（人教A版）必修第二册高一数学下学期同步精讲精练10.1.1 -2 事件的关系和运算 精讲（解析版）

10.1.1有限样本空间与随机事件+10.1.2事件的关系和运算(精讲）目录一、必备知识分层透析二、重点题型分类研究题型1:事件类型的判断题型2:样本点与样本空间题型3:事件的关系题型4:事件的运算题型5:互斥事件与对立事件的判定一、必备知识分层透析知识点1：有限样本空间1.1．随机试验(1)定义：把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验．(2)特点：①试验可以在相同条件下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．1.2．样本点和样本空间(1)定义：我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间．(2)表示：一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点．如果一个随机试验有个可能结果，，…，，则称样本空间为有限样本空间．知识点2：事件的分类(1)随机事件：①我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．②随机事件一般用大写字母，，，…表示．③在每次试验中，当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生．(2)必然事件：作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件．(3)不可能事件：空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为不可能事件．知识点3：事件的关系3.1包含关系一般地，若事件发生，则事件一定发生，称事件包含事件(或事件包含于事件)，记作：(或)图示3.2相等关系如果事件包含事件，事件也包含事件，即且，则称事件与事件相等，记作：；图示知识点4：事件的运算4.1并事件(或和事件)一般地，事件与事件至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件中，或者在事件中，我们称这个事件为事件与事件的并事件(或和事件)，记作：(或).图示：4.2交事件(或积事件)一般地，事件与事件同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件中，也在事件中，我们称这样的一个事件为事件与事件的交事件(或积事件)，记作：(或).图示：知识点5：互斥事件与对立事件5.1互斥事件一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是说是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥(或互不相容)，符号表示：.图示：5.2对立事件一般地，如果事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，且，那么称事件与事件互为对立，事件的对立事件记为，符号表示：，且.图示：知识点6：事件的关系或运算的含义及符号表示事件的关系或运算含义符号表示包含发生导致发生并事件(和事件)与至少一个发生或交事件(积事件)与同时发生或互斥(互不相容)与不能同时发生互为对立与有且仅有一个发生，二、重点题型分类研究题型1:事件类型的判断典型例题例题1．下列事件：①空间任意三点可以确定一个平面；②367个人中至少有两个人的生日在同一天；③6个人的生日在不同月份；④掷两次骰子，点数和不小于2；⑤两条异面直线所成角为钝角.其中，______是不确定事件，______是必然事件，______是不可能事件（填写序号）.【答案】

①③

②④

⑤【详解】因为空间中不共线的三点可以确定一个平面，所以事件①可能发生也可能不发生，故①是不确定事件；因为每年有365天或366天，所以事件②一定发生，故②是必然事件；事件③可能发生也可能不发生，故③是不确定事件；因为掷两次骰子，点数和的可能结果是：2，3，…，12，所以事件④一定发生，故④是必然事件；因为两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，所以事件⑤不可能发生，故⑤是不可能事件．故答案为：①③，②④，⑤．例题2．下列四个事件：①明天上海的天气有时有雨；②东边日出西边日落；③鸡蛋里挑骨头；④守株待兔．其中必然事件有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【详解】由题意可知，①明天上海的天气有时有雨为随机事件；②东边日出西边日落为必然事件；③鸡蛋里挑骨头为不可能事件；④守株待兔为随机事件，故必然事件有1个，故选：B同类题型演练1．下面四个选项中，是随机现象的是（

）A．刻舟求剑 B．水中捞月 C．流水不腐 D．守株待兔【答案】D【详解】A，B为不可能现象，C为必然现象，D为随机现象，故选：D2．下列说法正确的是（

）A．随机现象至少有两种可能结果 B．随机现象必然会发生C．样本空间所包含的样本点是有限的 D．射击一个目标除了命中和末命中外还有其他结果【答案】A【详解】解：对于A，随机现象有两种或两种以上可能的结果，故A正确；对于B，随机现象是指可能产生的结果，不是必然发生，故B错误；对于C，样本空间所包含的样本点可能是无限的，比如在某一区间内取一个实数，则有无数种可能，故C错误；对于D，射击一个目标只有命中和末命中两种情况，故D错误.故选：A.3．连续掷一颗筛子两次，以下是必然事件的是（

