10高等数学第十章曲线积分教案.pdf

高等数学 备课教案 张谋 第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 一 教学目标及基本要求 一 教学目标及基本要求 1 理解二类曲线积分的概念 了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系 2 会计算两类曲线积分 3 掌握 Green 公式 会使用平面曲线积分与路径无关的条件 4 了解两类曲面积分的概念及高斯 Grass 公式和斯托克斯 Stokes 公式并 会计算两类曲面积分 5 了解通量 散度 旋度的概念及其计算方法 6 会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量 如曲面面积 弧长 质量 重心 转动惯量 功 流量等 二 教学内容及学时分配 二 教学内容及学时分配 第一节 对弧长的曲线积分 2 学时 第二节 对坐标的曲线积分 2 学时 第三节 格林公式及其应用 4 学时 第四节 对面积的曲面积分 2 学时 第五节 对坐标的曲面积分 2 学时 第六节 高斯公式 通量与散度 2 学时 第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度 2 学时 三 教学内容的重点及难点 三 教学内容的重点及难点 1 二类曲线积分的概念及其计算方法 2 二类曲面积分的概念及其计算方法 3 格林公式 高斯公式及斯托克斯公式 4 曲线积分及曲面积分的物理应用和几何应用也是本章重点 5 两类曲线积分的关系和区别 6 两类曲面积分的关系和区别 7 曲线积分和曲面积分的物理应用及几何应用 五 思考题与习题五 思考题与习题 第一节 习题 10 1 131 页 3 单数 4 5 第二节 习题 10 2 141 页 3 单数 4 5 7 单数 第三节 习题 10 3 153 页 1 2 3 4 单数 5 单数 6 单数 7 第四节 习题 10 4 158 页 4 5 6 单数 7 8 第五节 习题 10 5 167 页 3 单数 4 第六节 习题 10 6 174 页 1 单数 2 单数 3 单数 第七节 习题 10 7 183 页 1 单数 2 3 4 第十章 曲线积分与曲面积分第 1 页 共 40 页 高等数学 备课教案 张谋 第一节第一节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 内容内容 前面我们已经讲过好几种积分 如单积分 定积分 其积分范围为实轴上的一 个区间 二重积分 其积分范围为平面区域 还学过三重积分 其积分范围为空间一 立体 这一章我们还要学习两种积分 一是曲线积分 其积分范围为一段曲线弧 二 是曲面积分 其积分范围为一片曲面 一 对弧长的曲线积分的概念与性质一 对弧长的曲线积分的概念与性质 曲线形构件的质量曲线形构件的质量 设xoy面上有段曲线弧L 其上任意一点 yx的线密度为 yx 连续 求L的质量M L办法与过去一样 化变为不变化变为不变 在曲线上插入若干个分点 比如点 把 1 n 121 n MMML分成个小段 由于每个小段很短 n yx 连续 在这一小段 上的线密度 yx 变化不大 可在这段上任取一点 ii 其线密度值 ii 作为 整个小段上的线密度值 即把这一小段看成是密度为 ii 的均质曲线段 其质量 为 iii S 为弧的弧长 作和得整个曲线形构件的质量的近似值 为了提高精度 让弧长的最大值 i S ii MM 1 i n i ii SM 1 0 其极限值即为曲线构件的质量 i ii SM 1 0 lim 这种和式的极限在研究其他问题也会碰到 不管他的实际意 义 抽象得曲线积分的定义 i n 定义定义 设L为xoy面内的一条光滑曲线弧 函数在L上有界 在L yxf上任意 插入一点列 n MM把 121 ML分成个小段 设第 个小段的长度为 又ni i S ii 为 第 个小段上任意取定的一点 作乘积i 2 1 niSf iii 并作和 如果当各小弧段的长度的最大值 i n i ii Sf 1 0 是 这和的极限总存在 则称此极限为函数 yxf在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分 记作 dsyxf 即 L i n i ii Sfds 1 0 lim L yxf 第十章 曲线积分与曲面积分第 2 页 共 40 页 高等数学 备课教案 张谋 其中叫做 yxf被积函数被积函数 L称为积分弧段积分弧段 