重庆市南开中学高三数学上学期一诊模拟试卷 理（含解析）.doc

重庆市南开中学2015届高三上学期一诊模拟数 学试卷（理科）一、选择题：每小题5分，共10分.在四个选项中只有一项是符合题目要求的1（5分）集合a=1，0，1，则满足ba的集合b的个数为（）a4b6c7d82（5分）复数z=（其中i为虚数单位），则z的共轭复数的虚部为（）a1b1cidi3（5分）设abc的内角a、b、c的对边分别为a、b、c，且a=75，b=45，b=，则边c=（）a2b3cd+4（5分）如图所示程序框图，若输入n=3，则输出的s=（）abcd5（5分）下列说法正确的是（）a命题“若xy，则x2y2的否命题为“若xy，则x2y2”b命题p：“x0，sinxx”则p：“x0，sinxx”c“x0”是“ln（x+1）0”的必要不充分条件d命题p：f（x）=xsinx为奇函数，命题q：f（x）=cosx+1为偶函数，则“pq”为假命题6（5分）已知双曲线=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）abc3d57（5分）如题图所示为某空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）ab+6c+3d+38（5分）若实数x，y满足约束条件，则z=|x+2|+|y2|的取值范围为（）a2，4b4，6c2，6d0，69（5分）已知圆c：x2+y22x+4y11=0，在区间4，6上任取实数m，则直线l：x+y+m=0与圆c相交所得abc为钝角三角形（其中a、b为交点，c为圆心）的概率为（）abcd10（5分）设实数a，b，c，d满足ab=c2+d2=1，则（ac）2+（bd）2的最小值为（）a+1b3+2c1d32二填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填写在答题卡相应位置上11（5分）不等式2的解集为12（5分）已知幂函数f（x）=（m2+m5）xm为定义域是r的偶函数，则实数m=13（5分）已知=（1，），|=3，|2|=，则向量与的夹角为14（5分）已知正项等比数列an满足：a2015a2014=2a2013，若存在两项am，an使得=4a1，则+的最小值为15（5分）若函数f（x）=|x2+2x2|a|x1|恰有四个不同的零点，则实数a的取值范围为三解答题：本大题6个小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（13分）设f（x）=x2+alnx，其中ar曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线l垂直于y轴（）确定a的值并求切线l的方程；（）求函数的单调区间与极值17（13分）进入秋冬季节以来，热饮受到大众喜爱某中学校门口一奶茶店为了了解某品牌热饮的日销售量y（杯）与当日气温x（）之间的关系，随机统计了某5天该品牌热饮的日销量和当日气温的数据如下表：当日气温（）x201612106日销量（杯）y4045605960利用最小二乘法估计出该组数据满足的回归直线方程为：=1.5x+a（ar）（）试预测当气温为4时，该品牌热饮的日销量？（）在已有的五组数据中任取两组，求至少有一组数据其日销量y的预测值和实际值之差的绝对值不超过2的概率18（13分）公差不为0的等差数列an满足：a1=6，a2，a6，a14分别为等比数列bn的第三、四、五项（）求数列an、bn的通项公式；（）记数列an的前n项和为sn，bn的前n项和为tn，求使得tk的最小k值19（12分）已知=（sin（x），cosx），=（cos（x+），cosx），函数f（x）=（）若a（，）且f（a）=，求cos2a的值；（）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在x0，上的值域20（12分）如图，在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，abad，accd，abc=60，pa=ab=bc=4，e、f分别是pc、pd的中点（）证明：pd平面abe；（）求三棱锥paef的体积21（12分）已知a、b分别为曲线c：+y2=1（a0）与x轴的左、右两个交点，直线l过点b且与x轴垂直，p为l上异于点b的点，连结ap与曲线c交于点m（1）若曲线c为圆，且|bp|=，求弦am的长；（2）设n是以bp为直径的圆与线段bm的交点，若o、n、p三点共线，求曲线c的方程重庆市南开中学2015届高三上学期一诊模拟数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共10分.在四个选项中只有一项是符合题目要求的1（5分）集合a=1，0，1，则满足ba的集合b的个数为（）a4b6c7d8考点：集合的包含关系判断及应用 专题：集合分析：根据ba，所以找出集合a的所有子集即可解答：解：根据题意，即找a的所有子集为：，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，1故选d点评：考查子集的概念，不要漏了空集2（5分）复数z=（其中i为虚数单位），则z的共轭复数的虚部为（）a1b1cidi考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的代数形式的乘除运算可求得=1i，从而可得答案解答：解：z=1+i，=1i，其虚部为1，故选：a点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，求得=1i是关键，属于基础题3（5分）设abc的内角a、b、c的对边分别为a、b、c，且a=75，b=45，b=，则边c=（）a2b3cd+考点：正弦定理的应用 