新课标全国统考区（吉林、河南、黑龙江、内蒙古、山西、云南）高三数学 名校最新试题精选分类汇编7 立体几何（1） 理.doc

新课标全国统考区（吉林、河南、黑龙江、内蒙古、山西、云南）2013届最新高三名校理科数学试题精选分类汇编7：立体几何（1）一、选择题 （河南省中原名校2013届高三下学期第二次联考数学（理）试题）平行四边形abcd中,=0,沿bd折成直二面角a一bd-c,且4ab2 +2bd2 =1,则三棱锥a-bcd的外接球的表面积为（）abcd【答案】a （2013年红河州高中毕业生复习统一检测理科数学）一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为 （）abcd【答案】c （河南省豫东、豫北十所名校2013届高三阶段性测试(四) 数学（理）试题（word版)）一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为（）abcd【答案】d （河南省中原名校2013届高三下学期第二次联考数学（理）试题）从一个正方体中截去部分几何体,得到的几何体三视图如下,则此几何体的体积是（）a64bcd 【答案】c （河南省三市（平顶山、许昌、新乡）2013届高三第三次调研（三模）考试数学（理）试题）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为（）abc d【答案】d （山西省太原市第五中学2013届高三4月月考数学（理）试题）某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积不可能是（）abcd【答案】d （河北省衡水中学2013届高三第八次模拟考试数学（理）试题 ）已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中圆的直径为4,该几何体的体积为,直径为4的球的体积为,则（）ab cd【答案】b （云南省2013年第二次高中毕业生复习统一检测数学理试题（word版） ）如图是一个空间几何体的三视图,其中正视图和侧视图都是半径为2的半径,俯视图是半径为2的圆,则该几何体的体积等于正视图侧视图俯视图（）abcd【答案】c （河南省开封市2013届高三第四次模拟数学（理）试题）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为,它的三视图中的俯视图如图所示.左视图是一个矩形.则这个矩形的面积是（）a4bc2d【答案】b （内蒙古包头市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的外接球的表面积为( )（）abcd【答案】d （吉林省实验中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）a6b5.5c5d4.5正视图侧视图俯视图11123（第7题）【答案】c （吉林省实验中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知球的直径sc=4,（）ab是该球球面上的两点,ab=,asc=bsc=30,则棱锥sabc的体积为（）a3b2cd1【答案】c （山西省康杰中学2013届高三第二次模拟数学（理）试题）点在同一个球的球面,若四面体体积的最大值为,则这个球的表面积为（）abcd【答案】c,是直角三角形, 的外接圆的圆心是边ac的中点o1,如图所示,若使四面体abcd体积的最大值只需使点d到平面abc的距离最大,又平面abc,所以点d是直线与球的交点 设球的半径为r,则由体积公式有: 在中,解得: ,故选c （黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题 word版 ）已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于 （）ab160cd【答案】c （河南省郑州市2013届高三第三次测验预测数学（理）试题）已知直线l丄平面a,直线m平面给出下列命题:a/=l丄m;a丄=l/m l/m=a丄;l丄m=a/ 其中正确命题的序号是（）abcd【答案】c （黑龙江省大庆市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为22正视图侧视图俯视图2（）abcd【答案】b （河南省豫东、豫北十所名校2013届高三阶段性测试(四) 数学（理）试题（word版)）已知四面体abcd中,ab=ad=6,ac=4,cd=2,ab平面acd,则四面体abcd外接球的表面积为（）a36b88c92d128【答案】b 二、填空题（河北省石家庄市2013届高中毕业班第二次模拟考试数学理试题（word版） ）巳知一个空间几何体的三视图(如右图),则该几何体的表 面积为_【答案】 （河北省衡水中学2013届高三第八次模拟考试数学（理）试题 ）在四面体中,则四面体的外接球的表面积为_.