）A．点数和为偶数 B．至少出现一次点数为偶数C．点数和不小于2 D．点数和为奇数【答案】C【详解】连续掷一颗筛子两次，两次事件相互独立，各自的可能都为1,2,3,4,5,6，对于A：若两次点数分别为1，2，则和为奇数，故A错误；对于B：若两次点数分别为1，3，则都为奇数，故B错误；对于C：两次点数最小都为1，则和不小于2，故C正确；对于D：若两次点数分别为1，3，则和为偶数，故D错误；故选：C.4．下列事件中，属于随机现象的序号是______.①明天是阴天；

②方程有两个不相等的实数根；③明天吴淞口的最高水位是4.5米；

④三角形中，大角对大边．【答案】①③【详解】对于①③，明天的事是未来才发生的事，具有不确定性，故①③属于随机现象；对于②，由得，显然在实数域方程无解，故②属于不可能事件；对于④，由正弦定理易知在三角形中，大角对大边．故④属于确定事件；综上：属于随机现象的序号是①③.故答案为：①③.题型2:样本点与样本空间典型例题例题1．袋中装有形状与质地相同的个球，其中黑色球个，记为，白色球个，记为，从袋中任意取个球，请写出该随机试验一个不等可能的样本空间：_____.【答案】（答案不唯一）【详解】从袋中任取个球，共有如下情况.其中一个不等可能的样本空间为，此样本空间中两个黑球的情况有1个，一黑一白的情况有2个，是不等可能的样本空间.故答案为：.(答案不唯一)例题2．有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3，现任取3面，事件“三面旗帜的颜色与号码均不相同”所包含的样本点的个数是________.【答案】6【详解】把基本事件列举出来有：（红1，黄2，蓝3），（红1，黄3，蓝2），（红2，有1，蓝3），（红2，黄3，蓝1），（红3，黄1，蓝2），（红3，黄2，蓝1）.一共有6种情况.故答案为：6例题3．（2023·上海·高三专题练习）将2个1和1个0随机排成一排，则这个试验的样本空间__________.【答案】【详解】将2个1和1个0随机排成一排，这个试验的样本空间，故答案为：同类题型演练1．袋中放有4个白球、2个黑球，写出“从中取出2个球”的等可能的样本空间．【答案】【详解】用表示4个白球，用表示2个黑球，故“从中取出2个球”的等可能的样本空间为：．2．从男生A、B、C和女生D、E五人中选出两人参加数学竞赛，写出事件“至少有一个女生”对应的样本空间．【答案】【详解】解：至少有一个女生包含的基本事件有，所以事件“至少有一个女生”对应的样本空间为.3．写出从集合任取两个元素构成子集的样本空间．【答案】【详解】从集合任取两个元素，则构成子集的样本空间为.题型3:事件的关系典型例题例题1．抛掷两枚硬币，事件：至少有一个正面朝上，事件：两个正面朝上，则事件、的关系是______.【答案】【详解】事件A：至少有一个正面朝上，事件A发生的不同结果是：（正，反），（反，正），（正，正）；事件B：：两个正面朝上，事件发生的不同结果是：（正，正）；所以，事件A、B的关系是.故答案为：.例题2．用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色．设事件：三个圆的颜色全不相同，事件：三个圆的颜色不全相同，事件：其中两个圆的颜色相同，事件：三个圆的颜色全相同．(1)写出试验的样本空间；(2)用集合的形式表示事件，，，；(3)事件与事件有什么关系？【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析(3)事件B包含事件C．（1）解：（1）由题意可知3个圆可能颜色一样，可能有2个一样，另1个异色，或者三个球都异色．则试验的样本空间（红，红，红）、（红，红，黄）、（红，红，蓝）、（红，黄，红）、（红，黄，黄）、（红，黄，蓝）、（红，蓝，红）、（红，蓝，黄）、（红，蓝，蓝）、（黄，红，红）、（黄，红，黄）、（黄，红，蓝）、（黄，黄，红）、（黄，黄，黄）、（黄，黄，蓝）、（黄，蓝，红）、（黄，蓝，黄）、（黄，蓝，蓝）；（蓝，红，红）、（蓝，红，黄）、（蓝，红，蓝）、（蓝，黄，红）、（蓝，黄，黄）、（蓝，黄，蓝）、（蓝，蓝，红）、（蓝，蓝，黄）、（蓝，蓝，蓝）；（2）解：（红，黄，蓝）、（红，蓝，黄）、（黄，红，蓝）、（黄，蓝，红）、（蓝，红，黄）、（蓝，黄，红）；（红，红，黄）、（红，红，蓝）、（红，黄，红）、（红，黄，黄）、（红，黄，蓝）、（红，蓝，红）、（红，蓝，黄）、（红，蓝，蓝）、（黄，红，红）、（黄，红，黄）、（黄，红，蓝）、（黄，黄，红）、（黄，黄，蓝）、（黄，蓝，红）、（黄，蓝，黄）、（黄，蓝，蓝）、（蓝，红，红）、（蓝，红，黄）、（蓝，红，蓝）、（蓝，黄，红）、（蓝，黄，黄）、（蓝，黄，蓝）、（蓝，蓝，红）、（蓝，蓝，黄）；（红，红，黄）、（红，红，蓝）、（红，黄，红）、（红，黄，黄）、（红，蓝，红）、（红，蓝，蓝）、（黄，红，红）、（黄，红，黄）、（黄，黄，红）、（黄，黄，蓝）、（黄，蓝，黄）、（黄，蓝，蓝）、（蓝，红，红）、（蓝，红，蓝）、（蓝，黄，黄）、（蓝，黄，蓝）、（蓝，蓝，红）、（蓝，蓝，黄）；（红，红，红）、（蓝，蓝，蓝）、（黄，黄，黄）；（3）解：由（2）可知，所以事件包含事件．同类题型演练1．事件的关系：设事件A对应于子集A，事件B对应于子集B．如果A的基本事件都在B中，那么A发生必然B发生，此时，称_____________________，即____________．【答案】

