浙江省宁波市高三数学期末试卷 文（含解析）.doc

2015-2016学年浙江省宁波市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合m=0，1，2，3，4，n=x|1log2（x+2）2，则mn=（）a0，1b2，3c1d2，3，42已知a，br，则“|b|+a0”是“b2a2”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件3已知向量=（2，3），=（1，2），若2与非零向量m+n共线，则等于（）a2b2cd4已知实数an是等比数列，若a2a5a8=8，则a1a9+a1a5+a5a9（）a有最小值12b有最大值12c有最小值4d有最大值45已知平面与平面交于直线l，且直线a，直线b，则下列命题错误的是（）a若，ab，且b与l不垂直，则alb若，bl，则abc若ab，bl，且a与l不平行，则d若al，bl，则6已知函数f（x）=sin（2x+），其中为实数，若f（x）|f（）|对xr恒成立，且f（）f（），则f（x）的单调递增区间是（）a（kz）b（kz）c（kz）d（kz）7对于定义在r上的函数f（x），如果存在实数a，使得f（a+x）f（ax）=1对任意实数xr恒成立，则称f（x）为关于a的“倒函数”已知定义在r上的函数f（x）是关于0和1的“倒函数”，且当x时，f（x）的取值范围为，则当x时，f（x）的取值范围为（）abcdr8已知f1是双曲线c：=1（a0，b0）的左焦点，点b的坐标为（0，b），直线f1b与双曲线c的两条渐近线分别交于p，q两点，若=4，则双曲线c的离心率为（）abcd2二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分9已知loga2=m，loga3=n，其中a0且a1，则am+2n=，用m，n表示log43为10若函数为奇函数，则a=，f（g（1）=11如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是，体积为12在平面直角坐标系中，若不等式组（k为常数）表示的平面区域d的面积是16，那么实数k的值为；若p（x，y）为d中任意一点，则目标函数z=2xy的最大值为13已知函数，若关于x的方程有3个不同的解，则m的取值范围是14在三棱锥pabc中，pc平面abc，pac是等腰直角三角形，pa=6，abbc，chpb，垂足为h，d为pa的中点，则当cdh的面积最大时，cb=15已知正数x，y满足x2+2xy+4y2=1，则x+y的取值范围是三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16在abc中，角a，b，c所对的边分别似乎a，b，c，且a=2，2cos2+sina=（1）若b=，求角b；（2）求abc周长l的最大值17已知数列an满足为正整数）（）求证：数列为等差数列；（）若，求数列bn的前n项和sn18如图，在多面体efabcd中，四边形abcd，abef均为直角梯形，abe=abc=，四边形dcef为平行四边形，平面dcef平面abcd（）求证：df平面abcd；（）若bc=cd=ce=ab，求直线bf与平面adf所成角的正弦值19如图，抛物线e：x2=2py（p0）的焦点为，圆心m在射线y=2x（x0）上且半径为1的圆m与y轴相切（）求抛物线e及圆m的方程；（）过p（1，0）作两条相互垂直的直线，与抛物线e相交于a，b两点，与圆m相交于c，d两点，n为线段cd的中点，当，求ab所在的直线方程20已知函数f（x）=x21（1）对于任意的1x2，不等式4m2|f（x）|+4f（m）|f（x1）|恒成立，求实数m的取值范围；（2）若对任意实数x1存在实数x2，使得f（x1）=|2f（x2）ax2|成立，求实数a的取值范围2015-2016学年浙江省宁波市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合m=0，1，2，3，4，n=x|1log2（x+2）2，则mn=（）a0，1b2，3c1d2，3，4【考点】交集及其运算【专题】计算题；集合思想；定义法；集合【分析】求出n中不等式的解集确定出n，找出m与n的交集即可【解答】解：由n中不等式变形得：log22=1log2（x+2）2=log24，即2x+24，解得：0x2，即n=（0，2），m=0，1，2，3，4，mn=1，故选：c【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2已知a，br，则“|b|+a0”是“b2a2”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑【分析】|b|+a0|b|a，可知a0，于是|b|+a0b2a2，反之不成立【解答】解：|b|+a0|b|a，可知a0，因此|b|+a0b2a2，反之不成立，例如取b=1，a=2“|b|+a0”是“b2a2”的充分不必要条件故选：a【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3已知向量=（2，3），=（1，2），若2与非零向量m+n共线，则等于（）a2b2cd【