浙江省台州市临海市第六中学高三数学第一轮复习讲解 第3讲等比数列及其前n项和(1).doc

浙江省台州市临海市第六中学高三数学第一轮复习讲解 第3讲等比数列及其前n项和1等比数列的基本概念(1)等比数列的定义等比数列是如何定义的？提示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列定义中的常数叫什么？提示：数列的公比温馨提示：从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数(2)等比中项什么是等比中项？提示：如果在a与b中间插入一个数g，使a，g，b成等比数列，那么g叫做a与b的等比中项即g2ab.2等比数列的通项公式若等比数列an的首项是a1，公比是q，则其通项公式为ana1qn1(nn*)3等比数列的前n项和公式(1)当公比q1时，snna1；(2)当公比q1时，sn.温馨提示：在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形而导致解题失误4等比数列的性质已知数列an是等比数列，sn是其前n项和(1)若mnpq2r，则amanapaqa；(2)数列am，amk，am2k，am3k，仍是等比数列；(3)数列sm，s2msm，s3ms2m，仍是等比数列(此时an的公比q1)1(2014湖北荆州市质量检测)已知数列an是等比数列，a44，a7，则公比q()ab2c2 d.解析：选d.设an的公比为q.a4a1q34，a7a1q6，q3，q.2已知数列an是公比q1的等比数列，则在anan1，an1an，nan这四个数列中，是等比数列的有()a1个 b2个c3个 d4个解析：选c.an是公比q1的等比数列，anan1为首项为a1a2、公比为q的等比数列，an1an是首项为a2a1、公比为q的等比数列，为首项为，公比为1的等比数列，nan不是等比数列3(2013高考大纲全国卷)已知数列an满足3an1an0，a2，则an的前10项和等于()a6(1310) b.(1310)c3(1310) d3(1310)解析：选c.由3an1an0，得，故数列an是公比q的等比数列又a2，可得a14.所以s103(1310)4(2014杭州调研)在等比数列an中，若a55，则a3a7_.答案：255(2013高考北京卷)若等比数列an满足a2a420，a3a540，则公比q_；前n项和sn_.解析：设等比数列an的首项为a1，公比为q，则：由a2a420得a1q(1q2)20.由a3a540得a1q2(1q2)40.由解得q2，a12.故sn2n12.答案：22n12等比数列的基本运算(1)(2013高考课标全国卷)设首项为1，公比为的等比数列an的前n项和为sn，则()asn2an1bsn3an2csn43an dsn32an(2)(2013高考四川卷改编)在等比数列an中，a2a12，且2a2为3a1和a3的等差中项，则数列an的前n项和sn为_解析(1)法一：在等比数列an中，sn32an.法二：在等比数列an中，a11，q，an1()n1()n1.sn31()n31()n132an.(2)设该数列的公比为q.由已知，得解得(q1舍去)故首项a11，公比q3.数列的前n项和sn.答案(1)d(2)等比数列运算的通法：与等差数列一样，求等比数列的基本量也常运用方程的思想和方法从方程的观点看等比数列的通项公式ana1qn1(a1q0)及前n项和公式sn中共有五个变量，已知其中的三个变量，可以通过构造方程或方程组求另外两个变量，在求公比q时，要注意应用q0验证求得的结果1设等比数列an的公比q1，前n项和为sn.已知a32，s45s2，求an的通项公式解：由题设知a10，sn，所以由式得1q45(1q2)，即(q2)(q2)(q1)(q1)0.因为q0，所以(n2)所以an是首项为1，公比为的等比数列(2)由(1)知b12a12.因为bn，所以1，即1(n2)所以是首项为，公差为1的等差数列所以(n1)1，即bn(nn*)等比数列的性质(1)(2014吉林长春市调研)在正项等比数列an中，已知a1a2a34，a4a5a612，an1anan1324，则n()a11 b12c14 d16(2)已知等比数列an满足an0，nn*，且a5a2n522n(n3)，则当n1时，log2a1log2a3log2a2n1()an(2n1) b(n1)2cn2 d(n1)2解析(1)设数列an的公比为q，由a1a2a34aq3与a4a5a612aq12可得q93，an1anan1aq3n3324，因此q3n68134q36，所以n14，故选c.(2)设等比数列an的公比为q，a5a2n522n(n3)，a1q4a1q2n622n，即aq2n222n(a1qn1)222n(an)2(2n)2，an0，an2n，a2n122n1，log2a1log2a3log2a2n1log22log223log222n113(2n1)nn2.答案(1)c(2)c等比数列的性质可以分为三类：(1)通项公式的变形；(2)等比中项的变形；(3)前n项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口3(1)(2014江西省七校联考)设各项都是正数的等比数列an，sn为前n项和，且s1010，s3070，那么s40()a150 b200c150或200 d400或50(2)(2014北京西城区期末测试)已知an是公比为2的等比数列，若a3a16，则a1_；_.解析：(1)依题意，数列s10，s20s10，s30s20，s40s30成等比数列，因此有(s20s10)2s10(s30s20)，即(s2010)210(70s20)，故s2020或s2030.又s200，因此s2030，s20s1020，s4010204080150，故选a.(2)an是公比为2的等比数列，且a3a16，4a1a16，即a12，an22n12n，()n，即数列是首项为，公比为的等比数列，(1)答案：(1)a(2)2(1)分类讨论思想在求等比数列前n项和中的应用(2014江苏常州模拟)如果有穷数列a1，a2，a3，am(m为正整数)满足条件a1am，a2am1，ama1，即aiami1(i1,2，m)，我们称其为“对称数列”例如，数列1,2,3,4,3,2,1与数列a，b，c，c，b，a都是“对称数列”(1)设bn是8项的“对称数列”，其中b1，b2，b3，b4是等差数列，且b11，b513.依次写出bn的每一项；(2)设c2m1是2m1项的“对称数列”，其中cm1，cm2，c2m1是首项为a，公比为q的等比数列，求c2m1的各项和s2m1.解(1)设数列bn的公差为d，b4b13d13d.又因为b4b513，解得d4，所以数列bn为1,5,9,13,13,9,5,1.(2)s2m1c1c2c2m12(cm1cm2c2m1)cm12a(1qq2qm)a2aa(q1)而当q1时，s2m1(2m1)a.s2m1.本题是新定义型数列问题，在求等比数列cn前n项和时用到了分类讨论思想4(2013高考浙江卷)在公差为d的等差数列an中，已知a110，且a1,2a22,5a3成等比数列(1)求d，an；(2)若d0，求|a1|a2|a3|an|.解：(1)由题意得，a15a3(2a22)2，由a110，an为公差为d