注注 1 可积条件可积条件 连续 yxfL光滑或分段光滑 2 该定义可推广到空间曲线对弧长的曲线积分 即 i n i iii L Sfdszyxf 1 0 lim 对弧长曲线积分的性质对弧长曲线积分的性质 性质性质 1 LLL dsyxgdsyxfdsyxgyxf 性质性质 2 212 LLLL dsyxfdsyxfdsyxf 性质性质 3 设有Lyx yxgyxf 则 LL dsyxgdsyxf 特别地 LL dsyxfdsyxf 二 对弧长的曲线积分的计算法二 对弧长的曲线积分的计算法 1 参数方程给出平面曲线 ttytx 则 dtttttfdsyxf L 22 2 直角坐标给出积分弧段 21 xxxxyy 或 21 yyyyxx 2 1 2 1 x xL dxxyxyxfdsyxf 或 2 1 2 1 y yL dyyxyyxfdsyxf 3 极坐标给出积分弧段 rr drrrrfdsyxf L 22 sin cos 第十章 曲线积分与曲面积分第 3 页 共 40 页 高等数学 备课教案 张谋 4 积分曲线为空间曲线 tzz tyy txx t 则dttztytxds 222 szyxfd tztytxfttztytxd 222 例例 计算 L dsy 上从点到点之间的一段弧 2 xyL 0 0 1 1 解 155 12 1 411 1 0 2 1 0 22 dxxxdxyxdsy L 例例 计算半径为R 中心角为 2的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I 设密 度 1 解 取如图所示的坐标系 题目所求即是求L对x轴的转动惯量 亦即 L dsyI 2 L的参数方程为 sin cosRyRx 所以 cossin cos sin sin 322222 RdRRRdsyI L 若用直角坐标方程 积分较麻烦 例例 计算 L yx dse 22 其中L为由曲线 4 0 ar 极坐标 所界的凸围线 解 利用极坐标 4 1 2 0 4 00 22 a a a ra a r BOABOAL yx ae edreadedredse 若用直角坐标 22 22 2 2 22 0022 12 aaa xyxax La x edse dxedxedx ax 积分较繁 也可极坐标与直角坐标混合使用 圆弧上使用极坐标 其余使用直角坐标 例例 计算 其中 dszyx 222 txcos tysin tz 20 t 解 因为 222 zyx 222 sincosttt 2 1t dtdtttds21 cos sin 22 所以 dszyx 222 3 8 2 22 1 3 2 2 0 dtt 例例 dsy 其中 为球面与平面2 222 zyxyx 的交线 解 的参数方程为tztyxsin2 cos 20 t dtdtzyxds2 222 第十章 曲线积分与曲面积分第 4 页 共 40 页 高等数学 备课教案 张谋 根据对称性得到 L dsy 24dcos24 2 0 tt 例例 计算 其中 dszyx 222 1 222 z ayx 0 a 解 1 sin cos z tay tax 20 t dttztytxds 222 adtdttta cos sin 222 dszyx 222 1 2 1 22 2 0 aaadta 或解 被积函数中的点位于曲线 222 zyx zyx 上 即必须满足 zyx 对应 的方程 所以 1 2222 azyx dszyx 222 dsa 1 2 1 aa2 1 22 dsa 例例 设L为椭圆 22 1 43 xy 其周长记为 则a 22 234 L xyxyds 解 2222 234 2 34 0 1212 LLLL xyxydsxydsxydsdsa 三 第一类曲线积分的应用 三 第一类曲线积分的应用 1 曲线 的长 s sd 2 若空间曲线形物体的线密度为 zyxf zyx 则其质量 M dszyxf 质心坐标为 zyx 其中 M dszyxzf z M dszyxyf y M dszyxxf x 对 x 轴的转动惯量 dszyxfzyIx 22 教学要求和注意点教学要求和注意点 1 理解对弧长的曲线积分的概念 了解对弧长的曲线积分的性质 2 掌握计算对弧长的曲线积分的方法 3 对弧长的曲线积分与曲线方向无关 化弧长的曲线积分为定积分时 定积分 的上限不能比下限小 第十章 曲线积分与曲面积分第 5 页 共 40 页 高等数学 备课教案 张谋 第二节 第二节 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分 