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用【分析】先求出2和m+n，再由向量共线的性质求解【解答】解：向量=（2，3），=（1，2），2=（2，3）（2，4）=（4，1），m+n=（2mn，3m+2n），2与非零向量m+n共线，解得14m=7n， =故选：c【点评】本题考查两实数比值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量共线的性质的合理运用4已知实数an是等比数列，若a2a5a8=8，则a1a9+a1a5+a5a9（）a有最小值12b有最大值12c有最小值4d有最大值4【考点】等比数列的通项公式【专题】函数思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】由题意和等比数列的性质可得a5=2，再由等比数列的性质和基本不等式可得【解答】解：an是等比数列且a2a5a8=8，a2a5a8=a53=8，a5=2，a1a9+a1a5+a5a9=a32+a52+a72=4+a32+a724+2a3a7=4+2a52=12故选：a【点评】本题考查等比数列的通项公，涉及等比数列的性质和基本不等式，属基础题5已知平面与平面交于直线l，且直线a，直线b，则下列命题错误的是（）a若，ab，且b与l不垂直，则alb若，bl，则abc若ab，bl，且a与l不平行，则d若al，bl，则【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【专题】证明题；整体思想；定义法；空间位置关系与距离【分析】根据空间直线和平面平行或垂直以及平面和平面平行或者垂直的性质和判定定理进行判断即可【解答】解：a若，ab，且b与l不垂直，则al，正确b若，bl，则b，a，ab，正确ca与l不平行，a与l相交，ab，bl，b，则正确d若al，bl，不能得出，因为不满足面面垂直的条件，故d错误，故选：d【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及空间直线和平面平行或垂直的位置关系，比较基础6已知函数f（x）=sin（2x+），其中为实数，若f（x）|f（）|对xr恒成立，且f（）f（），则f（x）的单调递增区间是（）a（kz）b（kz）c（kz）d（kz）【考点】函数y=asin（x+）的图象变换【专题】计算题；压轴题【分析】由若对xr恒成立，结合函数最值的定义，我们易得f（）等于函数的最大值或最小值，由此可以确定满足条件的初相角的值，结合，易求出满足条件的具体的值，然后根据正弦型函数单调区间的求法，即可得到答案【解答】解：若对xr恒成立，则f（）等于函数的最大值或最小值即2+=k+，kz则=k+，kz又即sin0令k=1，此时=，满足条件令2x，kz解得x故选c【点评】本题考查的知识点是函数y=asin（x+）的图象变换，其中根据已知条件求出满足条件的初相角的值，是解答本题的关键7对于定义在r上的函数f（x），如果存在实数a，使得f（a+x）f（ax）=1对任意实数xr恒成立，则称f（x）为关于a的“倒函数”已知定义在r上的函数f（x）是关于0和1的“倒函数”，且当x时，f（x）的取值范围为，则当x时，f（x）的取值范围为（）abcdr【考点】抽象函数及其应用；函数解析式的求解及常用方法【专题】计算题；规律型；转化思想；函数的性质及应用【分析】根据“倒函数”的定义，建立两个方程关系，根据方程关系判断函数的周期性，利用函数的周期性和函数的关系进行求解即可得到结论【解答】解：若函数f（x）是关于0和1的“倒函数”，则f（x）f（x）=1，则f（x）0，且f（1+x）f（1x）=1，即f（2+x）f（x）=1，即f（2+x）f（x）=1=f（x）f（x），则f（2+x）=f（x），即函数f（x）是周期为2的周期函数，若x，则x，2x，此时1f（x）2f（x）f（x）=1，f（x）=，f（x）=f（2x），当x时，f（x）即一个周期内当x时，f（x）当x时，f（x）故选：b【点评】本题主要考查抽象函数的应用，根据“倒函数”，的定义建立方程关系判断函数的周期性是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度8已知f1是双曲线c：=1（a0，b0）的左焦点，点b的坐标为（0，b），直线f1b与双曲线c的两条渐近线分别交于p，q两点，若=4，则双曲线c的离心率为（）abcd2【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求出p，q的坐标，利用=4，求出双曲线c的离心率【解答】解：由题意，kpq=直线pq为：y=（x+c），与y=x联立得：q（，）；与y=x联立得：p（，）=4，=4（c+），e=故选：b【点评】本题考查双曲线c的离心率，考查学生的计算能力，确定p，q的坐标是关键二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分9已知loga2=m，loga3=n，其中a0且a1，则am+2n=18，用m，n表示log43为【考点】对数的运算性质【专题】计算题；规律型；函数的性质及应用【分析】直接利用对数式与指数式的互化，化简求解即可【解答】解：loga