【答案】解析:构造一个长方体,使得它的三条面对角线分别为4、5、6,设长方体的三条边分别为,则,而长方体的外接球就是四面体的外接球,所以 （云南省玉溪市2013年高中毕业班复习检测数学（理）试题）右图所示的是一个正方体的展开图,在原来的正方体中,有下列命题:ab与ef所在的直线平行; ab与cd所在的直线异面;mn与bf所在的直线成60o角; mn与cd所在的直线互相垂直其中正确命题的题号是_.【答案】 （黑龙江省大庆市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知正方体的各顶点都在同一球面上,若四面体的表面积为,则球的体积为_.【答案】;三、解答题（河南省开封市2013届高三第四次模拟数学（理）试题）如图,四棱锥pabcd的底面abcd是矩形,侧面pab是正三角形,ab=2,bc=,pc=.(i)求证:平面pab平面abcd;()已知棱pa上有一点e,若二面角ebda的大小为45.,求ae:ep的值.【答案】 （山西省山大附中2013届高三4月月考数学（理）试题）(本小题满分12分如图,已知矩形的边 ,点、分别是边、的中点,沿、分别把三角形和三角形折起,使得点和点重合,记重合后的位置为点.(1)求证:平面 平面; (2)求二面角的大小. ofcaep【答案】(1)证明: (2)如图,建立坐标系,则 , 易知是平面pae的法向量, 设mn与平面pae 所成的角为 (3) 易知是平面pae的法向量,设平面pec的法向量则所以 所以二面角a-pe-c的大小为 zxxk （2013年红河州高中毕业生复习统一检测理科数学）如图,三棱锥中, 平面.,为的中点.()求证:平面; ()求二面角的余弦值.【答案】 证明 (1): pbeacf pbeacxyz (2)方法一:过e作efbc,f为垂足.由已知得ef面abc,过f 作fmab,m为垂足,连接em,则emab(三垂线定理).所以emf为二面角e-ab-c的平面角 在rt中,ef=2,fm=,cosemf= 方法二:以b为原点建立空间直角坐标系b-xyz b(0,0,0),c(4,0,0),a(4,4,0),p(0,0,4),e(2,0,2),则, 平面abc法向量为;设平面abe法向量为. 则 .令z=1,得x=-1,y=1,.即 设二面角e-ab-c为,则= （河南省三市（平顶山、许昌、新乡）2013届高三第三次调研（三模）考试数学（理）试题）如图,在底面是菱形的四棱锥中,点在上,且()求二面角的大小()在棱上是否存在一点,使平面?证明你的结论.【答案】()解法一 以为坐标原点,直线、分别为轴、轴,过点垂直平面的直线为轴,建立空间直角坐标系如图.由题设条件,相关各点的坐标分别为 所以 设点是棱上的点, 则 令 得 解得 即 时, 即,是的中点时,、共面. 又 平面,所以当是棱的中点时,平面12分 （山西省太原市第五中学2013届高三4月月考数学（理）试题）如图:四棱锥中,.,.()证明: 平面;()在线段上是否存在一点,使直线与平面成角正弦值等于,若存在,指出点位置,若不存在,请说明理由.abcd【答案】因为点在线段上,所以假设,所以 即,所以 又因为平面的法向量. 所以,所以 所以 因为直线与平面成角正弦值等于,所以. 所以 即.所以点是线段的中点 （河南省豫东、豫北十所名校2013届高三阶段性测试(四) 数学（理）试题（word版)）(本小题满分12分)如图,在平面四边形abcd中,ab=bc=cd=da=bd=6.0为ac,bd的交点,将四边形abcd沿对角线ac折起,得到三棱锥bacd,且bd=.(1)若m点是bc的中点,求证:om/平面abd;(2)求二面角abdo的余弦值.【答案】 （山西省康杰中学2013届高三第二次模拟数学（理）试题）如图,三棱柱的侧棱底面,是棱上动点,是的中点,()当是中点时,求证:平面;()在棱上是否存在点,使得二面角的余弦值是,若存在,求的长,若不存在,请说明理由.【答案】解:(1)证明,取的中点g,连结eg,fg f、g分别是ab、ab1的中点, 又 四边形fgec是平行四边形,cfeg 平面aeb1,eg平面aeb1 平面aeb (2)以c点为坐标原点,射线ca,cb,cc1为轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则设,平面的法向量. 则 由得 平面 是平面ebb1的法向量,则平面的法向量 二面角a-eb1-b的平面角余弦值为, 则 解得 在棱上存在点e,符合题意,此时 （黑龙江省大庆市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知侧棱垂直于底面的三棱柱的所有棱长都相等,为中点,在棱上,且平面.