一 对坐标的曲线积分的概念与性质一 对坐标的曲线积分的概念与性质 变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功 设有变力jyxQiyxPyxF 连续 把一在QP xoy面的质点 从点A沿光滑曲线L移动到点B 计算 yxF 在这个过程所作的功 我们知道 若 常力 F BA 弧 AB直线段 则功功 力力 位移位移 采用以前的方法化变为不变化变为不变 L 在曲线弧L上插入1 n个分点 BMMMA n 10 划分曲线弧 用 ii MM 1 代替 1ii MM 且jyixMM iiii 1 同时取 1 iiii MM 1 jyixjQiPMMFw iiiiiiiiiii iiiiii yQxP 求和 n i i wW 1 求极限 n i i wW 1 0 lim 定义 性质 1 2121 LLLL dyyxQdxyxPdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP 性质 2 LL dxyxPdxyxP 二 对坐标的曲线积分的计算法二 对坐标的曲线积分的计算法 1 设曲线L的参数方程为 tytx 起点对应的参数值为 终点对应的参数值为 dttttQtttPQdyPdx L 2 设曲线L由直角坐标给出 2211 yxByxAxyy 第十章 曲线积分与曲面积分第 6 页 共 40 页 高等数学 备课教案 张谋 则 2 1 x xL dxxyxyxQxyxPQdyPdx 3 设曲线L由直角坐标给出 2211 yxByxAyxx 2 1 y yL dyyyxQyxyyxPQdyPdx 4 可推广到空间直角坐标下的曲线 设 xx tyy tzz t 起点的参数值t 终点的参数值为t 则 2 1 y y PdxQdyRdzP x ty tz tx tQ t y tR t z t dt 例例 计算 其中从点 L xydxxyL 2 1 1 1 1 BA 解 5 4 2 1 1 2 ydyyyxydx L 例例 计算 其中 L dxy 2 L为 1 半径为a 圆心在原点 按逆时针方向绕行上半圆周 2 从点沿 0 aAx轴到点 0 aB 的直线段 解 1 3222 3 4 adxxadxy a a L 2 00 2 a a L dxdxy 该题说明 对坐标的曲线积分沿不同的路径其值是不同的 例例 计算 其中 L dyxxydx 2 2L为 1 上从点 2 xy 1 1 0 0 BO 2 上从点 2 yx 1 1 0 0 BO 3 有向折线 1 1 0 1 0 0 BAOOAB 此题说明 某些对坐标的曲线积分与走过的路径无关 第十章 曲线积分与曲面积分第 7 页 共 40 页 高等数学 备课教案 张谋 例例 计算 其中 ydzxdyzydxx 223 3 是从点的直线段 0 0 0 1 2 3 BA 解 解 直线段AB的方程为 t zyx 123 对应的参数方程为 tztytx 2 3 对应BA 01 tt 4 87 2 3 2 2 33 3 3 0 1 223223 dttttttydzxdyzydxx 或 000 322322 321 87 339 24 y x dxzy dyx ydzx dxy dyzzdz 2 例例 计算 其中 ydzzdydxx2 为曲线 sin cos azaykx 上从0 到 的一段弧 解 ydzzdydxx2 daak cossin 0 222223 2 33 3 a k 例例 计算曲线积分 c zyxyzxxyzd d d 其中C是曲线 2 1 22 zyx yx 从z轴正向看去 C取顺时针方向 分析 先写出曲线C的参数方程 可令 cos x sin y 则 sincos2 z 为参数 由题设 C的起点 终点对应的参数值分别为 2和 0 在代入计算公式 解 曲线C的参数方程为 cos x sin y sincos2 z 02 于 是 原式 0 2 cos sin2cos2 sin cos2 d sin cossin cos 2 0 d 12cos2cos2sin2 2 0 2d0 例例 设有一力场 场力的大小与作用点到轴的距离成反比 设比例系数为 方向垂直于轴并且指向轴 试求一质点沿圆弧 zk zzcos 1 sinxt yzt 从点 1 依 增加的方向移动到点时场力所作的功 1 0 t 0 1 1 解 设作用点的坐标为 x y z 则由已知得 场力的大小 22 k F xy 场力的方向与 0 xy 同向 对应的单位向量为 2222 xy e xyxy 故 