2=m，loga3=n，其中a0且a1，可得：am=2，an=3，则am+2n=232=18log43=故答案为：【点评】本题考查对数的运算法则的应用，函数的简单性质的应用10若函数为奇函数，则a=0，f（g（1）=3【考点】函数奇偶性的性质；函数的值【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】直接利用奇函数的定义，即可得出结论【解答】解：由题意，a=f（0）=0，g（1）=g（1）=2，f（g（1）=f（2）=3，故答案为：0，3【点评】本题考查函数值的计算，考查奇函数的定义，比较基础11如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是76+8，体积为56【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；数形结合；数形结合法；立体几何【分析】几何体为侧放的五棱柱，底面为主视图中的五边形，高为4【解答】解：由三视图可知几何体为侧放的五棱柱，底面为正视图形状，高为4，几何体的表面积为（2+4+4+2+2）4+（42）2=76+8几何体的体积为（42）4=56故答案为【点评】本题考查了常见几何体的结构特征，表面积，体积计算，属于基础题12在平面直角坐标系中，若不等式组（k为常数）表示的平面区域d的面积是16，那么实数k的值为3；若p（x，y）为d中任意一点，则目标函数z=2xy的最大值为9【考点】简单线性规划【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式【分析】由约束条件作出可行域，由可行域面积列式求得k值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得c（1，1），联立，解得a（k，k），联立，解得b（k，k+2），由（2k+2）（k+1）=16，解得：k=3；a（3，3），由z=2xy，得y=2xz，由图可知，当直线过点a时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为9故答案为：3，9【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题13已知函数，若关于x的方程有3个不同的解，则m的取值范围是（1，0【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】计算题；作图题；数形结合；转化思想；函数的性质及应用【分析】关于x的方程有3个不同的解可化为f（x）=m有三个不同的解，从而利用数形结合求解即可【解答】解：作函数的图象如下，令t=2x+，易知对每一个t，都有且只有一个x与之对应，故关于x的方程有3个不同的解可化为f（x）=m有三个不同的解，结合图象可知，当1m0时，与y=m的图象有三个不同的交点，故答案为（1，0【点评】本题考查了转化思想的应用及数形结合的思想应用，同时考查了函数的图象与方程的根的关系应用14在三棱锥pabc中，pc平面abc，pac是等腰直角三角形，pa=6，abbc，chpb，垂足为h，d为pa的中点，则当cdh的面积最大时，cb=【考点】棱锥的结构特征【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】先证出chd是直角三角形，再利用基本不等式得出ch=dh=时cdh的面积最大，再利用三角形的等积法求出bc的值【解答】解：三棱锥pabc中，pc面abc，ab平面abc，pcab，又abbc，bcpc=c，ab平面pbc，又ch平面pbc，abch，又chpb，pbab=b，ch平面pab，又dh平面pab，chdh，又pac是等腰直角三角形，且pa=6，d是pa的中点，cd=pa=3，pc=ac=3，设ch=a，dh=b，则a2+b2=cd2=9，9=a2+b22ab，即ab，当且仅当a=b=时，“=”成立，此时cdh的面积最大；在rtpbc，设bc=x，则pb=，pcbc=pbch，即3x=，解得x=，cb的长是【点评】本题考查了空间几何体的平行与垂直关系的应用问题，也考查了面积公式的应用问题，考查了利用基本不等式求最值的问题，是综合性题目15已知正数x，y满足x2+2xy+4y2=1，则x+y的取值范围是（0，1）【考点】不等式的综合【专题】计算题；转化思想；整体思想；综合法；不等式【分析】由题意可得x2+2xy+y2=13y21，即（x+y）21，解关于x+y的不等式可得【解答】解：正数x，y满足x2+2xy+4y2=1，x2+2xy+y2=13y21，即（x+y）21，解得1x+y1，结合x，y为正数可得x+y0，故x+y的取值范围为（0，1）故答案为：（0，1）【点评】本题考查不等式的综合应用，整体凑出x+y的形式是解决问题的关键，属中档题三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16在abc中，角a，b，c所对的边分别似乎a，b，c，且a=2，2cos2+sina=（1）若b=，求角b；（2）求abc周长l的最大值【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