（江西版）高考数学总复习 第五章5.3 平面向量的数量积及其应用教案 理 北师大版.doc

2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第五章5.3平面向量的数量积及其应用考纲要求1理解平面向量数量积的含义及其物理意义2了解平面向量的数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系5会用向量方法解决某些简单的平面几何问题6会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题知识梳理1两个向量的夹角(1)定义已知两个_向量a和b，作a，b，则_称作向量a与向量b的夹角，记作a，b(2)范围向量夹角a，b的范围是_，且_b，a(3)向量垂直如果a，b_，则a与b垂直，记作_2平面向量的数量积(1)平面向量的数量积的定义_叫作向量a和b的数量积(或内积)，记作ab_.可见，ab是实数，可以等于正数、负数、零其中|a|cos (|b|cos )叫作向量a在b方向上(b在a方向上)的投影(2)向量数量积的运算律ab_(交换律)(ab)c_(分配律)(a)b_a(b)(数乘结合律)3平面向量数量积的性质：已知非零向量a(a1，a2)，b(b1，b2)性质几何表示坐标表示定义ab|a|b|cosa，baba1b1a2b2模aa|a|2或|a|若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)ab的充要条件ab0a1b1a2b20夹角cosa，b(|a|b|0)cosa，b|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|基础自测1已知下列各式：|a|2a2；(ab)2a2b2；(ab)2a22abb2，其中正确的有()a1个 b2个 c3个 d4个2设向量a(1,0)，b，则下列结论中正确的是()a|a|b| bab cab dab与b垂直3已知a(1，3)，b(4,6)，c(2,3)，则(bc)a等于()a(26，78) b(28，42) c52 d784若向量a，b满足|a|1，|b|2且a与b的夹角为，则|ab|_.5已知|a|2，|b|4且a(ab)，则a与b的夹角是_思维拓展1b在a上的投影是向量吗？提示：不是，b在a上的投影是一个数量|b|cos ，它可以为正，可以为负，也可以为0.2根据数量积的运算律，判断下列结论是否成立(1)abac，则bc吗？(2)(ab)ca(bc)吗？提示：(1)不一定，a0时不成立，另外a0时，abac.由数量积概念可知b与c不能确定；(2)(ab)ca(bc)不一定相等(ab)c是c方向上的向量，而a(bc)是a方向上的向量，当a与c不共线时它们必不相等3向量数量积与实数相关概念有哪些区别？提示：(1)表示方法的区别数量积的记号是ab，不能写成ab，也不能写成ab.(2)相关概念及运算的区别若a，b为实数，且ab0，则有a0或b0，但ab0却不能得出a0或b0.若a，b，cr，且a0，则由abac可得bc, 但由abac及a0却不能推出bc.若a，b，cr，则a(bc)(ab)c(结合律)成立，但对于向量a，b，c，而(ab)c与a(bc)一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的若a，br，则|ab|a|b|，但对于向量a，b，却有|ab|a|b|，等号当且仅当ab时成立一、平面向量数量积的运算【例1】(1)在等边三角形abc中，d为ab的中点，ab5，求，；(2)若a(3，4)，b(2,1)，求(a2b)(2a3b)和|a2b|.方法提炼平面向量的考查经常有两种：一是考查加减法，平行四边形法则和三角形法则，平面向量共线定理；二是考查数量积，此时注意应用平面向量基本定理，选择恰当的基底，以简化运算过程坐标形式时，运算要准确提醒：选择基底时要尽可能是已知或易求夹角和模的两个向量请做针对训练1二、两平面向量的夹角与垂直【例2】已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角；(2)若a，b，求abc的面积方法提炼1求两非零向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律：(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角就是钝角2当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得ab及|a|，|b|或得出它们的关系请做针对训练2三、求平面向量的模【例31】设平面向量a(1,2)，b(2，y)，若ab，则|3ab|等于()a b c d【例32】已知向量a，b，且x.