2222 kxky FF e xyxy 场力作功为 22 222222 2 LL kxkykd xy Wdxdy xyxyxy 第十章 曲线积分与曲面积分第 8 页 共 40 页 高等数学 备课教案 张谋 2 2 2 2 2 0 0 cos1 ln cos1ln2 2cos122 kdtkk t t 三 二类曲线积分之间的联系三 二类曲线积分之间的联系 设有向曲线弧L的起点为A 终点为B 曲线弧L由参数方程 tytx 给出 起点A对应的参数为 终点B对应的参数值为 由于 y P x Q 连续 所以存在以为中心 半径 0 M r足够小的闭圆K 使0 y P x Q 由格林公式及二重积分的性质有 0 2 rdxdy y P x Q QdyPdx KK 这与任意闭路的曲线积分等于零矛 盾 例例 计算 其中 L dyyxdxyx sin 22 L是在圆周 2 2xxy 上由到 的一段弧 0 0 O 1 1 B x y oA 1 1 B 解 易验证 x Q y P 1 所以积分与路径无关 取如下路径 沿的直线段 如图 1 1 0 1 0 0 BAO 1 0 2 1 0 222 sin1 sin dyydxxdyyxdxyx ABOAL 6 7 4 2sin 三 二元函数的全微分求积三 二元函数的全微分求积 这一部分讨论 函数满足什么条件时 表达式QP QdyPdx 是某个二元函数u的 全微分 并求出该二元函数 定理定理 3 设函数在单连通区域内具一阶连续偏导数 则在G为 的全微分 QP GQdyPdx yxu x Q y P Gyx 证明证明 必要性必要性 若 QdyPdxdu 则Q y u P x u 进一步有 第十章 曲线积分与曲面积分第 15 页 共 40 页 高等数学 备课教案 张谋 x Q xy u y P yx u 22 又因为 x Q y P 连续 所以 xy u yx u 22 从而 x Q y P 充分性充分性 若 x Q y P Gyx 由定理 2 知 在G内的曲线积分与路径无关 只与起点 终点有关 设为起点 为终点 曲线积分可记为 它显然是 000 yxM yxM 00 yx yx QdyPdxyx 的二元函数 记为 即 yxu yxu 00 yx yx QdyPdx 下证 只须证QdyPdxdu Q y u P x u 由偏导数的定义有 1 lim lim 00 00 yxuQdyPdx xx yxuyxxu x u yxx yx xx 1 lim 0 00 yxuQdyPdxQdyPdx x yxx yx yx yx x 取平行坐标轴的直线段 lim 1 lim 00 yxP x xyxxP dxyxP x x xx x x 同理可证Q y u 这个定理的证明也提供了的求法 在定理条件下 积分与路径无关 取平 行与坐标轴的直线段 得求的公式 yxu yxu x x y y y y x x dxyxPdyyxQdyyxQdxyxPyxu 0000 00 由前面的讨论知 曲线积分与路径无关有下面四个等命题曲线积分与路径无关有下面四个等命题 若在单连通区域上具有一阶连续偏导数 则下面四个命题等价 QP G 1 0 C QdyPdxGC 2 任意连接起点与终点两路径 有 21 l l 21 ll QdyPdxQdyPdx 3 使 yxu QdyPdxdu 第十章 曲线积分与曲面积分第 16 页 共 40 页 高等数学 备课教案 张谋 4 x Q y P Gyx 例例 验证 在整个xoy面内 是某个函数的全微分 并求出一个这 样的函数 ydyxdxxy 22 解 因在全平面成立 x Q xy y P 2 所以是某个二元函数的全微 分 下面求此二元函数 ydyxdxxy 22 法 1 公式法 线积分法 22 0 2 0 0 22 2 1 yxydyxydyxdxxyyx yyx u 法 2 偏积法 所求u满足yx y u xy x u 22 所以 2 1 222 yyxydxxyu 且 CyxuCyyyyx y u yx 2222 2 1 0 下面给出曲线积分与路径无关的四个等价命题中 下面给出曲线积分与路径无关的四个等价命题中 1 2 3 的物理解释 的物理解释 我们知道在物理学中存在各种各样的场 如速度场 力场 温度场 高度场 什么是场呢 场场 把分布着某种物理量的平面或空间区域称为场 在数学研究上 把场分为数量场和向量场 数量场数量场 场中的物理量对应着一个数量值函数 称为数量场 向量场向量场 场中的物理量对应着一个向量值函数 称为向量场 物理上又分为 稳定场 稳定场 场中的物理量只与点M的位置有关 与时间t无关 