；余弦定理【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形【分析】（1）利用倍角公式及三角形内角和定理，诱导公式化简已知可得sina=cosa，两边平方整理可得：25cos2a5cosa12=0，解得cosa，sina的值，由正弦定理可得sinb的值，从而可求b的值（2）由（1）及正弦定理可得：，从而由三角函数恒等变换的应用化简可求abc周长l=2+（sinb+sinc）=2+2sin（b+），其中，tan=，利用正弦函数的性质即可得解【解答】解：（1）2cos2+sina=，可得：1+cos（b+c）+sina=，sina=cosa，两边平方整理可得：25cos2a5cosa12=0，解得：cosa=或sina=，或（舍去），a=2，b=，由正弦定理可得：sinb=，b=或（2）sina=，cosa=，a=2，利用正弦定理可得： =，abc周长l=a+b+c=2+b+c=2+（sinb+sinc）=2+（sinb+sin（b+a）=2+（sinb+sinbcosa+cosbsina）=2+（sinb+sinb+cosb）=2+（sinb+cosb）=2+2（3sinb+cosb）=2+2sin（b+），其中，tan=当sin（b+）=1时，可得abc周长l的最大值为：2+2【点评】本题主要考查了倍角公式及三角形内角和定理，诱导公式，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题17已知数列an满足为正整数）（）求证：数列为等差数列；（）若，求数列bn的前n项和sn【考点】数列的求和；等差关系的确定【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】（）通过对an+1=4变形，整理可知=2，进而可得结论；（）通过a1=6及（i）、整理可知，进而裂项可知bn=，并项相加即得结论【解答】（）证明：依题意，=，故数列是公差为2的等差数列；（）解：a1=6，由（i）可知，整理得：，则【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题18如图，在多面体efabcd中，四边形abcd，abef均为直角梯形，abe=abc=，四边形dcef为平行四边形，平面dcef平面abcd（）求证：df平面abcd；（）若bc=cd=ce=ab，求直线bf与平面adf所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】（）推导出ef平面abcd，从而有abcdef，abce，dcdf，由此能证明df平面abcd（）设bc=1，则bc=cd=ce=1，ab=2，连接bd，则bdad，dfbd，从而bd平面fad，bfd即为直线bf与平面adf所成角，由此能求出直线bf与平面adf所成角的正弦值【解答】（本题满分15分）证明：（） 四边形dcef为平行四边形，知efcd，ef平面abcd，又平面abef平面abcd=ab，从而有abcdef，ab平面bce，abce，又四边形dcef为平行四边形，有dfce，dcdf，又平面dcef平面abcd，平面dcef平面abcd=dc，df平面abcd（7分）解：（）不妨设bc=1，则bc=cd=ce=1，ab=2，四边形abcd均为直角梯形，连接bd，则有则bdad由df平面abcd知dfbd，bd平面fad，则bfd即为直线bf与平面adf所成角，（11分）在bfd中，dfbd，则，直线bf与平面adf所成角的正弦值为（15分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养19如图，抛物线e：x2=2py（p0）的焦点为，圆心m在射线y=2x（x0）上且半径为1的圆m与y轴相切（）求抛物线e及圆m的方程；（）过p（1，0）作两条相互垂直的直线，与抛物线e相交于a，b两点，与圆m相交于c，d两点，n为线段cd的中点，当，求ab所在的直线方程【考点】抛物线的简单性质【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）利用抛物线e：x2=2py（p0）的焦点为，圆心m在射线y=2x（x0）上且半径为1的圆m与y轴相切，即可求抛物线e及圆m的方程；（）联立x2kx+k=0，又与直线ab垂直的直线cd与圆m相交，可得k的范围，利用，求出k，即可求ab所在的直线方程【解答】解：（）抛物线e：x2=2py（p0）的焦点为，p=，抛物线e：y=x2，（3分）圆心m在射线y=2x（x0）上且半径为1的圆m与y轴相切，圆m的方程：（x1）2+（y2）2=1； （6分）（）设直线ab的斜率为k（k显然存在且不为零）联立x2kx+k=0（8分）又与直线ab垂直的直线cd与圆m相交，则即，而k24k0，故.（其中d表示圆心m到直线ab的距离）=（12分）又，所以，解得或（舍）所以ab所在的直线方程为：即（15分）【点评】本题考查抛物线e及圆m的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，属于中档题20已知函数f（x）=x21（1）对于任意的1x2，不等式4m2|f（x）|+4f（m）|f（x1）