B包含A或者A包含于B

2．抛掷相同硬币3次，记“至少有一次正面向上”为事件A，“一次正面向上，两次反面向上”为事件B，“两次正面向上，一次反面向上”为事件C，“至少一次反面向上”为事件D，“3次都正面向上”为事件E.(1)试判断事件A与事件B，C，E的关系；【答案】(1)B⊆A，C⊆A，E⊆A，A=B+C+E（1）事件A为“至少有一次正面向上”，包含“一次正面向上，两次反面向上”，“两次正面向上，一次反面向上”和“3次都正面向上”三个基本事件，所以B⊆A，C⊆A，E⊆A，A=B+C+E3．在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件={出现1点}，事件={出现2点}，事件={出现3点}，事件={出现4点}，事件={出现5点}，事件={出现6点}，事件={出现的点数不大于1}，事件={出现的点数大于3}，事件={出现的点数小于5}，事件E={出现的点数小于7}，事件F={出现的点数为偶数}，事件G={出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题．(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；（1）因为事件，，，发生，则事件必发生，所以，，，．同理可得，事件E包含事件，，，，，；事件包含事件，，；事件F包含事件，，；事件G包含事件，，．因为在掷骰子的试验中，出现的点数不大于1即为出现1点，所以事件与事件相等，即．题型4:事件的运算典型例题例题1．一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，给出以下四个事件：事件：恰有一件次品；事件：至少有两件次品；事件：至少有一件次品；事件：至多有一件次品．下列选项正确的是（