称为稳定场 通 常记为u MAM 时变场时变场 场中的物理量不仅与点M的位置有关 还与时间t有关 称为时变场 通常记为u tMAtM 场中的量也可通过几何图形进行描述 如等值面 等值线 向量线 等值面等值面 给定空间数量场 把取相同值的点所构成的曲面 称为等值面 zyxuC Czyxu 等值线等值线 给定平面数量场 把取相同值C的点所构成的曲线 yxuCzyxu 称为等值线 向量线向量线 给定空间区域向量场G zyxA 每点都对应一个向量 内这样的G 第十章 曲线积分与曲面积分第 17 页 共 40 页 高等数学 备课教案 张谋 曲线称为向量线 因 CCC rdMvdydxQPQdyPdx CC dseMvdsQP coscos 若给定一速度场 由物理学知 QPMv eMv 表示速度在曲线C 上沿单位切向量的分速度 积分 Mv C dseMv 表示单位时间内 场沿闭曲线C流 动流体的数量 称为 Mv 环流量环流量 所以 四个等价命题中的 1 沿任意闭路曲线积分等于零 即0 CC rdMvdseMv 亦即速度 场中 上任意一点无旋转趋势 称 Mv C Mv 为无旋场无旋场 2 积分与路径无关 称 C QdyPdx QPA 为保守场保守场 3 由前面梯度方面的知识知道 给定数量场 可以得到梯度场 yxu QPj y u i x u gradu 这里是其反 问题 给定向量场 QPA 能否存在数量场使 yxuAgradu 命题 3 给出 肯定回答 这样的数量场存在 此时称为向量场 yxu yxuA 的势函数势函数 向量场A 也称为有势场有势场 因此 三个等价命题的物理解释为 无旋场 保守场 有势场等价物理解释为 无旋场 保守场 有势场等价 例例 验证向量场 33 63 222 xyxyxA 是有势场 并求其势函数 教学要求和注意点教学要求和注意点 先介绍单连通域 画图说明然后回忆牛顿 菜布尼兹公式 由此推出格林公式 书上定理 1 并证明 提出格林公式将二重积分与曲线积分联系起来了 举 2 个例子说明格林公式的用法 再介绍平面上曲线积分与路径无关的条件 给出 149 页定理 3 并证明 更重点讲 151 页公式 然后举 2 个例子说明该公式 的用法 该堂课讲 153 页习题 3 再由此说明格林公式的条件 第十章 曲线积分与曲面积分第 18 页 共 40 页 高等数学 备课教案 张谋 第四节第四节 对面积的曲面积分对面积的曲面积分 讲稿内容讲稿内容 一 对面积的曲面积分的概念与性质对面积的曲面积分的概念与性质 引例 求空间曲面的质量 定义定义 设曲面是光滑的 函数在 zyxf 上有界 把 任意分成小块n i S 同时也代表第i小块曲面的面积 设 i S iii 是 i S 上任意取定的一点 作乘 积 3 2 1 niSf iiii 作和 如果当各小块曲面的直径的 最大值 iiii n i Sf 1 0 时 这和的极限总存在 则称此极限为函数在曲面上对面积 的 曲 面 积 分 或 第 一 类 曲 面 积 分 记 为 即 其中叫做被积函数 叫做积分曲 面 zyxf dSzyxf dSzyxf iiii n i Sf lim 1 0 zyxf 曲面的直径曲面的直径 曲面中任意两点距离的最大者 光滑曲面光滑曲面 曲面上各点具有切平面 且当点在曲面上连续移动时 切平面也连 续移动 性质 1 gdSfdSdSgf 性质 2 2121 fdSfdSfdS 性质 3 yxgyxfyx 则 gdSfdS 二 对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分的计算法 对曲面积分的计算法对曲面积分的计算法 化曲面积分为二重积分 一代二换三投影化曲面积分为二重积分 一代二换三投影 设 在 yxzz xoy面上的投影为 xy D yxzz 在具有连续的偏 导数 被积函数在 上连续 则 xy D zyxf xy D yx dxdyyxzyxzyxzyxfdSzyxf 1 22 一代一代 被积函数中的某个变量用曲面方程代替 二换二换 dS用面积元公式换 三投影三投影 将 投影到相应的坐标面上 设 在面的投影为 则 zyxx yoz yz D yz D zy dydzxxzyzyxfdSzyxf 22 1 第十章 曲线积分与曲面积分第 19 页 共 40 页 高等数学 备课教案 张谋 设 zxyy 在xoz面的投影为 则 xz D xz D zx dxdzyyzzxyxfdSzyxf 22 1 设曲面方程由参数方程给出 vuzzvuyyvuxx 则 uv D vvv uuu dudv zyx zyx