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高考中档大题规范练 (三)立体几何与空间向量1.如图,四边形abcd是菱形,四边形madn是矩形,平面madn平面abcd,e,f分别为ma,dc的中点,求证:(1)ef平面mncb;(2)平面mac平面bnd.2如图1,在边长为1的等边三角形abc中,d,e分别是ab,ac上的点,adae,f是bc的中点,af与de交于点g.将abf沿af折起,得到如图2所示的三棱锥abcf,其中bc.(1)证明:de平面bcf;(2)证明:cf平面abf;(3)当ad时,求三棱锥fdeg的体积vfdeg.3.如图,在长方体abcda1b1c1d1中,aa1ad1,e为cd中点(1)求证:b1ead1;(2)在棱aa1上是否存在一点p,使得dp平面b1ae?若存在,求ap的长;若不存在,说明理由4.(2015金华模拟)如图,三棱柱abca1b1c1的所有棱长都是2,又aa1平面abc,d,e分别是ac,cc1的中点(1)求证:ae平面a1bd;(2)求二面角dba1a的余弦值;(3)求点b1到平面a1bd的距离5(2015杭州模拟)如图,在长方体abcda1b1c1d1中,aa1ad1,e为cd中点(1)求证:b1ead1;(2)在棱aa1上是否存在一点p,使得dp平面b1ae?若存在,求ap的长;若不存在,说明理由;(3)若二面角ab1ea1的大小为30,求ab的长答案精析高考中档大题规范练(三)立体几何与空间向量1证明(1)取nc的中点g,连接fg,mg,如图所示因为mend且mend,f,g分别为dc,nc的中点,fgnd且fgnd,所以fg 綊me,所以四边形mefg是平行四边形,所以efmg,又mg平面mncb,ef平面mncb,所以ef平面mncb.(2)因为四边形madn是矩形,所以ndad.因为平面madn平面abcd,平面abcd平面madnad,dn平面madn,所以nd平面abcd,所以ndac.因为四边形abdc是菱形,所以acbd.因为bdndd,所以ac平面bdn.又ac平面mac,所以平面mac平面bdn.2(1)证明在等边abc中,adae,在折叠后的三棱锥abcf中也成立debc,又de平面bcf,bc平面bcf,de平面bcf.(2)证明在等边abc中,f是bc的中点,afcf.在三棱锥abcf中,bc,bc2bf2cf2,cfbf.又bfaff,cf平面abf.(3)解vfdegvedfgdgfgge.3(1)证明以a为原点,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)设aba,则a(0,0,0),d(0,1,0),d1(0,1,1),e,b1(a,0,1),故(0,1,1),.011(1)10,b1ead1.(2)解假设在棱aa1上存在一点p(0,0,z0)使得dp平面b1ae,此时(0,1,z0)又设平面b1ae的法向量n(x,y,z),且(a,0,1),.n平面b1ae,n,n,得取x1,得平面b1ae的一个法向量n.要使dp平面b1ae,只要n,有az00,解得z0.又dp平面b1ae,存在点p,满足dp平面b1ae,此时ap.4(1)证明以d为原点,da所在直线为x轴,过d作ac的垂线为y轴,db所在直线为z轴,建立空间直角坐标系(如图所示)则d(0,0,0),a(1,0,0),c(1,0,0),e(1,1,0),a1(1,2,0),c1(1,2,0),b(0,0,),b1(0,2,)(2,1,0),(1,2,0),(0,0,),2200.同理,0,.又a1dbdd,ae平面a1bd.(2)解设平面a1bd的一个法向量为n1(x1,y1,z1),由取n1(2,1,0)设平面aa1b的一个法向量为n2(x2,y2,z2),由于(0,2,0),(1,2,),由取n2(3,0,),cosn1,n2,故所求二面角的余弦值为.(3)解(0,2,0),平面a1bd的法向量取n1(2,1,0),则点b1到平面a1bd的距离为d.5(1)证明以a为原点,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)设aba,则a(0,0,0),d(0,1,0),d1(0,1,1),e,b1(a,0,1),故(0,1,1),(a,0,1),.011(1)10,b1ead1.(2)解假设在棱aa1上存在一点p(0,0,z0)使得dp平面b1ae,此时(0,1,z0)又设平面b1ae的法向量n(x,y,z)n平面b1ae,n,n,得取x1,得平面b1ae的一个法向量n.要使dp平面b1ae,只要n,有az00,解得z0.又dp平面b1ae,存在点p,满足dp平面b1ae,此时ap.(3)解连接a1d,b1c,由长方体abcda1b1c1d1及aa1ad1,得ad1a1d.b1ca1d,ad1b1c.又由(1)知b1ead1,且b1cb1eb1,ad1
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