）A． B．是必然事件C． D．【答案】AB【详解】对于A选项，事件指至少有一件次品，即事件C，故A正确；对于B选项，事件指至少有两件次品或至多有一件次品，次品件数包含0到5，即代表了所有情况，故B正确；对于C选项，事件A和B不可能同时发生，即事件，故C错误；对于D选项，事件指恰有一件次品，即事件A，而事件A和C不同，故D错误．故选：AB．例题2．掷一个骰子，下列事件：，，，，．求：(1)，；(2)，；(3)记是事件的对立事件，求，，，．【答案】(1)，.(2)，．(3)，，，．【详解】（1），，，，.（2），，，，．（3），，，，.，，，，，．同类题型演练1．利用如图所示的两个转盘玩配色游戏两个转盘各转一次，观察指针所指区域的颜色（不考虑指针落在分界线上的情况）．事件A表示“转盘①指针所指区域是黄色”，事件B表示“转盘②指针所指区域是绿色”，用样本点表示，．【答案】{(黄,绿)}，{(黄,蓝),(黄,黄),(黄,红),(黄,绿),(黄,紫),(红,绿),(蓝,绿)}．【详解】由题可得：转盘①转出的颜色红黄蓝转盘②转出的颜色蓝（红，蓝）（黄，蓝）（蓝，蓝）黄（红，黄）（黄，黄）（蓝，黄）红（红，红）（黄，红）（蓝，红）绿（红，绿）（黄，绿）（蓝，绿）紫（红，紫）（黄，紫）（蓝，紫）由表可知，共有15种等可能的结果，其中{(黄,蓝),(黄,黄),(黄,红),(黄,绿),(黄,紫)}，{(红,绿),(黄,绿),(蓝,绿)}，所以{(黄,绿)}，{(黄,蓝),(黄,黄),(黄,红),(黄,绿),(黄,紫),(红,绿),(蓝,绿)}．2．掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件：至少一个是奇数，事件：点数之和是偶数，求事件对应的集合．【答案】【详解】掷两颗骰子，则样本空间，因为事件：至少一个是奇数，则事件：点数之和是偶数，则，所以.3．从一箱产品中随机地抽取出一件产品，设事件A：抽到的是一等品，事件B：抽到的是二等品，事件C：抽到的是三等品，试用A，B，C表示下列事件：(1)事件D：抽到的是一等品或二等品；(2)事件E：抽到的是二等品或三等品．【答案】(1)(2)（1）∵事件A：抽到的是一等品，事件B：抽到的是二等品，又∵事件D：抽到的是一等品或二等品，∴；（2）∵事件B：抽到的是二等品，事件C：抽到的是三等品，又∵事件E：抽到的是二等品或三等品，∴．题型5:互斥事件与对立事件的判定典型例题例题1．从装有4个红球和3个白球的口袋中任取4个球，那么互斥而不对立的事件是（

）A．至多有2个白球与恰有3个白球 B．至少有1个白球与都是红球C．恰有1个红球与恰有3个白球 D．至多有1个红球与至多有1个白球【答案】D【详解】从装有4个红球和3个白球的口袋中任取4个球的基本事件有：4个红球，1个白球3个红球，2个白球2个红球，3个白球1个红球，对于A，至多有2个白球的事件有：2个白球2个红球，1个白球3个红球，4个红球，恰有3个白球的事件是3个白球1红球的事件，显然两个事件互斥且对立，A不是；对于B，至少有1个白球的事件有：1个白球3个红球，2个白球2个红球，3个白球1红球，都是红球的事件是4个红球，显然两个事件互斥且对立，B不是；对于C，恰有1个红球的事件是3个白球1红球的事件，因此恰有1个红球与恰有3个白球为同一事件，C不是；对于D，至多有1个红球的事件是1个红球3个白球的事件，至多有1个白球的事件有：1个白球3个红球，4个红球，显然这两个事件不能同时发生，可以同时不发生，即至多有1个红球与至多有1个白球是互斥而不对立的事件，D是.故选：D例题2．已知件产品中有件正品，其余为次品.现从件产品中任取件，观察正品件数与次品件数，下列选项中的两个事件互为对立事件的是（

