新（浙江专用）高考数学二轮专题突破 专题四 立体几何与空间向量 第3讲 立体几何中的向量方法 理.doc

第3讲立体几何中的向量方法1(2014课标全国)直三棱柱abca1b1c1中，bca90，m，n分别是a1b1，a1c1的中点，bccacc1，则bm与an所成角的余弦值为()a. b. c. d.2(2015浙江)如图，在三棱柱abca1b1c1中，bac90，abac2，a1a4，a1在底面abc的射影为bc的中点，d是b1c1的中点(1)证明：a1d平面a1bc；(2)求二面角a1bdb1的平面角的余弦值以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，与空间线面关系的证明相结合，热点为二面角的求解，均以解答的形式进行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上.热点一利用向量证明平行与垂直设直线l的方向向量为a(a1，b1，c1)，平面、的法向量分别为(a2，b2，c2)，v(a3，b3，c3)则有：(1)线面平行laa0a1a2b1b2c1c20.(2)线面垂直laaka1ka2，b1kb2，c1kc2.(3)面面平行vva2a3，b2b3，c2c3.(4)面面垂直vv0a2a3b2b3c2c30.例1如图，在直三棱柱adebcf中，面abfe和面abcd都是正方形且互相垂直，m为ab的中点，o为df的中点运用向量方法证明：(1)om平面bcf；(2)平面mdf平面efcd.思维升华用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线ab，只需证明向量ab(r)即可若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外跟踪演练1如图所示，已知直三棱柱abca1b1c1中，abc为等腰直角三角形，bac90，且abaa1，d、e、f分别为b1a、c1c、bc的中点求证：(1)de平面abc；(2)b1f平面aef.热点二利用空间向量求空间角设直线l，m的方向向量分别为a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)平面，的法向量分别为(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)(以下相同)(1)线线夹角设l，m的夹角为(0)，则cos .(2)线面夹角设直线l与平面的夹角为(0)，则sin |cosa，|.(3)面面夹角设平面、的夹角为(00.同理0，0.故bcd为锐角三角形12.解析取线段ef的中点h，连接ah.aeaf，h是ef的中点，ahef.又平面aef平面bef，ah平面bef.如图，可建立空间直角坐标系axyz，则a(2,2,2)，c(10,8,0)，f(4,0,0)，d(10,0,0)，故(2,2,2)，(6,0,0)设n(x，y，z)为平面afd的一个法向量，取z，则n(0，2，)又平面bef的一个法向量m(0,0,1)，故cosn，m，二面角的余弦值为.13.解析以a为坐标原点，ab、ad、aa1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则a1(0,0,1)，e(1,0，)，f(，1,0)，d1(0,1,1)(1,0，)，(0,1,0)设平面a1d1e的一个法向量为n(x，y，z)，则即令z2，则x1.n(1,0,2)又(，1，1)，点f到平面a1d1e的距离为d.14(1)证明平面abcd平面abef，cbab，平面abcd平面abefab，cb平面abef.af平面abef，afcb.又ab为圆o的直径，afbf，又bfcbb，af平面cbf.af平面daf，平面daf平面cbf.(2)解由(1)知af平面cbf，fb为ab在平面cbf内的射影，因此，abf为直线ab与平面cbf所成的角abef，四边形abef为等腰梯形，过点f作fhab，交ab于h.已知ab2，ef1，则ah.在rtafb中，根据射影定理得af2ahab，af1，sinabf，abf30.直线ab与平面cbf所成角的大小为30.(3)解设ef中点为g，以o为坐标原点，、方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系(如图)设adt(t0)，则点d的坐标为(1,0，t)，c(1,0，t)又a(1,0,0)，b(1,0,0)，f(，0)，(2,0,0)，(，t)设平面dcf的法向量为n1(x，y，z)，则n10，n10.即令z，解得x0，y2t，n1(0,2t，)由(1)可知a