江苏省泰州市姜堰区高二数学上学期期中试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高二（上）期中数学试卷（理科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分请将答案填入答题纸相应的答题线上）1设命题p：xr，x21，则p为_2若圆m的方程为x2+y2=4，则圆m的参数方程为_3已知抛物线y2=4x上一点m到焦点的距离为3，则点m到y轴的距离为_4已知（2，0）是双曲线x2=1（b0）的一个焦点，则b=_5设p：x3，q：1x3，则p是q成立的_条件（用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空）6已知双曲线过点且渐近线方程为y=x，则该双曲线的标准方程是_7在极坐标系中，点（2，）到直线（cos+sin）=6的距离为_8若焦点在x轴上过点的椭圆焦距为2，则椭圆的标准方程为_9若椭圆的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数，则m=_10若p（m，n）为椭圆（为参数）上的点，则m+n的取值范围是_11已知椭圆的右焦点为f短轴的一个端点为m，直线l：3x4y=0，若点m到直线l的距离不小于，则椭圆e的离心率的取值范围是_12已知椭圆的左右焦点分别为f1，f2，c上一点p满足，则pf1f2的内切圆面积为_13如图平面直角坐标系xoy中，椭圆，a1，a2分别是椭圆的左、右两个顶点，圆a1的半径为2，过点a2作圆a1的切线，切点为p，在x轴的上方交椭圆于点q则=_14已知f（x）=m（x3m）（x+m+3），g（x）=2x4若同时满足条件：xr，f（x）0或g（x）0；x（，4），f（x）g（x）0，则m的取值范围是_二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（14分）已知ar，命题p：“x，x2a0”，命题q：“xr，x2+2ax+2a=0”（）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（）若命题“pq”为假命题，求实数a的取值范围16（14分）已知直线l经过点（4，0），且倾斜角为，圆m以为圆心，过极点（）求l与m的极坐标方程；（）判断l与m的位置关系17（14分）在平面直角坐标系xoy中，椭圆c的参数方程（为参数），直线l的参数方程（t为参数）（i）求c与l的方程；（）求过c的右焦点，且平行l的直线方程18（16分）设椭圆e的方程为+=1（ab0），点o为坐标原点，点a的坐标为（a，0），点b的坐标为（0，b），点m在线段ab上，满足|bm|=2|ma|，直线om的斜率为（）求e的离心率e；（）设点c的坐标为（0，b），n为线段ac的中点，点n关于直线ab的对称点的纵坐标为，求e的方程19（16分）已知椭圆+=1（ab0）的左焦点为f（c，0），离心率为，点m在椭圆上且位于第一象限，直线fm被圆x2+y2=截得的线段的长为c，|fm|=（）求直线fm的斜率；（）求椭圆的方程；（）设动点p在椭圆上，若直线fp的斜率大于，求直线op（o为原点）的斜率的取值范围20（16分）已知直线l为函数y=x+b的图象，曲线c为二次函数y=（x1）2+2的图象，直线l与曲线c交于不同两点a，b（）当b=7时，求弦ab的长；（）求线段ab中点的轨迹方程；（）试利用抛物线的定义证明：曲线c为抛物线2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高二（上）期中数学试卷（理科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分请将答案填入答题纸相应的答题线上）1设命题p：xr，x21，则p为xr，x21【考点】命题的否定【专题】计算题；规律型；简易逻辑【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：设命题p：xr，x21，则p为：xr，x21故答案为：xr，x21；【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题2若圆m的方程为x2+y2=4，则圆m的参数方程为【考点】圆的参数方程【专题】对应思想；坐标系和参数方程【分析】根据平方关系可求得出圆m的参数方程【解答】解：由cos2+sin2=1得，圆m：x2+y2=4的参数方程可为，故答案为：【点评】本题考查利用平方关系求出圆的参数方程，属于基础题3已知抛物线y2=4x上一点m到焦点的距离为3，则点m到y轴的距离为2【考点】抛物线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先设出该点的坐标，根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得x的值，代入抛物线方程求得y值，即可得到所求点的坐标【解答】解：抛物线方程为y2=4x焦点为f（1，0），准线为l：x=1设所求点坐标为m（x，y）作mql于q根据抛物线定义可知m到准线的距离等于m、q的距离即x+1=3，解之得x=2，代入抛物线方程求得y=4故点m坐标为：（2，y）即点m到