专题：解三角形分析：根据三角形的内角和定理算出c=60，由正弦定理，可得c解答：解：在abc中，a=75，b=45，b=，c=60，根据正弦定理，得c=3故选：b点评：本题给出abc的两角与其中一角的对边，求另外一条边长着重考查了三角形内角和定理、用正弦定理解三角形等知识，属于基中档题4（5分）如图所示程序框图，若输入n=3，则输出的s=（）abcd考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，k的值，当，k=3时，不满足条件kn，退出循环，输出s的值为解答：解：模拟执行程序框图，可得n=3，k=1，s=0s=，满足条件kn，k=2，s=+满足条件kn，k=3，s=+=不满足条件kn，退出循环，输出s的值为故选：c点评：本题主要考查了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的s，k的值是解题的关键，属于基础题5（5分）下列说法正确的是（）a命题“若xy，则x2y2的否命题为“若xy，则x2y2”b命题p：“x0，sinxx”则p：“x0，sinxx”c“x0”是“ln（x+1）0”的必要不充分条件d命题p：f（x）=xsinx为奇函数，命题q：f（x）=cosx+1为偶函数，则“pq”为假命题考点：命题的真假判断与应用 专题：简易逻辑分析：根据否命题的定义，结合已知中的原命题，可得判断a的正误；利用命题的否定判断b的正误；利用充要条件判断c的正误；复合命题的真假判断d的正误；解答：解：对于a，命题“若xy，则x2y2的否命题为“若xy，则x2y2”，所以a不正确；对于b，命题p：“x0，sinxx”则p：“x0，sinxx”，所以b不正确；对于c，“x0”是“ln（x+1）0”的必要不充分条件，x0，x+11，当x+10时，ln（x+1）0；ln（x+1）0，0x+11，1x0，x0，“x0”是ln（x+1）0的必要不充分条件所以c正确对于d，命题p：f（x）=xsinx为奇函数，正确；命题q：f（x）=cosx+1为偶函数，正确，则“pq”为假命题，所以d不正确故选：c点评：本题考查充要条件，命题的真假的判断，命题的否定以及四种命题的关系，基本知识的考查6（5分）已知双曲线=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）abc3d5考点：双曲线的简单性质；抛物线的简单性质 专题：计算题分析：确定抛物线y2=12x的焦点坐标，从而可得双曲线的一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，即可求双曲线的焦点到其渐近线的距离解答：解：抛物线y2=12x的焦点坐标为（3，0）双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合4+b2=9b2=5双曲线的一条渐近线方程为，即双曲线的焦点到其渐近线的距离等于故选a点评：本题考查抛物线的性质，考查时却显得性质，确定双曲线的渐近线方程是关键7（5分）如题图所示为某空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）ab+6c+3d+3考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：由题意，几何体为半个圆台，上底半径为1，下底半径为2，高为，母线长为2，即可求出该几何体的表面积解答：解：由题意，几何体为半个圆台，上底半径为1，下底半径为2，高为，母线长为2半个圆台的侧面积为=3，上底面积为，下底面积为=2，轴截面的面积为=3，所以几何体的表面积为，故选：d点评：本题考查求几何体的表面积，考查学生的计算能力，确定几何体的形状是关键8（5分）若实数x，y满足约束条件，则z=|x+2|+|y2|的取值范围为（）a2，4b4，6c2，6d0，6考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：则2x2，2y2，则z=|x+2|+|y2|=x+2（y2）=xy+4，由z=xy+4得y=xz+4，平移直线y=xz+4，由平移可知当直线y=xz+4经过点a（0，2）时，直线y=xz+4的截距最大，此时z取得最小值，为z=02+4=2，当直线y=xz+4经过点b（2，0）时，直线y=xz+4的截距最小，此时z取得最大值，为z=20+4=6则2z6，故选：c点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义，将目标函数进行化简是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法9（5分）已知圆c：x2+y22x+4y11=0，在区间4，6上任取实数m，则直线l：x+y+m=0与圆c相交所得abc为钝角三角形（其中a、b为交点，c为圆心）的概率为（）abcd考点：几何概型 专题：计算题；概率与统计分析：求出圆心到直线l：x+y+m=0的距离为d=，利用直线l：x+y+m=0与圆c相交所得abc为钝角三角形，可得4，求出m的范围，以长度为测度，即可求出概率解答：解：圆c：x2+y22x+4y11=0的圆心为（1，2），半径为4，圆心到直线l：x+y+m=0的距离为d=直线l：x+y+m=0与圆c相交所得abc为钝角三角形，4，3m5，长度为8，区间4，6的长度为10，所求的概率为=，故选：b点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查几何概型，属于中档题10（5分）设实数a，b，c，d满足ab=c2+d2=1，则（ac）2+（bd）2的最小值为（）a+1b3+2c1d32考点：基本不等式 