(1)求ab及|ab|；(2)若f(x)ab|ab|，求f(x)的最大值和最小值方法提炼利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)|a|2a2aa；(2)|ab|2(ab)2a22abb2；(3)若a(x，y)，则|a|.请做针对训练3四、平面向量的应用【例41】已知点o，n，p在abc所在平面内，且，0，则点o，n，p依次是abc的()a重心、外心、垂心b重心、外心、内心c外心、重心、垂心d外心、重心、内心【例42】已知向量a(cos ，sin )，b(2cos ，2sin )，c(0，d)(d0)，其中o为坐标原点，且0.(1)若a(ba)，求的值；(2)若1，求oab的面积s.方法提炼向量与其他知识结合，题目新颖而精巧，既符合考查知识的“交汇处”的命题要求，又加强了对双基覆盖面的考查，特别是通过向量坐标表示的运算，利用解决平行、垂直、成角和距离等问题的同时，把问题转化为新的函数、三角或几何问题请做针对训练4考情分析从近两年的高考试题来看，向量的数量积运算、向量的垂直等问题是高考中考查平面向量的热点，既有选择题、填空题，又有解答题，属中、低档题目，常与平面几何、三角、解析几何知识交汇命题，主要考查运算能力及数形结合思想预测2013年高考仍将以向量的数量积运算、向量的垂直为主要考点，以与三角、解析几何知识交汇命题为考向针对训练1若e1，e2是夹角为的单位向量，且a2e1e2，b3e12e2，则ab_.2(2011江苏高考，10)已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，ae12e2，bke1e2，若ab0，则实数k的值为_3设an，nn，b(1，)，则y|a1b|2|a2b|2|a10b|2的值为_4在长江南岸渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为_5已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a(1,2)(1)若|c|2，且ca，求c的坐标；(2)若|b|，且a2b与2ab垂直，求a与b的夹角.参考答案基础梳理自测知识梳理1(1)非零aob(2)0，a，b(3)ab2(1)|a|b|cosa，b|a|b|cosa，b(2)baacbc(ab)基础自测1b解析：错，向量不能约分；中(ab)2|a|2|b|2cos2不一定与a2b2相等，错2d3a解析：a(bc)(1，3)(4263)(26，78)4解析：|ab|2(ab)2a22abb212212cos227.|ab|.5.解析：a(ab)，a(ab)0，即a2ab0，ab4，cos (是a与b的夹角)，.考点探究突破【例1】解：(1)如图，向量，的夹角为120，|cos 12055.()，|2()2(|22|2)(25255cos 6025)，|.(2)a2b(3，4)2(2,1)(1，6)，2a3b2(3，4)3(2,1)(12，5)，(a2b)(2a3b)(1)12(6)(5)123018.a2b(3，4)2(2,1)(7，2)，|a2b|.【例2】解：(1)(2a3b)(2ab)61.4|a|24ab3|b|261.又|a|4，|b|3，644ab2761，ab6.cos .又0，.(2)与的夹角.abc.又|a|4，|b|3，sabc|sinabc433.【例31】a解析：由ab，得1y2(2)0，y4.3ab3(1,2)(2，4)(1,2)，|3ab|.【例32】解：(1)abcoscossinsincos 2x.|ab|2|cos x|，x，cos x0，|ab|2cos x.(2)f(x)cos 2x2cos x2cos2x2cos x122，x，cos x1.当cos x时，f(x)取得最小值，当cos x1时，f(x)取得最大值1.【例41】c解析：如图，0，.依向量加法的平行四边形法则，知|2|，故n为重心，()0.同理0，0，点p为abc的垂心由|，知o为abc的外心【例42】解：(1)由a(ba)a(ba)0aba20，又|a|1，|b|2，a，b|，2cos|1cos|.由0，得.(2)|1，|2，记，1，2，(0，d)，d0，1，2，且1，2.由|cos 11cos 1得.由|cos 2cos 2得，aob，s211.演练巩固提升针对训练1解析：ab(2e1e2)(3e12e2)6e214e1e23e2e12e2264cos3cos2622.2解析：由ab0得(e12e2)(ke1e2)0.整理，得k2(12k)cos0，解得k.348解析：y|a1b|2|a2b|2|a10b|2(a12a22a102)10b22b(a1a2a10)10402b(a1a2a10)50(2，2)50248.4北偏西30解析：如图，渡船速