y轴的距离为2故答案为：2【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质在涉及焦点弦和关于焦点的问题时常用抛物线的定义来解决4已知（2，0）是双曲线x2=1（b0）的一个焦点，则b=【考点】双曲线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求得双曲线x2=1（b0）的焦点为（，0），（，0），可得b的方程，即可得到b的值【解答】解：双曲线x2=1（b0）的焦点为（，0），（，0），由题意可得=2，解得b=故答案为：【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点的求法，属于基础题5设p：x3，q：1x3，则p是q成立的必要不充分条件（用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】转化思想；综合法；简易逻辑【分析】由qp，反之不成立即可判断出结论【解答】解：p：x3，q：1x3，由qp，反之不成立p是q成立的必要不充分条件；故答案为：必要不充分【点评】本题考查了充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6已知双曲线过点且渐近线方程为y=x，则该双曲线的标准方程是x2y2=1【考点】双曲线的标准方程【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设双曲线方程为y2x2=，代入点，求出，即可求出双曲线的标准方程【解答】解：设双曲线方程为y2x2=，代入点，可得3=，=1，双曲线的标准方程是x2y2=1故答案为：x2y2=1【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查学生的计算能力，正确设出双曲线的方程是关键7在极坐标系中，点（2，）到直线（cos+sin）=6的距离为1【考点】简单曲线的极坐标方程【专题】坐标系和参数方程【分析】化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式距离公式即可得出【解答】解：点p（2，）化为p直线（cos+sin）=6化为点p到直线的距离d=1故答案为：1【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8若焦点在x轴上过点的椭圆焦距为2，则椭圆的标准方程为+=1【考点】椭圆的简单性质【专题】方程思想；待定系数法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设椭圆方程为+=1（ab0），由题意可得a2b2=1，代入点，解方程可得a，b的值，进而得到椭圆方程【解答】解：设椭圆方程为+=1（ab0），由题意可得c=1，即有a2b2=1，又椭圆过点，即有+=1，解方程可得a=2，b=，则椭圆方程为+=1故答案为：+=1【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用方程的思想，考查运算能力，属于基础题9若椭圆的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数，则m=1或2【考点】椭圆的简单性质【专题】分类讨论；分类法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由等轴双曲线的离心率为，即有椭圆的离心率为，讨论椭圆的焦点的位置，结合离心率公式，解方程可得m的值【解答】解：等轴双曲线的离心率为，即有椭圆的离心率为，若椭圆的焦点在x轴上，则a2=2，b2=m2，c2=2m2，即有e2=，解得m=1；若椭圆的焦点在y轴上，则b2=2，a2=m2，c2=m22，即有e2=，解得m=2综上可得m=1或2故答案为：1或2【点评】本题考查椭圆和双曲线的性质，主要考查离心率的运用，以及椭圆的焦点的确定，考查运算能力，属于基础题和易错题10若p（m，n）为椭圆（为参数）上的点，则m+n的取值范围是【考点】椭圆的参数方程【专题】函数思想；参数法；三角函数的图像与性质；坐标系和参数方程【分析】由题意和三角函数可得m+n=cos+sin=2sin（+），由三角函数的值域可得【解答】解：p（m，n）为椭圆（为参数）上的点，m+n=cos+sin=2（cos+sin）=2sin（+），由三角函数的知识可得m+n的取值范围为：故答案为：【点评】本题考查椭圆的参数方程，涉及三角函数的值域，属基础题11已知椭圆的右焦点为f短轴的一个端点为m，直线l：3x4y=0，若点m到直线l的距离不小于，则椭圆e的离心率的取值范围是（0，【考点】椭圆的简单性质【专题】转化思想；分析法；不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求得椭圆的短轴的一个端点，运用点到直线的距离公式解不等式可得1b2，运用离心率公式，以及不等式的性质，即可得到所求范围【解答】解：椭圆的短轴的一个端点为m（0，b），点m到直线l的距离不小于，即为，即有1b2，又a=2，c=，则e=（0，故答案为：（0，【点评】本题考查椭圆的离心率的范围，考查点到直线的距离公式的运用，以及不等式的解法