(i)证明:平面平面;(ii)求二面角的余弦值.【答案】解法1: (i)证明:取中点为,连结. ,且确定平面. 平面,平面, 平面平面, , 四边形为平行四边形. ,为的中点 连结,可知.为中点,平面, ,平面 平面,平面, 平面平面 (ii)如图,以为坐标原点建立空间直角坐标系,设棱长为. ,. , 设平面的法向量为, 由即 取,得平面的一个法向量 同理设平面的法向量为, 由得平面的一个法向量为 , 设所求二面角为,则 解法2: (i)设线段的中点为,连接. 以所在的直线为轴,所在的直线为轴, 过点平行于的直线为轴建立空间直角坐标系 设棱柱的棱长为, 则由已知可得:, , , 设平面的法向量为,则有 即 取,则, 连接, 则由已知条件可知. 平面的法向量为. , , 平面平面 (ii) 设平面的法向量为. , 即 取,则, 设二面角的大小为,则由图形可知为锐角,且 . 二面角的余弦值为 （2013年长春市高中毕业班第四次调研测试理科数学）如图,平面四边形的4个顶点都在球的表面上,为球的直径,为球面上一点,且平面,点为的中点. (1) 证明:平面平面;(2) 求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】【命题意图】本小题通过立体几何的相关知识,具体涉及到直线与直线垂直的判断、线面的平行关系的判断以及二面角的求法等有关知识,考查考生的空间想象能力、推理论证能力,对学生的数形结合思想的考查也有涉及,本题是一道立体几何部分的综合题,属于中档难度试题. 【试题解析】(1) 证明:且, 则平行且等于,即四边形为平行四边形,所以. (2) 以为原点,方向为轴,以平面内过点且垂直于方向为轴以方向为轴,建立如图所示坐标系. 则, , 由, 可知 由, 可知 则, 因此平面与平面所成锐二面角的余弦值为. （河北省石家庄市2013届高中毕业班第二次模拟考试数学理试题（word版） ）在四边形 abc d中,bc/ad,cd /ad,ad=4,bc=cd=2,e、p分别为ad,cd的中点(如图1 ),将abe沿be折 起,使二面角为a-be-c直二面角(如图2).(i )如图2,在线段ae上,是否存在一点m,使得pm/平面abc?若存在,请指出点m的位置,并证明你的结论,若不存在,请说明理由.(ii)如图2,若h为线段ab上的动点,当ph与平面abe所成的角最大时,求二面角 h-pc-e的余弦值.【答案】解法一:()存在点,当为线段ae的中点时, pm平面 , 取的中点n,连接pn,mn,则mnba,pn/cb, 所以平面pmn/平面abc, 因为pm在平面pmn内, 所以pm平面abc ()连接,可知, 所以与平面所成角为, 又, 所以当时,与平面所成角最大, 可得, 过做交eb于, 则,且, 过做垂足为,连接, 则, 所以为二面角的平面角, 所以在直角中, 所以,所以二面角的余弦值为. 解法二:()存在点,当为线段ae的中点时,pm平面, 建立如图所示空间直角坐标系,则, ,中点, 所以, 可知,平面, 又, 平面 () 可知p ( 2, 1,0 ),a(0,0,2),e(0,0,0),b(0,2,0), 设,则, 设,则得, 所以,因为点到平面的距离为定值2, 所以当最小时与平面所成角最大, 此时,即,得,所以, 所以, 设平面的一个法向量为, , 则由,可得,则, 平面的一个法向量为, 设二面角的大小为, 则 （吉林省吉林市2013届高三三模（期末）试题 数学理 ）如图,在四棱锥中,底面,四边形是直角梯形, .()求证:平面平面;()若二面角的余弦值为,求.pabcd【答案】解:()pa平面abcd, bc平面abcd,pabc, 又abbc,paab=a, bc平面pab, bc平面pbc, 平面pbc平面pab ()以a为原点,ab为x轴、ap为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系axyz. dacpbyxz则b(2,0,0),c(2,1,0),d(1,1,0). 设p(0,0,a)(a0), 则=(0,1,0),=(2,1,-a), =(1,0,0) 设n1=(x1,y1,z1)为面bpc的一个法向量, 则n1=n1=0, 即 取x1=a,y1=0,z1=2,得n1=(a,0,2). 同理,n2=(0,a,1)为面dpc的一个法向量 依题意, |cosn1,n2|=, 解得a2=2,或a2=-7(舍去),所以= （吉林省实验中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知直三棱柱(侧棱垂直于底面的三棱柱)中,点在上.()若是中点,求证:平面;()当时,求二面角的余弦值.aa1bcdb1c1【答案】证明:(1)证明:连结bc