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：如图所示，分别画出函数y=x，y=，圆x2+y2=1的图象由于对称性，只考虑第一象限内的最小距离即可联立方程解出点a，b的坐标，再利用两点间的距离公式即可得出解答：解：如图所示，画出函数y=x，y=，圆x2+y2=1的图象由于对称性，只考虑第一象限内的最小距离即可联立解得x=y=1；联立，解得（ac）2+（bd）2的最小值=3故选：d点评：本题考查了圆锥曲线的图象、方程组的解法、两点间的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了数形结合的思想方法，属于难题二填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填写在答题卡相应位置上11（5分）不等式2的解集为（3，1）考点：其他不等式的解法 专题：不等式的解法及应用分析：将分式不等式转化为不等式组进行求解即可解答：解：不等式等价为或，解得或，即3x1，故不等式的解集为（3，1），故答案为：（3，1）点评：本题主要考查分式不等式的解法，利用不等式的性质转化为不等式组是解决本题的关键，是中档题12（5分）已知幂函数f（x）=（m2+m5）xm为定义域是r的偶函数，则实数m=2考点：幂函数的性质 专题：函数的性质及应用分析：根据幂函数的定义和性质建立方程关系即可求解解答：解：幂函数f（x）=（m2+m5）xm为定义域是r的偶函数，m2+m5=1，即m2+m6=0，解得m=3或m=2当m=3时，幂函数为f（x）=x3为奇函数，不满足条件当m=2时，幂函数为f（x）=x2为偶函数，满足条件故答案为：2点评：本题主要考查幂函数的定义和性质，根据幂函数的定义确定m的值是解决本题的关键13（5分）已知=（1，），|=3，|2|=，则向量与的夹角为120考点：数量积表示两个向量的夹角 专题：平面向量及应用分析：利用向量的模，通过向量的数量积求出结果即可解答：解：设向量与的夹角为=（1，），可得|=2，|=3，|2|=，（2）2=37，424+2=16423cos+9=37，cos=120故答案为：120点评：本题考查向量的数量积是运算，向量的模的求法，考查计算能力14（5分）已知正项等比数列an满足：a2015a2014=2a2013，若存在两项am，an使得=4a1，则+的最小值为考点：等比数列的性质；基本不等式 专题：计算题；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用分析：根据题意和等比数列的通项公式求出q，代入=4a1，利用指数的运算化简得m+n=6，利用1的代换化简要求的式子，由基本不等式可求出最小值解答：解：设正项等比数列an的公比为q，则q0，由于a2015a2014=2a2013，q2q=2，解得q=2或q=1（舍去），存在两项am、an使得=4a1，=4a1，化简得qm+n2=16，即2m+n2=16=24，m+n=6，则+=（m+n）（+）=（5+）（5+2）=，当且仅当=时取等号，最小值是，故答案为：点评：本题考查等比数列的通项公式，涉及基本不等式求最小值以及1的代换，属中档题15（5分）若函数f（x）=|x2+2x2|a|x1|恰有四个不同的零点，则实数a的取值范围为（0，2）考点：根的存在性及根的个数判断 专题：计算题；作图题；函数的性质及应用分析：函数f（x）=|x2+2x2|a|x1|恰有四个不同的零点可化为函数y=|x2+2x2|与函数y=a|x1|的图象恰有四个不同的交点；作函数y=|x2+2x2|与函数y=a|x1|的图象，由数形结合求解解答：解：函数f（x）=|x2+2x2|a|x1|恰有四个不同的零点，函数y=|x2+2x2|与函数y=a|x1|的图象恰有四个不同的交点；作函数y=|x2+2x2|与函数y=a|x1|的图象如下，当a=2时，函数y=|x2+2x2|与函数y=a|x1|的图象如下，故不成立；结合两个图象可得，实数a的取值范围为（0，2）；故答案为：（0，2）点评：本题考查了数形结合的思想应用及学生作图能力的培养，同时考查了函数的零点与函数图象的交点的关系应用，属于中档题三解答题：本大题6个小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（13分）设f（x）=x2+alnx，其中ar曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线l垂直于y轴（）确定a的值并求切线l的方程；（）求函数的单调区间与极值考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的综合应用分析：（）求导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线垂直于y轴，可得f（1）=0，从而可求a的值；然后求解切线方程（）求出函数的定义域，令f（x）大于0求出x的范围即为函数的增区间；令f（x）小于0求出x的范围即为函数的减区间，然后求解函数的极值解答：解：（）f（x）=x2+alnx，其中ar函数的定义域为x0，函数的导数为：f（x）=2x+，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线l垂直于y轴可得：f（x）|x=1=2+a=0，解得a=2（）函数f（x）=x22lnx的定义域为（0，+），当f（x）=0，可得x1时，函数递增；当f（x）=0，可得0x1时，函数递减，则f（x）的单调递增区间为（1，+），单调递减区间（0，1）x=1时函数取得极小值：f（1）=122ln1=1点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，函数的单调性与极值的求法，考查分析问题解决问题的能力17（13分）进入秋冬季节以来，热饮受到大众喜爱某中学校门口一奶茶店为了了解某品牌热饮的日销售量y（杯）与当日气温x（）之间的关系，随机统计了某5天该品牌热饮的日销量和当日气温的数据如下表：当日气温（）x201612106日销量（杯）y4045605960利用最小二乘法估计出该组数据满足的回归直线方程为：=1.5x+a（ar）（）试预测当气温为4时，该品牌热饮的日销量？