kji vuzvuyvuxfdSzyxf uv D dudvFEGvuf 2 其中 222 vuzvuyvuxrrrzyxE uuuuu 记 vvvvv rrzyxG 222 vuvuvuvu rrzzyyxxF 例例 计算曲面积分 dS z 1 其中 是球面被平面 2222 azyx 0 ahhz 截出的顶部 解 将投影到 xoy面较好 的方程为 222 yxaz dxdy yxa a dxdy yxa y yxa x dS 222 222 2 222 2 1 在xoy面的投影为圆 利用极坐标较好 2222 hayx xyxy DD yxa adxdy dxdy yxa a yxa dS z 222 222222 11 ln2 22 0 22 2 0 22 h a a a da d a dda ha Dxy 例例 计算 xyzdS 其中是由平面 1 0 0 0 zyxzyx所围成的四面体 的整个边界曲面 解 题中的四个平面分别记为 4321 则 xyzdS 1 xyzdS 2 xyzdS 3 xyzdS 4 xyzdS 4 xyzdS 4 投影到三个坐标面的难易程度一样 假设投影到yoz坐标面 zyx 1 4 31 22 zy xx 第十章 曲线积分与曲面积分第 20 页 共 40 页 高等数学 备课教案 张谋 120 3 3 1 1 0 1 0 4 y dydzyzzydyxyzdS 所以 120 3 xyzdS 例例 计算 dSyx 22 其中 为立体1 22 zyx的边界 解 21 10 22 1 zyxz 10 1 22 2 yxz 12 在xoy面的投影为 1 22 yxDxy dSyx 22 1 22 dSyx 2 22 dSyx xyxy DD dxdyyxdxdyyx 2 2222 21 2 2 1 0 2 2 0 1 0 2 2 0 dddd 例例 计 算 其 中 dSzxyzxyI 为 锥 面 22 yxz 被 曲 面 所割下的部分 axyx2 22 解 dxdydxdy yx y yx x dxdyzzdS yx 211 22 2 22 2 22 在xoy面的投影为 对应的极坐标方程为axyx2 22 cos2ar 锥面对应的极坐标为rz 所以 cos2 0 2 2 2 2 cossinsincos a rdrrrrrrdI drrd cossinsin cos2 3 2 2 2 2 4 cossinsin cos cos2 4 2 da 利用被积函数的奇偶性 2 15 64 cos28 4 2 0 54 ada 例例 求圆柱面在第一卦限中被平面 222 ayx 0 0abbxmmxzz 所 截下部分的面积 解 将投影到 xoz坐标面 如图 曲面方程改写为 22 xay 22 22 1 xa a yy zx 第十章 曲线积分与曲面积分第 21 页 共 40 页 高等数学 备课教案 张谋 222 0 22 0 22 baammadz xa a dxdxdz xa a dS mxb Dxz x x yz z mxz bx o o mxz 43 x z 例例 求质量均匀分布半径为R的球缺面 如图 的质心坐标 解 由于密度为常数 所以 dSzdSzyx 0 球缺面的参数方程为 cos sinsin cossin Rz Ry Rx 4 3 0 20 sin 2 RdS 2 43 0 2 2 0 22 sinRdRddS 3 43 0 2 2 0 2 1 sincosRdRRdzdS 22 2 R z 教学要求和注意点教学要求和注意点 了解了解对面积的面积分的定义 掌握其计算方法 在本章的讲述中 应提醒学生注意 求空间曲面的质量 转动惯量 曲面面积及重心坐标用对面积的曲面积分 第十章 曲线积分与曲面积分第 22 页 共 40 页 高等数学 备课教案 张谋 第五节第五节 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分 讲稿内容讲稿内容 一 对坐标的曲面积分的概念与性质一 对坐标的曲面积分的概念与性质 曲面侧的概念曲面侧的概念 我们通常遇到的曲面都是双侧的 但也有单侧曲面 如乌比丝带 定义定义 考察光滑曲面 在曲面上任取一点M 在这一点有一法线 让M沿曲面 连续移动但不经过曲面的边界 若M回到出发点时 其法线的方向与出发点的方向 相同 则称此曲面是双侧的曲面是双侧的 若回到出发点时的法线方向与出发点的法线方向相反 则称此曲面是单侧的曲面是单侧的 双侧曲面又分左右侧 内外侧 上下侧等 我们把选定了侧的曲面称为有向曲有向曲 面面 设是有向曲面 为 S 