点为（1，3），若直线l3过（1，3），即有1+3a+2=0，解可得a=1，综合可得，当a=、1或1时，三条直线不能围城三角形【点评】本题考查直线之间的位置关系，关键是正确分析三条直线不能围成三角形的情况18如图，四棱锥pabcd中，底面abcd为矩形，pa平面abcd，e为pd中点（i）证明：pb平面aec；（）设直线pb与平面pad所成的角为45，ap=2，ad=2，求三棱eacd的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】（i）连接bd，交ac于f，运用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；（）由题意，三棱锥eacd的体积=三棱锥pacd的体积的一半【解答】（i）证明：连接bd，交ac于f，由e为棱pd的中点，f为bd的中点，则efpb，又ef平面eac，pb平面eac，则pb平面eac；（）解：由题意，三棱锥eacd的体积=三棱锥pacd的体积的一半pa平面abcd，直线pb与平面pad所成的角为45，ap=2，ab=2，ad=2，底面abcd为矩形，三棱锥eacd的体积=【点评】本题考查空间直线和平面的位置关系，主要考查三棱锥eacd的体积，注意定理的条件的全面性是解题的关键19已知f（x）是定义在（，1）（1，+）上的奇函数，当x1时，f（x）=（1）当x1时，求f（x）的解析式；（2）求函数的定义域；（3）证明f（x）在（1，+）上为减函数【考点】函数单调性的性质；函数的定义域及其求法；函数解析式的求解及常用方法【专题】整体思想；作差法；定义法；函数的性质及应用【分析】（1）根据函数的奇偶性和函数在x1的解析式，得到；（2）根据f（x）的定义域，列出不等式得到函数f（）的定义域；（3）直接根据单调性的定义运用作差比较法证明函数的单调性【解答】（1）设x1，则x1，f（x）为定义域上的奇函数，即x1时，函数的解析式为f（x）=；（2）f（x）的定义域为（，1）（1，+）1，或1，解得1x0，或0x1，函数的定义域为：（1，0）（0，1）；（3）任取x1，x2（1，+）且x1x2，则，x1，x2（1，+）且x1x2，0，即f（x1）f（x2）f（x）在（1，+）上为减函数【点评】本题主要考查了函数解析式和定义域的解法，以及根据单调性的定义运用作差比较法证明函数的单调性，属于中档题20如图，直三棱柱abca1b1c1中，ac=bc=aa1，d是棱aa1的中点，dc1bd（1）证明：dc1bc；（2）求二面角a1bdc1的大小【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系【专题】综合题【分析】（1）证明dc1bc，只需证明dc1面bcd，即证明dc1dc，dc1bd；（2）证明bc面acc1a1，可得bcac取a1b1的中点o，过点o作ohbd于点h，连接c1o，c1h，可得点h与点d重合且c1do是二面角a1bdc1的平面角，由此可求二面角a1bdc1的大小【解答】（1）证明：在rtdac中，ad=ac，adc=45同理：a1dc1=45，cdc1=90dc1dc，dc1bddcbd=ddc1面bcdbc面bcddc1bc（2）解：dc1bc，cc1bc，dc1cc1=c1，bc面acc1a1，ac面acc1a1，bcac取a1b1的中点o，过点o作ohbd于点h，连接c1o，oha1c1=b1c1，c1oa1b1，面a1b1c1面a1bd，面a1b1c1面a1bd=a1b1，c1o面a1bd而bd面a1bdbdc1o，ohbd，c1ooh=o，bd面c1ohc1hbd，点h与点d重合且c1do是二面角a1bdc1的平面角设ac=a，则，sinc1do=c1do=30即二面角a1bdc1的大小为30【点评】本题考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定，正确作出面面角，属于中档题21已知圆c：x2+y2+2x4y+3=0（1）直线l过点（2，0）且被圆c截得的弦长为2，求直线l的方程；（2）从圆c外一点p向圆引一条切线，切点为m，o为坐标原点，且有|pm|=|po|，求|pm|的最小值【考点】直线与圆的位置关系【专题】综合题；分类讨论；综合法；直线与圆【分析】（1）c：x2+y2+2x4y+3=0，化为标准方程，求出圆心c，半径r分类讨论，利用c到l的距离为1，即可求直线l的方程；（2）设p（x，y）由切线的性质可得：cmpm，利用|pm|=|po|，可得3x+4y12=0，求|pm|的最小值，即求|po|的最小值，即求原点o到直线2x4y+3=0的距离【解答】解：（1）x2+y2+2x4y+3=0可化为（x+1）2+（y2）2=2当l的斜率不存在时，其方程为x=2