和性质，属于中档题12已知椭圆的左右焦点分别为f1，f2，c上一点p满足，则pf1f2的内切圆面积为4【考点】椭圆的简单性质【专题】转化思想；数形结合法；解三角形；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据椭圆的方程，算出a=5且焦距|f1f2|=2c=10设|pf1|=m，|pf2|=n，根据椭圆的定义和勾股定理建立关于m、n的方程组，平方相减即可求出|pf1|pf2|=48，结合直角三角形的面积公式，可得pf1f2的面积s=|pf1|pf2|=24，再由s=r（|pf1|+|pf2|+|f1f2|），求得r，即可得到所求内切圆的面积【解答】解：椭圆，a2=49，b2=24，可得c2=a2b2=25，即a=7，c=5，设|pf1|=m，|pf2|=n，则有m+n=2a=14，m2+n2=（2c）2=100，可得2mn=96，即mn=48，|pf1|pf2|=48，pf1pf2，得f1pf2=90，pf1f2的面积s=|pf1|pf2|=48=24，由s=r（|pf1|+|pf2|+|f1f2|）=r（2a+2c）=12r（r为内切圆的半径），由12r=24，解得r=2，则所求内切圆的面积为4故答案为：4【点评】本题给出椭圆的焦点三角形为直角三角形，求它的面积，着重考查了勾股定理、椭圆的定义和简单几何性质等知识，属于基础题13如图平面直角坐标系xoy中，椭圆，a1，a2分别是椭圆的左、右两个顶点，圆a1的半径为2，过点a2作圆a1的切线，切点为p，在x轴的上方交椭圆于点q则=【考点】椭圆的简单性质【专题】数形结合；分析法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】连结a2p，可得opa2是边长为a的正三角形，由此算出pa1、po的方程，联解求出点p的横坐标m=1由a2p与圆a1相切得到a2ppa1，从而得到直线a2p的方程，将pa2的方程与椭圆方程联解算出q点横坐标s=由=，把前面算出的横坐标代入即可求得的值【解答】解：连结po、pa1，可得poa1是边长为2的等边三角形，pa1o=poa1=60，可得直线pa1的斜率k1=tan60=，直线po的斜率k2=tan120=，因此直线pa1的方程为y=（x+2），直线po的方程为y=x，设p（m，n），联解po、pa1的方程可得m=1圆a1与直线pa2相切于p点，pa2pa1，可得pa2o=90pa1o=30，直线pa2的斜率k=tan150=，因此直线pa2的方程为y=（x2），代入椭圆，消去y，得x2x+=0，解之得x=2或x=直线pa2交椭圆于a2（2，0）与q点，设q（s，t），可得s=由此可得=故答案为：【点评】本题给出与椭圆相关的直线与圆相切的问题，求线段的比值着重考查了直线的基本量与基本形式、直线与圆的位置关系、椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题14已知f（x）=m（x3m）（x+m+3），g（x）=2x4若同时满足条件：xr，f（x）0或g（x）0；x（，4），f（x）g（x）0，则m的取值范围是（5，）【考点】命题的真假判断与应用【专题】综合题；探究型；分类讨论；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；简易逻辑【分析】由可推得f（x）=m（x3m）（x+m+3）0在x1时恒成立，建立关于m的不等式组可得m的范围，然后由可得： x（，4），使（x3m）（x+m+3）0成立，只要使4比3m，m3中较小的一个大即可，分类讨论可得m的范围，综合可得答案【解答】解：g（x）=2x4，当x2时，g（x）0，又xr，f（x）0或g（x）0f（x）=m（x3m）（x+m+3）0在x2时恒成立，二次函数图象开口只能向下，且与x轴交点都在（2，0）的左侧，即，解得5m0；又x（，4），f（x）g（x）0而此时有g（x）=2x40x（，4），使f（x）=m（x3m）（x+m+3）0成立，由于m0，x（，4），使（x3m）（x+m+3）0成立，故只要使4比3m，m3中较小的一个大即可，当m（，0）时，3mm3，只要4m3，解得m1与m（，0）的交集为空集；当m=时，两根为2；24，不符合；当m（5，）时，3mm3，只要43m，解得m，综上可得m的取值范围是：（5，）故答案为：（5，）【点评】此题考查了一元二次不等式的解法，指数函数的单调性及特殊点，利用了分类讨论的思想，分类讨论时要做到不重不漏，考虑问题要全面，是中档题也是易错题二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（14分）已知ar，命题p：“x，x2a0”，命题q：“xr，x2+2ax+2a=0”（）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（）若命题“pq”为假命题，求实数a的取值范围【考点】复合命题的真假【专题】计算题；函数思想；综合法；简易逻辑【分析】（i）由命题p为真命题，问题转化为求出x2min，从而求出a的范围；（ ii）由命题“pq”为假命题，得到p为假命题或q为假命题，通过讨论p，q的真假，从而求出a的范围【解答】解：（i）由命题p为真命题，ax2min，a1；（ ii）由命题“pq”为假命题，所以p为假命题或q为假命题，p为假命题时，由（i）a1；q为假命题时=4a24（2a）0，2a1，综上：a（2，1）（1，+）【点评】本题考查了复合命题的判断，考查函数恒成立问题，是一道基础题16（14分）已知直线l经过点（4，0），且倾斜角为，圆m以为圆心，过极点（）求l与m的极坐标方程；（）判断l与m的位置关系【考点】简单曲线的极坐标方程【专题】计算题；方程思想；数形结合法；坐标系和参数方程【分析】（）由题意画出图形，分别在两直角三角形中求得l与m的极坐标方程；（）化极坐标方程为直角坐标方程，求出圆m的圆心，由点到直线距离公式判断l与m的位置关系【解答】解：（）如图，设l上任一点p（，），在oap中，由正弦定理，即（cos+sin）=4；设圆m上任一点q（，），连接om延长交圆于b，在直角三角形obq中，即=2cos+2sin；（）把l与m的极坐标方程化为直角坐标方程，l：x+y=4，m：x2+y22x2y=0，圆心m（1，1）到l的距离d=r，l与m相切【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了点到直线距离公式的应用，是基础题17（14分）在平面直角坐标系xoy中，椭圆c的参数方程（为参数），直线l的参数方程（t为参数）（i）求c与l的方程；（）求过c的右焦点，且平行l的直线方程【考点】椭圆的参数方程【专题】计算题；方程思想；参数法；坐标系和参数方程【分析】（i）消去参数可得椭圆方程为；（ii）同理可得直线l的方程为x2y+2=0，斜率为，由（i）可得椭圆c的右焦点为（4，0），可得点斜式方程，化为一般式即可【解答】解：（i）椭圆c的参数方程（为参数），cos=，sin=，cos2+sin2=1，（）2+（）2=1，即；（ii）同理消去参数t可得直线l的方程为：x2y+2=0，l的斜率为，由（i）可得椭圆c的右焦点为（4，0），所求直线方程为y=（x4），即x2y4=0【点评】本题考查椭圆的参数方程，涉及直线的方程的求解，属基础题18（16分）设椭圆e的方程为+=1（ab0），点o为坐标原点，点a的坐标为（a，0），点b的坐标为（0，b），点m在线段ab上，满足|bm|=2|ma|，直线om的斜率为（）求e的离心率e；（）设点c的坐标为（0，b），n为线段ac的中点，点n关于直线ab的对称点的纵坐标为，求e的方程【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质【专题】创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（i）由于点m在线段ab上，满足|bm|=2|ma|，即，可得利用，可得（ii）由（i）可得直线ab的方程为：=1，利用中点坐标公式可得n设点n关于直线ab的对称点为s，线段ns的中点t，又ab垂直平分线段ns，可得b，解得即可【解答】解：（i）点m在线段ab上，满足|bm|=2|ma|，a（a，0），b（0，b），=，a=b=（ii）由（i）可得直线ab的方程为：=1，n设点n关于直线ab的对称点为s，线段ns的中点t，又ab垂直平分线段ns，解得b=3，a=3椭圆e的方程为：【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、线段的垂直平分线性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题19（16分）已知椭圆+=1（ab0）的左焦点为f（c，0），离心率为，点m在椭圆上且位于第一象限，直线fm被圆x2+y2=截得的线段的长为c，|fm|=（）求直线fm的斜率；（）求椭圆的方程；（）设动点p在椭圆上，若直线fp的斜率大于，求直线op（o为原点）的斜率的取值范围【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【专题】创新题型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）通过离心率为，计算可得a2=3c2、b2=2c2，设直线fm的方程为y=k（x+c），利用勾股定理及弦心距公式，计算可得结论；（）通过联立椭圆与直线fm的方程，可得m（c，c），利用|fm|=计算即可；（）设动点p的坐标为（x，y），分别联立直线fp、直线op与椭圆方程，分x（，1）与x（1，0）两种情况讨论即可结论【解答】解：（）离心率为，=，2a2=3b2，a2=3c2，b2=2c2，设直线fm的斜率为k（k0），则直线fm的方程为y=k（x+c），直线fm被圆x2+y2=截得的线段的长为c，圆心（0，0）到直线fm的距离d=，d2+=，即（）2+=，解得k=，即直线fm的斜率为；（）由（i）得椭圆方程为：+=1，直线fm的方程为y=（x+c），联立两个方程，消去y，整理得3x2+2cx5c2=0，解得x=c，或x=c，点m在第一象限，m（c，c），|fm|=，=，解得c=1，a2=3c2=3，b2=2c2=2，即椭圆的方程为+=1；（）设动点p的坐标为（x，y），直线fp的斜率为t，f（1，0），t=，即y=t（x+1）（x1），联立方程组，消去y并整理，得2x2+3t2（x+1）2=6，又直线fp的斜率大于，解得x1，或1x0，设直线op