上一小块 它在xoy面的投影记为 投影面积 为 xy S xy 则规定 0cos 0 0cos 0cos xy xy xy S 为S 上任意一点的法线向量与轴正向的夹角 z 注意注意 1 在S xoy面的投影实际上就是 xy S S 在xoy面的投影区域的面积 xy 附上一定的正负号 即 若小块曲面S 的上侧投影到xoy面为正 则下侧投影到xoy 面就为正 说明 xy 前的正负号是用来确定曲面的侧的 2 由的光滑性及的任意性可以保证 S S 这块区域的投影是保号的 即恒有 0cos0cos 或 3 类似可规定有向曲面S 对其它坐标面的投影 引例引例 流向曲面一侧的流量 设有稳定流动的不可压缩流体 假定密度为1 的速度场由 zyxRzyxQzyxPzyxv 给出 是速度场中一片有向曲面 速 度 求流体流向指定一侧的流量 CMv 稳定流动的速度场稳定流动的速度场 即速度场同时又是稳定场 速度只与位置有关 与时间无 关 流量流量 单位时间内通过有向曲面 通过曲面 沿指定侧 的流体的总质量 若有向曲面 变为有向平面A 流速变为常量v zyxv 设平面A上给定侧的单位法向量为n 第十章 曲线积分与曲面积分第 23 页 共 40 页 高等数学 备课教案 张谋 则 流量等于以A为底 斜高为v 的斜柱体的体积 即 cosnvAvA n A v i S iiii M iii v MP MQ MR M i cos cos cos iiii n 现在所考虑的不是平面区域而是空间的曲面片 且流速也不是常向量 不能用 上面的公式计算 为了满足以上条件 方法与过去一样 划分 分 把分成小块 n i S 同时也表相应的面积 取近似 匀 由的光滑性及 Mv 的连续性 当小曲面片的直径很小时 在小曲面片上任取一点 i S iiii M 把 i S 上各点的流速视为常量 i Mv 并把 i S 视为平面片 设上沿指定侧的单位法向量 i S cos cos cos iiii n 则通过 i S 流向 i Mv 的流量近似等于以为底 斜高为 i S i Mv 的斜柱体的体积 iiii SnMv 求和 合 n i iii SnMv 1 n i iiiiiii SRQP 1 coscoscos 求极限 精 记 为小曲面 i S 的直径的最大值 则 n i iiiiiii SRQP 1 0 coscoscos lim 注意 ii S cos是小曲面 i S 在坐标面的投影 记为yoz yzi S n i xyizxiyziiii SRSQSP 1 0 lim dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyx 积分称为函数在有向曲面 dydzzyxP zyxP 上对坐标zy 的曲面积分曲面积分 定义定义 设为光滑的有向曲面 函数在 zyxR 上有界 把 任意分成块小 面面 同时又表示第 块小区域的面积 n i S i S i i S 在xoy面上的投影为 xy S iii 是上任意取定的一点 如果当各小块曲面的直径的最大值 i S 0 时 第十章 曲线积分与曲面积分第 24 页 共 40 页 高等数学 备课教案 张谋 n i xyiiii SR 1 0 lim 总存在 则称此极限为函数在有向曲面 zyxR 上对坐标yx 的积分 记作 即 dxdyzyxR dxdyzyxR n i xyiiii SR 1 0 lim 其中叫做 zyxR被积函数被积函数 叫做积分曲面积分曲面 类 似 可 定 义 函 数在 有 向 曲 面 zyxP 上 对 坐 标的 曲 面 积 分 及 函 数在 有 向 曲 面 zy dydzzyxP zyxQ 上 对 坐 标xz 的 曲 面 积 分 以上三种曲面积分称为 dzdxzyxQ 第二类曲面积分第二类曲面积分 积分简记为 dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP SdARdxdyQdzdxPdydz 可积条件可积条件 zyxRzyxQzyxPzyxA 连续 光滑 性质1 2121 SdASdASdA 性质2 SdASdA 二 对坐标的曲面积分的计算法二 对坐标的曲面积分的计算法 设积分曲面 yxzz 取上侧 在xoy的投影区域为 则 xy D dxdyzyxR n i xyiiii SR 1 0 lim 因为 xyixyiiiiiii Sz 0cos 故又所以 n i xyiiiii zR 1 0 lim 利用二重积分的定义 xy D dxdyyxzyxR 若积分曲面 取下侧 则有 dxdyzyxR xy D