（）在已有的五组数据中任取两组，求至少有一组数据其日销量y的预测值和实际值之差的绝对值不超过2的概率考点：线性回归方程 专题：应用题；概率与统计分析：（i）首先求出x，y的平均数，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，根据样本中心点满足线性回归方程，代入已知数据求出a的值，写出线性回归方程（ii）求出基本事件的个数，即可求至少有一组数据其日销量y的预测值和实际值之差的绝对值不超过2的概率解答：解：（）由题意，=12.8，=52.8，=1.5x+a，52.8=1.512.8+a，a=72，=1.5x+72，x=4时，=66；（）基本事件：（40，45），（40，60），（40，59），（40，60），（45，60），（45，59），（45，60），（60，59），（60，60），（59，60）共10个两组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过2：（60，59），（60，60），（59，60）所以至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过2的概率为点评：本题考查回归分析的初步应用，考查求线性回归方程，考查预报y的值，是一个综合题目，解此类题，关键是理解线性回归分析意义18（13分）公差不为0的等差数列an满足：a1=6，a2，a6，a14分别为等比数列bn的第三、四、五项（）求数列an、bn的通项公式；（）记数列an的前n项和为sn，bn的前n项和为tn，求使得tk的最小k值考点：数列的求和；等差数列的通项公式；数列与不等式的综合 专题：等差数列与等比数列分析：（）由已知得（6+5d）2=（6+d）（6+13d），由此求出公差d=2，从而能求出an=2n+4进而利用等比数列的通项公式列出方程组求出首项和公差，由此能求出bn=2n（）由sn=n2+5n，tn=2n+12，利用tk，得，由此能求出使得tk的最小k值解答：解：（）由已知得（6+5d）2=（6+d）（6+13d），由d0，解得d=2，an=6+（n1）2=2n+4a1=6，a2，a6，a14分别为等比数列bn的第三、四、五项，b3=a2=8，b4=a6=16，b5=a14=32，解得b1=2，q=2，bn=2n（）sn=6n+2=n2+5n，tn=2n+12，tk，整理，得2k+2k2+5k+4，解得k2，kn*，使得tk的最小k值为3点评：本题主要考查数列的通项公式的求法、前n项和公式的求法，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，解题时要注意等价转化思想的合理运用19（12分）已知=（sin（x），cosx），=（cos（x+），cosx），函数f（x）=（）若a（，）且f（a）=，求cos2a的值；（）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在x0，上的值域考点：函数y=asin（x+）的图象变换；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用 专题：三角函数的图像与性质；平面向量及应用分析：（）由题意先求解析式f（x）=sin（2x+），可得sin2a=cos2a，两边平方整理可得：50cos22a30cos2a7=0，从而可解得cos2a的值（）由函数y=asin（x+）的图象变换得到函数解析式，根据余弦函数的图象和性质即可求值域解答：解：（）f（x）=sin（x）cos（x+）+cos2x=（sinxcosx）2+cos2x=（sin2x+cos2x）=sin（2x+），f（a）=sin（2a+）=，整理可得：sin2a=cos2a，两边平方整理可得：50cos22a30cos2a7=0，a（，）2a（，）可解得：cos2a=（）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，得到的函数解析式为：y=sin2（x+）+=cos（2x+），再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），得到函数解析式为：y=g（x）=cos（4x+），x0，4x+，cos（4x+）1，sin（2x+），点评：本题主要考查了函数y=asin（x+）的图象变换，平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用，综合性强，属于中档题20（12分）如图，在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，abad，accd，abc=60，pa=ab=bc=4，e、f分别是pc、pd的中点（）证明：pd平面abe；（）求三棱锥paef的体积考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离分析：（1）利用线面垂直的判定与性质定理可得：ae平面pcd，得到aepd；同理可证ab平面pad，得到abpd，即可证明pd平面abe；（2）由e、f分