北师大版必修二 球的表面积和体积.ppt

球的表面积和体积 柱体 锥体 台体的表面积 知识回顾 圆台 圆柱 圆锥 柱体 锥体 台体的体积 锥体 台体 柱体 知识回顾 一 创设情境 1 在太空中存在着多颗星球 科学家为了比较各个星球的大小 需要计算它们的表面积和体积 但是星球的形状不同于柱体 椎体 台体 而是近似于球体 那么如何进行计算呢 2 球队大小是与球的半径有关 如何用球半径来表示球的体积和表面积 思考 如何求球的体积 排液法 H 二 探究新知 球的体积 球的表面积 都是以R为自变量的函数 OR 例1 钢球直径是5cm 求它的体积 例题讲解 变式1 把钢球 直径是5cm 放入一个正方体的有盖纸盒中 至少要用多少纸 用料最省时 球与正方体有什么位置关系 侧棱长为5cm 例题讲解 球内切于正方体 例题讲解 例4 如图 圆柱的底面直径与高都等于球的直径 求证 1 球的体积等于圆柱体积的三分之二 2 球的表面积与圆柱的侧面积相等 例题 2 证明 1 设球的半径为R 则圆柱的底面半径为R 高为2R R 讨论 长方体的一个顶点上三条棱长分别为3 4 5 若它的八个顶点都在同一球面上 则这个球的表面积是 分析 长方体内接于球 则由球和长方体都是中心对称图形可知 它们中心重合 则长方体对角线与球的直径相等 2 2 2 2 1 1 50 4 42 5 2 R S 2R 3 R D D B Rt p p D 中 略解 用一个平面 去截一个球O 截面是圆面 O 球的截面的性质 球心和截面圆心的连线垂直于截面球心到截面的距离为d 球的半径为R 则 截面问题 补充知识 课堂练习 1 了解球的体积 表面积推导的基本思路 分割 求近似和 化为标准和的方法 是一种重要的数学思想方法 极限思想 它是今后要学习的微积分部分 定积分 内容的一个应用 2 熟练掌握球的体积 表面积公式 五 课堂小结 基本计算问题 2 1 把球的半径扩大为原来的3倍 则体积扩大为原来的 倍 2 把球的半径扩大到原来的2倍 则表面积扩大为原来的 倍 3 三个球的半径之比为1 2 3 则它们的表面积之比为 4 三个球的体积之比为1 8 27 则它们的半径之比为 四 巩固深化 1 正方体的内切球和外接球体积比为 表面积之比为1 3 2 在球心同侧有相距9cm的两个平行截面 它们的面积分别为49和400 求球的表面积 答案 2500 4 若球半径变为原来的2倍 则表面积变为原来的 4 倍 5 若两球表面积之比为1 2 则其体积之比是 6 若两球体积之比是1 2 则其表面积之比是 3 若球的表面积变为原来的2倍 则半径变为原来的 倍 球与正方体的 接切 问题 典型 有三个球 一球切于正方体的各面 一球切于正方体的各侧棱 一球过正方体的各顶点 求这三个球的体积之比 画出正确的截面 1 中截面 2 对角面找准数量关系 球与正方体的 接切 问题 答案 D 答案 C 答案 D 例2已知正方体的八个顶点都在球O的球面上 且正方体的表面积为a2 求球O的表面积和体积 例3有一种空心钢球 质量为142g 钢的密度为7 9g cm3 测得其外径为5cm 求它的内径 精确到0 1cm 练习 有一种空心钢球 质量为142g 测得外径等于5 0cm 求它的内径 钢的密度为7 9g cm3 精确到0 1cm 解 设空心钢球的内径为2xcm 则钢球的质量是 答 空心钢球的内径约为4 5cm 由计算器算得 一个球内有相距9cm的两个平行截面 面积别为49 cm2和400 cm2 试求球的表面积 思路分析 求球的表面积或体积只需要求出球的半径 要求球的半径只需解球的半径 截面圆半径和球心到截面的距离组成的直角三角形 球的表面积 规范解答 1 当球心在两个截面同侧时 如右图 设OD x 由题意知 CA2 49 CA 7 cm 同理可得BD 20 cm 设球半径为R 则依题意 得 CD OD 2 CA2 R2 OD2 BD2 即 9 x 2 72 x2 202 解之得x 15 R 25 故S球 4 R2 2500 cm2 2 当球心在两个截面之间时 如右图 设OD xcm 则OC 9 x cm 由题意得 CA2 49 CA 7 cm 同理可得BD 20cm 设球半径为R 则依题意 知x2 202 9 x 2 72 R2 即x2 400 9 x 2 49 此方程无正数解 故此情况不可能 综上可知 所求球的表面积为2500 cm2 规律总结 常常借助于球的轴截面性质列方程 组 求球半径 进而求出球的表面积 轴截面为空间问题转化到平面几何问题创造了条件 4 若两球体积之比是1 2 则其表面积之比是 练习一 1 若球的表面积变为原来的2倍 则半径变为原来的 倍 2 若球半径变为原来的2倍 则表面积变为原来的 倍 3 若两球表面积之比为1 2 则其体积之比是 6 将半径为1和2的两个铅球 熔成一个大铅球 那么这个大铅球的表面积是 5 若两球表面积之差为48 它们大圆周长之和为12 则两球的直径之差为 练习二 二 探究新知 1 球的体积如果用一组等距离的平面去切割球 当距离很小时会得到很多 小圆片 小圆片 的体积之和正好是球的体积 由于 小圆片 近似于圆柱形状 所以它的体积也近似于相应的圆柱的体积 因此求球的体积可以按 分割 求和 化为准确和 的方法来进行 步骤 第一步 分割如图 把半球垂直于底面的半径OA作n等分 过这些等分点 用一组平行于底面的平面把半球切割成n个 小圆片 小圆片 厚度近似为 底面是 小圆片 的底面 第二步 求和 第三步 化为准确和 球面不能展开成平面图形 所以求球的表面积无法用展开图求出 如何求球的表面积公式呢 回忆球的体积公式的推导方法 得到启发 可以借助极限思想方法来推导球的表面积公式 球的表面积 第一步 分割 球面被分割成n个网格 表面积分别为 则球的表面积 则球的体积为 第二步 求近似和 由第一步得 第三步 化为准确和 如果网格分的越细 则 小锥体 就越接近小棱锥 截面问题 1 一球的球面面积为256 cm2 过此球的一条半径的中点 作垂直于这条半径的截面 求截面圆的面积 变式 在球内有相距9cm的两个平行截面 截面面积分别为49 cm2和400 cm2 求球的表面积 两种情况