）A．恰好有件次品和恰好有件次品 B．至少有件次品和全是次品C．至少有件正品和至少有件次品 D．至少有件次品和全是正品【答案】D【详解】对于A项，恰好有1件次品和恰好有两件次品互为互斥事件，但不是对立事件；对于B项，至少有1件次品和全是次品可以同时发生，不是对立事件；对于C项，至少有1件正品和至少有1件次品可以同时发生，不是对立事件；对于D项，至少有1件次品即存在次品，与全是正品互为对立事件.故选：D.例题3．（多选）从一批产品（既有正品也有次品）中取出三件产品，设三件产品全不是次品，三件产品全是次品三件产品有次品，但不全是次品，则下列结论中正确的是（

）A．与互斥 B．与互斥C．任何两个都互斥 D．与对立【答案】ABC【详解】解：由题意可知，三件产品有次品，但不全是次品，包括1件次品、2件次正品，2件次品、1件次正品两个事件，三件产品全不是次品，即3件产品全是正品，三件产品全是次品，由此知，与互斥，与互斥，故A，B正确，与互斥，由于总事件中还包含“1件次品，2件次正品”，“2件次品，1件次正品”两个事件，故与不对立，故C正确，D错误，故选：ABC．例题4．以下每对事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？①将一枚均匀的硬币抛2次，记事件：两次出现正面；事件：只有一次出现正面．②某人射击一次，记事件：中靶；事件：射中5环．③某人射击一次，记事件：射中环数不小于5；事件：射中环数不超过4．（环数为整数）【答案】①是互斥事件不是对立事件，②不是互斥事件，③是对立事件【详解】①事件不能同时发生，故为互斥事件，但是不发生，不一定发生，故不是对立事件；②事件A：中靶；事件B：射中5环，两事件可以同时发生，故不是互斥事件；③一次射击中，A：射中环数不小于5；事件B：射中环数不超过4，不能同时发生，且不发生就发生，不发生就发生，故为对立事件.例题5．产品中有正品4件，次品3件，从中任取2件，其中事件：①恰有1件次品和恰有2件次品；②至少有1件次品和全都是次品；③至少有1件正品和至少有1件次品；④至少有1件次品和全是正品．4组中互斥事件的序号是_____，对立事件的序号是_____.【答案】

①④

④【详解】解：产品中有正品4件，次品3件，从中任取2件，则可能出现件正品、件次品、件正品和件正品，故①恰有1件次品和恰有2件次品为互斥事件；至少有1件次品包含件次品、件正品和件正品，故②至少有1件次品和全都是次品不是互斥事件；至少有1件正品包含件正品、件正品和件正品，至少有1件次品包含件次品、件正品和件正品，故③至少有1件正品和至少有1件次品不是互斥事件；至少有1件次品包含件次品、件正品和件正品，故④至少有1件次品和全是正品是互斥事件且是对立事件．故答案为：①④；④同类题型演练1．“韦神”数学兴趣小组有4名男生和2名女生，从中任选2名同学参加数学公式推导比赛，下列各对事件中互斥而不对立的是（

）A．至少有1名男生与全是男生；B．至少有1名男生与全是女生；C．恰有1名男生与恰有2名男生；D．至少有1名男生与至少有1名女生．【答案】C【详解】对于A项，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，故A项错误；对于B项，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，与事件全是女生是互斥对立事件，故B项错误；对于C项，事件恰有1名男生指恰有1名男生和1名女生，与事件恰有2名男生是互斥事件，但不是对立事件，故C项正确；对于D项，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，事件至少有1名女生包括恰有1名女生和全是女生两种情况，两个事件有交事件恰有1名男生和1名女生，故D项错误.故选：C.2．从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（

）A．“至少有1个红球”与“都是黑球”B．“恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球”C．“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”D．“都是红球”与“都是黑球”【答案】D【详解】从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，可能的结果为：1红1黑､2红､2黑，对于A：“至少有1个红球”包括1红1黑､2红，与“都是黑球”是对立事件，不符合；对于B：“恰好有1个红球”和恰好有1个黑球”是同一个事件，不符合题意；对于C：“至少有1个黑球”包括1红1黑､2黑，“至少有1个红球”包括1红