dxdyyxzyxR 因此 对坐标的曲面积分的计算法归纳起来为 一代二投三定向 曲积化为重积算一代二投三定向 曲积化为重积算 解释解释 设曲面积分的面积元为 dxdy 一代一代 将曲面的方程 yxzz 代入被积函数 二投二投 将曲面投影到 xoy坐标面 第十章 曲线积分与曲面积分第 25 页 共 40 页 高等数学 备课教案 张谋 三定向三定向 上侧为正 下侧为负 其余同理其余同理 如若曲面积分的面积元为 dxdz 一代一代 将曲面的方程 zxyy 代入被积函数 二投二投 将曲面投影到 xoz坐标面 三定向三定向 右侧为正 左侧为负 例例 计算 其中是球面 外侧在的部分 xyzdxdy 1 222 zyx 0 0 yx x y z o 解 21 22 1 1 yxz 的上侧 22 2 1 yxz 的下侧 xyzdxdy 1 xyzdxdy 2 xyzdxdy xy D dxdyyxxy 22 1 1 1 22 xy D dxdyyxxy 15 2 1sincos212 1 0 22 2 0 22 rdrrrddxdyyxxy xy D 例例 计算 式中连续 是长方 体 dxdyzhdxdzygdydzxfI zhygxf czbyax 0 0 0的外表面 x y z 1 2 3 4 5 6 解解 654321 0 1 x的后侧 的前侧 ax 2 0 3 y的左侧 的右侧 by 4 0 5 z的下侧 的上侧 cz 6 则 dxdyzhdxdyzh 654321 0 0 0000hchabdxdychdxdyh xyxy DD 同理可得 0 fafbcdydzxf 0 gbgacdxdzyg 第十章 曲线积分与曲面积分第 26 页 共 40 页 高等数学 备课教案 张谋 所以 c hch b gbg a faf abcI 0 0 0 例例 计算 dxdyyxdzdxxzdydzzy 式中 为圆锥面 0 222 hzzyx 的外表面 解解 21 hz 1 的上侧 222 2 yxz 的外侧 xy D dxdyyxdxdyyxdzdxxzdydzzy 00 1 0 sin cos 0 2 2 0 h drrd 00 2 yzyz DD dydzzydydzzydxdyyxdzdxxzdydzzy 0 锥面前侧投影到面为正 后侧投影为负 都为同一个投影区域 所以 方括号内为零 yoz 三 两类曲面积分之间的联系三 两类曲面积分之间的联系 设有有向曲面 它在 yxzz xoy面的投影为 xy D 取上侧 其中在上具有一阶连续偏导数 被积函数在上连续 yxzz xy D 则由对坐标对坐标的曲面积分计算方法知 xy D dxdyyxzyxRdxdyzyxR 由对面积对面积的曲面积分计算方法知 xy D yx dxdyzzyxzyxRdSzyxR 22 1 注意两式不同的地方 并注意到有向曲面 的法线向量的方向余弦为 22 1 1 cos yx zz 即有dxdydxdyzzdS yx cos 1 1 22 亦即dxdydS cos 所以有 dxdyzyxR dSzyxR cos 如果 取下侧 虽然投影为负 但此时 22 1 1 cos yx zz 上式仍成立 第十章 曲线积分与曲面积分第 27 页 共 40 页 高等数学 备课教案 张谋 同理可得 dSzyxPdydzzyxP cos dSzyxQdydzzyxQ cos 进一步有 dSRQPRdxdyQdzdxPdydz coscoscos cos cos cos dSdSdSRQPdxdydzdxdydzRQP dSAdSnASdA n dSnSdnRQPA cos cos cos 注意其中注意其中 cos cos cos dSdSdSdxdydzdxdydz 例例 计算 其中 zdxdydydzxz 2 是抛物面 2 1 22 yxz 介于及0 z2 z 之间的部分的下侧 解1 利用对坐标的曲面积分 21 2 1 2 yzx 前侧 2 2 2 yzx 后侧 dydzxz 2 1 2 dydzxz 2 2 dydzxz 2 2yz 2 2 2 2 y z o yzyz DD dydzyzzdydzyzz 2 2 2222 42222 2 2 2 2 2 2 2 y D dzyzdydydzyz yz 4 2 1 2 1 2 0 2 2 0 22 rdrrddxdyyxzdxdy xy D 原积分 8 解2 利用对面积的曲面积分 xy D yx dxdyzzxyxdsxzdydzxz 2222222 1cos 4 1 cos 注意 取下侧 22 1 cos 0cos yx zz x ha h